diff --git a/docs/mathematik/mengenlehre/relationen/2_abbildungen.md b/docs/mathematik/mengenlehre/relationen/2_abbildungen.md index ae1e423..c4ba374 100644 --- a/docs/mathematik/mengenlehre/relationen/2_abbildungen.md +++ b/docs/mathematik/mengenlehre/relationen/2_abbildungen.md @@ -1,6 +1,6 @@ --- title: Abbildungen -tags: [mathematik, mengenlehre, relation, abbildung, funktion] +tags: [mathematik, mengenlehre, relation, abbildung, funktion, umkehrabbildung, umkehrfunktion, operation] sidebar_position: 3 --- @@ -96,6 +96,9 @@ Bis dahin sollten einem die Begriffe allerdings so vertraut vorkommen, dass eine ## Grundlegende Eigenschaften von Funktionen Die *Verkettung*, oder auch *Komposition*, $f \circ g: A \rightarrow C$ von Funktionen $f:\ A \rightarrow B$ und $g:\ B \rightarrow C$ ist wieder eine Funktion. +Für die Komposition gilt $f \circ g = g(f(x))$. +In anderer Literatur kann es sein, dass die Komposition anders definiert ist und dann $f \circ g = f(g(x))$ gilt. + Jedoch ist das *Inverse* $f^{-1}$ einer Funktion $f$ im Allgemeinen keine Funktion mehr. Zwei Funktionen $f$ und $g$ sind gleich $f=g$, wenn für alle $x$ gilt $f(x) = g(x)$. @@ -140,11 +143,11 @@ Betrachten verschiedene Funktionsgleichungen für $f(n)$: Gegeben sei $f:\ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},\ x \mapsto x^2$, also eine Parabelfunktion. $f$ ist weder injektiv, noch surjektiv. Wenn man allerdings die Abbildungsmengen einschränkt, kann man eine injektive, surjektive oder bijektive Abbildung erhalten. -Im Folgenden bezeichnen wir $\mathbb{R}^+$ als die Menge der nicht-negativen reellen Zahlen, also reelle Zahlen $\ge 0$. +Im Folgenden bezeichnen wir $\mathbb{R}_{\ge 0}$ als die Menge der nicht-negativen reellen Zahlen, also reelle Zahlen $\ge 0$. Am einfachsten ist es, sich die folgenden Fälle zu skizzieren: -- $f:\ \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R},\ x \mapsto x^2 \quad$ ist injektiv, aber nicht surjektiv -- $f:\ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+,\ x \mapsto x^2 \quad$ ist surjektiv, aber nicht injektiv -- $f:\ \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+,\ x \mapsto x^2 \quad$ ist injektiv und surjektiv und damit auch bijektiv +- $f:\ \mathbb{R}_{\ge 0} \rightarrow \mathbb{R},\ x \mapsto x^2 \quad$ ist injektiv, aber nicht surjektiv +- $f:\ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_{\ge 0},\ x \mapsto x^2 \quad$ ist surjektiv, aber nicht injektiv +- $f:\ \mathbb{R}_{\ge 0} \rightarrow \mathbb{R}_{\ge 0},\ x \mapsto x^2 \quad$ ist injektiv und surjektiv und damit auch bijektiv Zu bijektiven Funktion sagt man auch, sie bilden "*umkehrbar eindeutig*" ab. Eingangs wurde erwähnt: @@ -152,5 +155,119 @@ Eingangs wurde erwähnt: Im Falle einer bijektiven Abbildung $f$ ist $f^{-1}$ allerdings eine Abbildung und man nennt diese dann *Umkehrabbildung* oder *Umkehrfunktion*. +#### Beispiele +Bei einer bijektiven Abbildung, die durch eine Funktionsgleichung $y = f(x)$ gegeben ist, kann man die Umkehrabbildung einfach dadurch berechnen, +dass man die Funktionsgleichung nach $x$ umstellt. +Man hat dann einen Ausdruck der Form $x = g(y) = f^{-1}(y)$. + +Gegeben sei die Abbildung $f:\ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+$ mit der Funktionsgleichung $f(x) = e^x$. +Die Exponentialfunktion ist surjektiv, wenn man diese auf die positiven reellen Zahlen abbildet, also die nicht-negativen reellen Zahlen ohne die $0$: +$\mathbb{R}^+ := \mathbb{R}_{>0} = \mathbb{R}_{\ge 0} \setminus \{0\}$. +Der ganze Beweis der Bijektivität sei an dieser allerdings weggelassen. + +Die Umkehrfunktion $f^{-1}:\ \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}$ kann man nun durch Umstellen nach $y$ berechnen: +$$ +\begin{alignat*}{2} + && y &= f(x)\\ + && y &= e^x\\ + && \ln y &= \ln e^x\\ + && \ln y &= x\\ + \Longrightarrow \quad && f^{-1}(y) &= \ln y +\end{alignat*} +$$ + +## Erweiterung von Abbildungen +Gegeben seien $S$ als die Menge aller Schulkinder und $K$ als die Menge aller Klassen einer Schule. +Als Abbildung definieren $k: S \rightarrow K$, die jedem Schulkind die eigene Klasse zuordnet. +Der Direktor hat nun eine Liste von Schulkindern, mit denen er zusammen sprechen möchte. +Doch möchte er nicht in jede einzelne Klasse gehen, um ein Schulkind abzuholen, sondern nur in die Klassen, +in denen auch ein Schulkind von der Liste ist. +In diesem Beispiel nehmen wir an, der Direktor kann die Liste in einem Computer eintippen und dieser gibt dann die Klassen aus, +in denen sich die Schulkinder befinden. +Wir haben also eine *Teilmenge von Schulkindern* und bilden diese auf eine *Teilmenge der Klassen* ab. +Durch diese Fragestellung haben wir die Abbildung $k$ auf ihre Potenzmenge *erweitert*. + +Die Umkehrung der Fragestellung ist auch möglich: +Der Direktor hat eine Liste von Klassen und möchte nun wissen, welche Schulkinder zu diesen Klassen gehören. + +Formal lässt sich das so auffassen: + +:::note Erweiterung + +Gegeben seien eine Abbildung $f:\ A \rightarrow B$ und die Teilmengen $X \subseteq A$ und $Y \subseteq B$. + +$\widehat{f}(X)\ :=\ \{ y\ |\ y \in B \wedge \exists x \in X:\ f(x) = y \}$ +heißt *Erweiterung* von $f$ auf $\mathcal{P}(A)$. + +$\widehat{f^{-1}}(Y)\ :=\ \{ x\ |\ x \in A \wedge f(x) \in Y \}$ +heißt *Erweiterung* von $\underbrace{f^{-1}}_{\substack{\text{Inverse Relation}\\\text{i.A. keine Abbildung}}}$ auf $\mathcal{P}(B)$. + +::: + +$\widehat{f}:\ \mathcal{P}(A) \rightarrow \mathcal{P}(B)$ ist wie $f$ wieder eine Abbildung. +Während $f^{-1}$ hier allgemein die inverse Relation ist und damit keine (Umkehr-)Abbildung, +ist $\widehat{f^{-1}}:\ \mathcal{P}(B) \rightarrow \mathcal{P}(A)$ allerdings immer eine Abbildung. + +Häufig schreibt man statt $\widehat{f}$ auch wieder nur $f$ bzw. für $\widehat{f^{-1}}$ auch wieder $f^{-1}$. +Eine Verwechslung ist ausgeschlossen, da die Abbildung $f$ ein Element entgegennimmt, +während die Erweiterung von $f$ eine Menge entgegennimmt. + +#### Beispiele +Gegeben sei $f:\ \{1, 2, 3\} \rightarrow \{a, b, c, d\}$ mit $f(1) = a,\ f(2) = c,\ f(3) = a$. +Dann sind bspw.: +- $\widehat{f}(\emptyset) = f(\emptyset) = \emptyset$ +- $\widehat{f}(\{1, 2\}) = f(\{1, 2\}) = \{ a, c \}$ +- $f(\{3\}) = \{ a \}$ +- $f(\{1, 2, 3\}) = f(D(f)) = \{ a, b, c, d \} = W(f)$ + +und + +- $\widehat{f^{-1}}(\emptyset) = f^{-1}(\emptyset) = \emptyset$ +- $\widehat{f^{-1}}(\{a\}) = f^{-1}(\{a\}) = \{ 1 \}$ +- $\widehat{f^{-1}}(\{b, d\}) = f^{-1}(\{b, d\}) = \emptyset$ +- $f^{-1}(\{a, b, c, d\}) = f^{-1}(D(f^{-1})) = \{ 1, 2, 3 \} = W(f^{-1})$ + ## Operationen -tbc \ No newline at end of file +Im Kapitel [Kartesisches Produkt](kartesisches_produkt_relationen#kartesisches-produkt) wurde bereits die *kartesische Potenz* eingeführt. +Mit den kartesischen Potenzen führen wir nun eine weitere wichtige Klasse von Abbildungen ein, die *Operationen* oder *Verknüpfungen*. +Diese spielen in der Algebra eine wichtige Rolle. + +:::note Operation oder Verknüpfung + +$f$ heißt *innere $n$-stellige algebraische Operation* $:=\ f:\ A^n \rightarrow A$. + +::: + +Eine Operation ist also eine $A^{n+1}$-Relation. + +Es gibt auch *äußere* Verknüpfungen, davon gibt es aber zwei unterschiedliche Arten. +Diese werden zu späteren Zeitpunkten sinnvoll eingeführt. + +$2$-stellige Relationen heißen auch *binäre Relationen*. +Entsprechend heißen $2$-stellige Operationen auch binäre Operation. +Bereits im Kapitel [Verband](../mengen#verband) wurden zweistellige Operationen das erste Mal genannt. + +#### Beispiele +Aus dem Kapitel [Verband](../mengen#verband) wissen wir, dass $\cap$ und $\cup$ zweistellige Operationen für eine Menge $A$ sind: +- $\cap:\ \mathcal{P}^2(A) \rightarrow \mathcal{P}(A)$ +- $\cup:\ \mathcal{P}^2(A) \rightarrow \mathcal{P}(A)$ + +Weitere Beispiele: +- $+:\ \mathbb{N}^2 \rightarrow \mathbb{N}$ als Addition in den natürlichen Zahlen: $+(a, b) = a+b \quad = \quad c$ + - $+(2,3) = 2 + 3 \quad = \quad 5$ + - $100 + 1 = 101$ +- $\hat{\ }:\ \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ als Potenz: $\hat{\ }(a,b) = a^b \quad = \quad c$ + - $\hat{\ }(2,2) = 2^2 \quad = \quad 4$ + - $3^4 = 81$ +- $\circ:\ \text{Abb}(A,A)^2 \rightarrow \text{Abb}(A,A)$ als Komposition: $\circ(f,g) = f \circ g = g(f(x)) \quad = \quad h$ + $\text{Abb}(A,A)$ ist dabei die Menge aller Abbildungen von $A$ in $A$. + - Mit $f(x) = x^2,\ g(x) = x+2$ ist $\circ(f,g) = f \circ g = g(f(x)) \quad = \quad g(x^2) = x^2+2 + - Mit $f(x) = \ln(x) + \frac{\pi}{2},\ g(x) = \sin x$ ist + $$ + \begin{align*} + \circ(f,g) = f \circ g = g(f(x)) + &= g(\ln(x) + \frac{\pi}{2})\\ + &= \sin\left( \ln(x) + \frac{\pi}{2} \right)\\ + &= \cos(\ln(x)) + \end{align*} + $$ \ No newline at end of file