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docs/mathematik/mengenlehre/1_logik.md

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+---
+title: Elemente der Logik
+tags: [mathematik, mengenlehre, logik]
+sidebar_position: 1
+---
+
+WIP

docs/mathematik/mengenlehre/2_mengen.md

@@ -0,0 +1,7 @@
+---
+title: Mengenbildung und Mengenalgebra
+tags: [mathematik, mengenlehre, mengenbildung, mengenalgebra]
+sidebar_position: 2
+---
+
+WIP

docs/mathematik/mengenlehre/4_verallgemeinerte_relationen.md

@@ -0,0 +1,7 @@
+---
+title: Verallgemeinerte mengentheoretische Relationen
+tags: [mathematik, mengenlehre, relation]
+sidebar_position: 4
+---
+
+WIP

docs/mathematik/mengenlehre/5_endlichkeit.md

@@ -0,0 +1,7 @@
+---
+title: Endlichkeit und Kardinalzahlen
+tags: [mathematik, mengenlehre, endlichkeit, unendlichkeit, kardinalität, kardinalzahlen, mächtigkeit]
+sidebar_position: 5
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+WIP

docs/mathematik/mengenlehre/_category_.json

@@ -0,0 +1,4 @@
+{
+  "position": 1,
+  "label": "Mengenlehre"
+}

docs/mathematik/mengenlehre/mengenlehre.md

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+---
+title: Mengenlehre?
+tags: [mathematik, mengenlehre, menge, definition]
+sidebar_position: 1
+---
+
+# Mengenlehre
+## Themen
+In diesem Teil möchte ich über folgende Themen sprechen:
+
+1. [Elemente der Logik](logik)
+2. [Mengenbildung und Mengenalgebra](mengen)
+3. [Relationen und Abbildungen](relationen)
+   1. [Kartesisches Produkt](relationen/kartesisches_produkt)
+   2. [Abbildungen](relationen/abbildungen)
+   3. [Äquivalenzrelationen](relationen/aequivalenzrelationen)
+   4. [Ordnungsrelationen](relationen/ordnungsrelationen)
+4. [Verallgemeinerte mengentheoretische Relationen](verallgemeinerte_relationen)
+5. [Endlichkeit und Kardinalzahlen](endlichkeit)
+
+## Über die Mengenlehre
+Die Logik und die Mengenlehre sind eng miteinander verknüpft und bilden die allgemeinen Grundlagen der Mathematik.
+Sie wurde von [Georg Cantor](https://de.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor) im 19. Jahrh. begründet.
+Cantor definierte dabei, was man unter einer *Menge* versteht und untersuchte diese Strukturen dann insbesondere deren *Mächtigkeit*.
+Der Begriff der *Unendlichkeit* wurde dabei von ihm in besonderem Maße geprägt.
+
+[David Hilbert](https://de.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert), einer der bedeutendsten Mathematiker der Neuzeit, sagte einst:
+
+> Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können.
+> 
+> — David Hilbert
+
+Allerdings führte das Cantor'sche Modell der Mengenlehre, die *naive Mengenlehre* auch zu *Antinomien* (Widersprüchen).
+[Bertrand Russell](https://de.wikipedia.org/wiki/Bertrand_Russell) entdeckte diese Widersprüche und machte sie publik.
+Die heutige Mathematik beruht auf einer axiomatisierten Mengenlehre und wird auch *Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre* genannt.
+Doch ist die naive Mengenlehre ein Teil der ZF-Mengenlehre und daher nach wie vor ein einfacher und guter Zugang.
+
+## Menge
+:::note Menge
+
+Unter einer *Menge* verstehen wir jede Zusammenfassung $M$ von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten $m$ 
+unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen.
+
+:::
+
+Mengen werden dabei mit den *Mengenklammern* $\{$ und $\}$ aufgeschrieben. 
+Außerdem wird das Symbol $\in$ dafür verwendet um zu beschreiben, dass ein *Element* $m$ zu einer Menge $M$ gehört: $m \in M$.
+Dagegen wird $\notin$ dafür verwendet, um zu beschreiben, dass ein Element $n$ nicht zur Menge $M$ gehört: $n \notin M$.
+
+### Beispiele für Mengen
+#### Ziffern 0 bis 5
+Die Menge der Ziffern *0* bis *5*:
+$$
+Z = \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5 \}
+$$
+Dabei gilt z.B. $1 \in Z$ und $4 \in Z$, aber nicht $8 \in Z$, also $8 \notin Z$.
+
+#### Ballarten
+Folgendes könnte eine Menge von verschiedenen, aber nicht allen Ballarten sein:
+$$
+B = \{ \text{Fußball}, \text{Tennisball}, \text{Baseball} \}
+$$
+Es gilt z.B. $\text{Fußball} \in B$ und $\text{Basketball} \notin Z$.
+
+### Antinomien
+Diese *naive* Auffassung von Menge birgt allerdings Widersprüche, auch *Antinomien* genannt.
+
+#### Russell'sche Menge
+:::note Russell'schen Menge
+
+Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten.
+
+:::
+
+Sei die (russell'sche) Menge $X$ dadurch definiert, dass für alle Mengen $A$ gilt:
+$$$
+A \in X \text{ genau dann, wenn } A \notin A
+$$$
+
+:::danger Aber gilt nun $X \in X$?
+
+Für $A := X$ erhält man den Widerspruch
+$$
+X \in X \text{ genau dann, wenn } X \notin X
+$$
+
+:::
+
+Das funktioniert eben nicht: Wenn die Menge $X$ in $X$ selbst als Element liegt, dann darf sie aber nicht in $X$ liegen, 
+da wir die Menge $X$ ja gerade so definiert haben, dass sie nur die Mengen enthält, die sich nicht selbst enthalten.
+Andersherum heißt es, dass wenn $X$ nicht in $X$ ist, dann müsste sie in $X$ liegen wegen der Definition von $X$.
+
+#### Barbier von Sevilla
+Ein anderes Beispiel ist die Anekdote vom *Barbier von Sevilla*, die ebenfalls von Russell stammt.
+
+:::note Barbier von Sevilla
+
+Der Barbier $B$ ist derjenige Mann von Sevilla, der genau die Männer $M$ von Sevilla rasiert, die sich nicht selbst rasieren.
+
+:::
+
+Wir sagen nun, dass der Barbier $B$ sei. 
+Der Barbier ist aber an sich keine Menge.
+Die Anekdote kann man auch so formulieren, dass wir wieder nur "richtige" Mengen haben.
+Für jetzt bezeichnen wir aber einfach die symbolische Schreibweise $M \in B$ als "*$M$ wird vom Barbier $B$ rasiert*".
+Damit erhalten wir folgende Beziehung:
+$$$
+M \in B \text{ genau dann, wenn } M \notin M
+$$$
+
+:::danger Rasiert der Barbier sich selbst?
+
+Für $M := B$ erhält man den Widerspruch
+$$
+B \in B \text{ genau dann, wenn } B \notin B
+$$
+
+:::
+Also wenn der Barbier sich selbst rasiert, dann dürfte er sich ja nicht selbst rasieren, da er ja nur die rasiert, 
+die sich nicht selbst rasieren.
+Aber wenn der Barbier sich nicht selbst rasiert, dann müsste er sich ja entsprechend der Definition selbst rasieren.
+Das funktioniert auch also nicht.
+
+Cantor hat mit der naiven Mengenlehre einen großen Baustein der Mathematik geschaffen, auf dem die ganze Mathematik aufbaut.
+Er hat außerdem den Begriffen Endlichkeit und Unendlichkeit Leben eingehaucht.
+Doch hat sein Modell Schwächen, sodass man ein wenig daran arbeiten musste.
+Viele weitere Dinge der Mengenlehre werden in den nächsten Kapiteln behandelt.
+Bevor wir aber mit Mengen an sich weiter machen, folgt erstmal eine kurze Einführung in die Logik auf der die weiter Mengenlehre aufbaut.
+Außerdem bildet die Logik das Fundament der mathematischen Beweise, die uns garantieren, dass Erkenntnisse eine allgemeine Gültigkeit haben.

docs/mathematik/mengenlehre/relationen/1_kartesisches_produkt.md

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+---
+title: Kartesisches Produkt
+tags: [mathematik, mengenlehre, relation, kartesisches produkt]
+sidebar_position: 1
+---
+
+WIP

docs/mathematik/mengenlehre/relationen/2_abbildungen.md

@@ -0,0 +1,7 @@
+---
+title: Abbildungen
+tags: [mathematik, mengenlehre, relation, abbildungen]
+sidebar_position: 2
+---
+
+WIP

docs/mathematik/mengenlehre/relationen/3_aequivalenzrelationen.md

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+---
+title: Äquivalenzrelationen
+tags: [mathematik, mengenlehre, relation, äquivalenzrelation, äquivalenz]
+sidebar_position: 3
+---
+
+WIP

docs/mathematik/mengenlehre/relationen/4_ordnungsrelationen.md

@@ -0,0 +1,7 @@
+---
+title: Ordnungsrelationen
+tags: [mathematik, mengenlehre, relation, ordnung, ordnungsrelation]
+sidebar_position: 4
+---
+
+WIP

docs/mathematik/mengenlehre/relationen/_category_.json

@@ -0,0 +1,4 @@
+{
+  "position": 3,
+  "label": "Relationen und Abbildungen"
+}

docs/mathematik/mengenlehre/relationen/relationen.md

@@ -0,0 +1,7 @@
+---
+title: Relationen und Abbildungen
+tags: [mathematik, mengenlehre, relationen, abbildungen]
+sidebar_position: 1
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+
+WIP