Eine Abbildung oder eine Funktion einer Menge $A$ in eine Menge $B$ ordnet jedem Element $x \in A$ genau ein Element $y \in B$ zu.
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Bei dieser Definition wird komplett auf die mengentheoretische Begriffe wie *geordnetes Paar* oder auch *Relation* verzichtet.
Erst aufbauend darauf wird dann mengentheoretisch der *Graph der Funktion* definiert als $G_f := \{(x,f(x))\ |\ x \in A \wedge f(x) \in B\} \subseteq A \times B$.
Aus mengentheoretischer Sicht stimmen in diesen Fällen die Begriffe "Funktion" und "Graph der Funktion" überein.
Die *Verkettung*, oder auch *Komposition*, $f \circ g: A \rightarrow C$ von Funktionen $f:\ A \rightarrow B$ und $g:\ B \rightarrow C$ ist wieder eine Funktion.
Jedoch ist das *Inverse* $f^{-1}$ einer Funktion $f$ im Allgemeinen keine Funktion mehr.
Zwei Funktionen $f$ und $g$ sind gleich $f=g$, wenn für alle $x$ gilt $f(x) = g(x)$.
*Injektivität* bedeutet, dass jedes $y$ aus der Bildmenge *höchstens einmal* abgebildet wird.
Es würden in einem Schaubild also keine zwei oder mehr Pfeile auf ein $y \in B$ treffen.
*Surjektivität* bedeutet, dass die Bildmenge die gesamte Menge $B$ umfasst, dass also $W(f) = B$ gilt.
Siehe hierzu auch die Definition von [Relationen *auf* einer Menge](../relationen/kartesisches_produkt_relationen#definitions--und-wertebereich).
*Bijektivität* schließlich bedeutet, dass jedes Element $x \in A$ auf *genau ein* Element $y \in B$ abgebildet wird und,
dass jedes $y \in B$ "belegt" ist.
Im Schaubild ist zu erkennen, wie bei der *Injektivität* kein Element aus $B$ mehr als ein mal von einem Pfeil getroffen wird.
Es ist möglich, dass ein Element aus $B$ gar nicht getroffen, aber eben nie mehr als ein mal.
Bei *Surjektivität* ist zu sehen, wie kein Element aus $B$ frei bleibt.
Hier ist es möglich, dass mehr als ein Pfeil auf ein Element aus $B$ geht.
Es muss also mindestens ein Pfeil eingehen.
In dem Schaubild zur *Bijektivität*, als Kombination aus Beidem, ist zu sehen, dass jedes Element von $B$ genau ein mal
von einem Pfeil getroffen wird.
Es darf also kein Element aus $B$ frei bleiben und es darf nur genau ein Pfeil pro Element eingehen.
Dass dabei $A$ und $B$ gleich viele Elemente haben müssen ist kein Zufall.
Welche Rolle bijektive Abbildungen bei der *Kardinalität* ("Größe") von Mengen haben, wird im Kapitel [Endlichkeit und Kardinalzahlen](../endlichkeit) erklärt.
#### Beispiele
Gegeben sei $f:\ \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N},\ n \mapsto f(n)$.
Betrachten verschiedene Funktionsgleichungen für $f(n)$:
- $f(n)\ :=\ n+1 \quad$ (*Nachfolgerfunktion*) ist injektiv, aber nicht surjektiv, da $0 \notin W(f)$
- $f(n)\ := \begin{cases} \lfloor \frac{n}{2} \rfloor & n \text{ gerade}\\ 0 & n \text{ ungerade} \end{cases} \quad$ ist surjektiv,
aber nicht injektiv, da z.B. $f(1) = f(3) = 0$
- $f(n)\ :=\ n \quad$ (*identische Abbildung*) ist injektiv, surjektiv und damit auch bijektiv
Gegeben sei $f:\ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},\ x \mapsto x^2$, also eine Parabelfunktion.
$f$ ist weder injektiv, noch surjektiv.
Wenn man allerdings die Abbildungsmengen einschränkt, kann man eine injektive, surjektive oder bijektive Abbildung erhalten.
Im Folgenden bezeichnen wir $\mathbb{R}^+$ als die Menge der nicht-negativen reellen Zahlen, also reelle Zahlen $\ge 0$.
Am einfachsten ist es, sich die folgenden Fälle zu skizzieren:
- $f:\ \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R},\ x \mapsto x^2 \quad$ ist injektiv, aber nicht surjektiv
- $f:\ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+,\ x \mapsto x^2 \quad$ ist surjektiv, aber nicht injektiv
- $f:\ \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+,\ x \mapsto x^2 \quad$ ist injektiv und surjektiv und damit auch bijektiv
Zu bijektiven Funktion sagt man auch, sie bilden "*umkehrbar eindeutig*" ab.
Eingangs wurde erwähnt:
> Jedoch ist das *Inverse* $f^{-1}$ einer Funktion $f$ im Allgemeinen keine Funktion mehr.
Im Falle einer bijektiven Abbildung $f$ ist $f^{-1}$ allerdings eine Abbildung und man nennt diese dann *Umkehrabbildung* oder *Umkehrfunktion*.
