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\documentclass[convert={size=512}]{standalone}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage[T1]{fontenc}
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage{tikz}
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\usepackage{color}
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\definecolor{draculaPurple}{RGB}{189,147,249}
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\definecolor{draculaCyan}{RGB}{139,233,253}
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\definecolor{draculaForeground}{RGB}{248,248,248}
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\definecolor{draculaRed}{RGB}{255, 85, 85}
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\begin{document}
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\begin{tikzpicture}[text=draculaForeground, draw=draculaCyan]
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% Set names
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\node at (0,-0.4) [thick] {A};
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\node at (3,-0.4) [thick] {B};
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% Set elements
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\begin{scope}[every node/.style={circle,thick,draw}]
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\node (1) at (0,-1) {1};
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\node (2) at (0,-2) {2};
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||||||
|
\node (3) at (0,-3) {3};
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||||||
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\node (4) at (0,-4) {4};
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|
\node (5) at (0,-5) {5};
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\end{scope}
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\begin{scope}[every node/.style={circle,thick,draw}]
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\node (A) at (3,-1.5) {a};
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\node (B) at (3,-2.5) {b};
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\node (C) at (3,-3.5) {c};
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\node (D) at (3,-4.5) {d};
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\end{scope}
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% Arrows
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\begin{scope}[every edge/.style={draw=draculaPurple,very thick}]
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\path [->] (1) edge (A);
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\path [->] (1) edge (D);
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\path [->] (2) edge (B);
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||||||
|
\path [->] (3) edge (B);
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|
\path [->] (4) edge (D);
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\end{scope}
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% Compose
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\begin{scope}
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\node at (4.5,-2.5) {\huge $\overset{R^{-1}}{\Longrightarrow}$};
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\end{scope}
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% Set names
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\node at (6,-0.4) [thick] {B};
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\node at (9,-0.4) [thick] {A};
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% Set elements
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\begin{scope}[every node/.style={circle,thick,draw}]
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\node (AA) at (6,-1.5) {a};
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\node (BB) at (6,-2.5) {b};
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\node (CC) at (6,-3.5) {c};
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|
\node (DD) at (6,-4.5) {d};
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\end{scope}
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\begin{scope}[every node/.style={circle,thick,draw}]
|
||||||
|
\node (11) at (9,-1) {1};
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||||||
|
\node (22) at (9,-2) {2};
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||||||
|
\node (33) at (9,-3) {3};
|
||||||
|
\node (44) at (9,-4) {4};
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||||||
|
\node (55) at (9,-5) {5};
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|
\end{scope}
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% Arrows
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\begin{scope}[every edge/.style={draw=draculaPurple,very thick}]
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\path [->] (AA) edge (11);
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\path [->] (BB) edge (22);
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\path [->] (BB) edge (33);
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\path [->] (DD) edge (11);
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\path [->] (DD) edge (44);
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\end{scope}
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\end{tikzpicture}
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\end{document}
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assets/mathematik/mengenlehre/verkettung_1.tex
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assets/mathematik/mengenlehre/verkettung_1.tex
Normal file
@ -0,0 +1,56 @@
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\documentclass[convert={size=384}]{standalone}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage[T1]{fontenc}
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage{tikz}
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\usepackage{color}
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\definecolor{draculaPurple}{RGB}{189,147,249}
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\definecolor{draculaCyan}{RGB}{139,233,253}
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\definecolor{draculaForeground}{RGB}{248,248,248}
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\begin{document}
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\begin{tikzpicture}[text=draculaForeground, draw=draculaCyan]
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% Set names
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\node at (0,-0.4) [thick] {A};
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\node at (3,-0.4) [thick] {B};
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\node at (6,-0.4) [thick] {C};
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% Set elements
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\begin{scope}[every node/.style={circle,thick,draw}]
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\node (1) at (0,-1) {1};
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|
\node (2) at (0,-2) {2};
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||||||
|
\node (3) at (0,-3) {3};
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||||||
|
\node (4) at (0,-4) {4};
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||||||
|
\node (5) at (0,-5) {5};
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||||||
|
\end{scope}
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\begin{scope}[every node/.style={circle,thick,draw}]
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||||||
|
\node (A) at (3,-1.5) {a};
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|
\node (B) at (3,-2.5) {b};
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|
\node (C) at (3,-3.5) {c};
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|
\node (D) at (3,-4.5) {d};
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|
\end{scope}
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|
\begin{scope}[every node/.style={circle,thick,draw}]
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||||||
|
\node (x) at (6,-2) {$\alpha$};
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\node (y) at (6,-3) {$\beta$};
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\node (z) at (6,-4) {$\gamma$};
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\end{scope}
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% Arrows
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\begin{scope}[every edge/.style={draw=draculaPurple,very thick}]
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\path [->] (1) edge (A);
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|
\path [->] (1) edge (D);
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|
\path [->] (2) edge (B);
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||||||
|
\path [->] (3) edge (B);
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|
\path [->] (4) edge (D);
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|
\end{scope}
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\begin{scope}[every edge/.style={draw=draculaPurple,very thick}]
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|
\path [->] (A) edge (x);
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|
\path [->] (A) edge (y);
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\path [->] (A) edge (z);
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\path [->] (B) edge (y);
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|
\path [->] (C) edge (x);
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\end{scope}
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\end{tikzpicture}
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|
\end{document}
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assets/mathematik/mengenlehre/verkettung_2.tex
Normal file
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assets/mathematik/mengenlehre/verkettung_2.tex
Normal file
@ -0,0 +1,89 @@
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\documentclass[convert={size=512}]{standalone}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage[T1]{fontenc}
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage{tikz}
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\usepackage{color}
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\definecolor{draculaPurple}{RGB}{189,147,249}
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\definecolor{draculaCyan}{RGB}{139,233,253}
|
||||||
|
\definecolor{draculaForeground}{RGB}{248,248,248}
|
||||||
|
\definecolor{draculaRed}{RGB}{255, 85, 85}
|
||||||
|
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|
\begin{document}
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\begin{tikzpicture}[text=draculaForeground, draw=draculaCyan]
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% Set names
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\node at (0,-0.4) [thick] {A};
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\node at (3,-0.4) [thick] {B};
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\node at (6,-0.4) [thick] {C};
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% Set elements
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\begin{scope}[every node/.style={circle,thick,draw}]
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\node (1) at (0,-1) {1};
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|
\node (2) at (0,-2) {2};
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||||||
|
\node (3) at (0,-3) {3};
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||||||
|
\node (4) at (0,-4) {4};
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||||||
|
\node (5) at (0,-5) {5};
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||||||
|
\end{scope}
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||||||
|
\begin{scope}[every node/.style={circle,thick,draw}]
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||||||
|
\node (A) at (3,-1.5) {a};
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||||||
|
\node (B) at (3,-2.5) {b};
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||||||
|
\node (C) at (3,-3.5) {c};
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||||||
|
\node (D) at (3,-4.5) {d};
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||||||
|
\end{scope}
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||||||
|
\begin{scope}[every node/.style={circle,thick,draw}]
|
||||||
|
\node (x) at (6,-2) {$\alpha$};
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|
\node (y) at (6,-3) {$\beta$};
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\node (z) at (6,-4) {$\gamma$};
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\end{scope}
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% Arrows
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\begin{scope}[every edge/.style={draw=draculaPurple,very thick}]
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\path [->] (1) edge[draw=draculaRed] (A);
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\path [->] (1) edge (D);
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||||||
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\path [->] (2) edge[draw=draculaRed] (B);
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||||||
|
\path [->] (3) edge[draw=draculaRed] (B);
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||||||
|
\path [->] (4) edge (D);
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||||||
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\end{scope}
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|
\begin{scope}[every edge/.style={draw=draculaPurple,very thick}]
|
||||||
|
\path [->] (A) edge[draw=draculaRed] (x);
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||||||
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\path [->] (A) edge[draw=draculaRed] (y);
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|
\path [->] (A) edge[draw=draculaRed] (z);
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||||||
|
\path [->] (B) edge[draw=draculaRed] (y);
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||||||
|
\path [->] (C) edge (x);
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||||||
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\end{scope}
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||||||
|
% Compose
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|
\begin{scope}
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|
\node at (7.5,-3) {\Huge $\overset{R \circ K}{\Longrightarrow}$};
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|
\end{scope}
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% Set names
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|
\node at (9,-0.4) [thick] {A};
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|
\node at (12,-0.4) [thick] {C};
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% Set elements
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\begin{scope}[every node/.style={circle,thick,draw}]
|
||||||
|
\node (11) at (9,-1) {1};
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|
\node (22) at (9,-2) {2};
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||||||
|
\node (33) at (9,-3) {3};
|
||||||
|
\node (44) at (9,-4) {4};
|
||||||
|
\node (55) at (9,-5) {5};
|
||||||
|
\end{scope}
|
||||||
|
\begin{scope}[every node/.style={circle,thick,draw}]
|
||||||
|
\node (xx) at (12,-2) {$\alpha$};
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||||||
|
\node (yy) at (12,-3) {$\beta$};
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||||||
|
\node (zz) at (12,-4) {$\gamma$};
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\end{scope}
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% Arrows
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\begin{scope}[every edge/.style={draw=draculaPurple,very thick}]
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\path [->] (11) edge (xx);
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\path [->] (11) edge (yy);
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\path [->] (11) edge (zz);
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||||||
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\path [->] (22) edge (yy);
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||||||
|
\path [->] (33) edge (yy);
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||||||
|
\end{scope}
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\end{tikzpicture}
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\end{document}
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@ -1,98 +0,0 @@
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title: Kartesisches Produkt und Abbildungen
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tags: [mathematik, mengenlehre, relation, kartesisches produkt]
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sidebar_position: 2
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In Mengen werden Objekte zusammengefasst, allerdings ohne innere Struktur,
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d.h. sie sind einfach in der Menge ohne Bedeutung und ohne Reihenfolge.
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Manchmal benötigt man jedoch so etwas wie eine Reihenfolge oder
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möchte Mengen miteinander in eine gewisse Verbindung bringen, ohne sie einfach nur zu Vereinigen.
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## Kartesisches Produkt
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:::note Geordnete Paare
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Ein *geordnetes Paar* (*2-Tupel*) mit den Elementen $a$ und $b$ ist wie folgt als Menge definiert:
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$$
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(a, b)\ :=\ \{ \overbrace{\{a, b\}}^{\text{Elemente des Tupels}}, \underbrace{\{a\}}_{\text{Erstes Element}} \}
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$$
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:::
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Ein 2-Tupel fasst also je zwei Elemente zusammen und bestimmt dabei, welches zuerst kommt.
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Anders als bei Mengen, bei denen $\{a,b\} = \{b,a\}$ gilt, gilt bei 2-Tupeln demnach $(a,b) \ne (b,a)$.
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Die andere Schreibweise $()$, statt $\{\}$, soll dies verdeutlichen und dazu führen, dass man diese nicht verwechselt.
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Ein Verband haben wir als ein *Tripel* eingeführt.
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Ein Tripel ist ein 3-Tupel.
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Allgemein lassen sich rekursiv n-Tupel wie folgt definieren:
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:::note n-Tupel
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- 1-Tupel: $(x_1) = \{ x_1 \}$
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- 2-Tupel: $(x_1, x_2) = \{ \{x_1, x_2\}, \{x_1\} \}$
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- 3-Tupel: $(x_1, x_2, x_3) = ((x_1, x_2), x_3)$
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- n-Tupel: $(x_1, x_2, \dots, x_n) = ((x_1, x_2, \dots, x_{n-1}), x_n)$
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:::
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||||||
n-Tupel lassen sich also auf die Mengendarstellungen der 2-Tupel zurückführen.
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In der Typentheorie nach Russell, die im Kapitel über [Mengen](../mengen) eingeführt wurde ist dies allerdings nicht erlaubt.
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Denn schon bei einem 3-Tupel gibt es eine Vermischung verschiedener Mengenstufen:
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$$
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\begin{align*}
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(a, b, c) &= ((a, b), c)\\
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||||||
&= \{\ \{(a,b), c\},\ \{(a,b)\}\ \}\\
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|
||||||
&= \{\ \{\ \underbrace{\{\{a,b\}, \{a\}\}}_{(a,b)},\ c\},\ \{\underbrace{\{\{a,b\}, \{a\}\}}_{(a,b)}\}\ \}\\
|
|
||||||
&= \{\ \{\ \underbrace{\{\{a,b\}, \{a\}\}}_{\text{Menge 2. Stufe}},\ \underbrace{c}_{\text{Menge 0. Stufe}}\},\ \{\{\{a,b\}, \{a\}\}\}\ \}
|
|
||||||
\end{align*}
|
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||||||
$$
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|
||||||
Im Stufensystem ist dieser Ausdruck also nicht korrekt.
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||||||
In anderen axiomatisierten Mengenlehren ist es allerdings erlaubt.
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Auch für das Stufensystem gibt es korrekte Definitionen für n-Tupel.
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Wir wollen es an dieser Stelle allerdings dabei belassen und nehmen es einfach hin.
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Man kann nun Tupel zu einer Menge zusammenfassen.
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Die Menge aller Tupel von Mengen nennt man *kartesisches Produkt*:
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:::note Kartesisches Produkt
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Seien $A$ und $B$ Mengen, dann ist das *kartesische Produkt* der Mengen $A$ und $B$ definiert als
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$$
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A \times B\ :=\ \{ (a,b)\ |\ a \in A \wedge b \in B \}
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$$
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:::
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## Abbildungen
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Das kartesische Produkt erlaubt es uns jetzt Paare in einer Menge zusammenzufassen.
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Daraus können wir nun eine Teilmenge betrachten.
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:::note Relation
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Seien $A$, $B$ Mengen.
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Man nennt $R$ *Relation* oder *Korrespondenz* __aus__ $A$ __in__ $B$ $:=\ R \subseteq A \times B$
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:::
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#### Beispiele
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Nehmen wir eine Menge mit drei Elementen $A = \{a_1, a_2, a_3\}$ und bilden alle möglichen Paare.
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Diese Paare fassen wir nun in einer Menge zusammen:
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$$
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||||||
A \times A = \{(a_1, a_1), (a_1, a_2), (a_1, a_3),\quad (a_2, a_1), (a_2, a_2), (a_2, a_3),\quad (a_3, a_1), (a_3, a_2), (a_3, a_3)\}
|
|
||||||
$$
|
|
||||||
Daraus können wir jetzt bspw. unterschiedliche Relationen basteln:
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$$
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||||||
\begin{align*}
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||||||
R_0 &= \emptyset\\
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|
||||||
R_1 &= \{(a_1, a_1), (a_1, a_3)\}\\
|
|
||||||
R_2 &= \{(a_1, a_1), (a_1, a_3), (a_2, a_2), (a_2, a_3), (a_3, a_3)\}\\
|
|
||||||
R_3 &= \{(a_2, a_1), (a_2, a_2), (a_2, a_3)\}\\
|
|
||||||
R_4 &= A \times A
|
|
||||||
\end{align*}
|
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
|
||||||
Gegeben sei $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$, $B = \{a, b, c, d\}$ und $R = \{(1, a), (1,d), (2, b), (3, b), (5, d)\} \subseteq A \times B$.
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|
||||||
Man kann das veranschaulichen, wie die jeweiligen Elemente in Beziehung stehen:
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*tbc*
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@ -0,0 +1,283 @@
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title: Kartesisches Produkt und Relationen
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tags: [mathematik, mengenlehre, relation, kartesisches produkt]
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sidebar_position: 2
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In Mengen werden Objekte zusammengefasst, allerdings ohne innere Struktur,
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|
d.h. sie sind einfach in der Menge ohne Bedeutung und ohne Reihenfolge.
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||||||
|
Manchmal benötigt man jedoch so etwas wie eine Reihenfolge oder
|
||||||
|
möchte Mengen miteinander in eine gewisse Verbindung bringen, ohne sie einfach nur zu Vereinigen.
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## Kartesisches Produkt
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:::note Geordnete Paare
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Ein *geordnetes Paar* (*2-Tupel*) mit den Elementen $a$ und $b$ ist wie folgt als Menge definiert:
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$$
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||||||
|
(a, b)\ :=\ \{ \overbrace{\{a, b\}}^{\text{Elemente des Tupels}}, \underbrace{\{a\}}_{\text{Erstes Element}} \}
|
||||||
|
$$
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||||||
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|
:::
|
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Ein 2-Tupel fasst also je zwei Elemente zusammen und bestimmt dabei, welches zuerst kommt.
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Anders als bei Mengen, bei denen $\{a,b\} = \{b,a\}$ gilt, gilt bei 2-Tupeln demnach $(a,b) \ne (b,a)$.
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Die andere Schreibweise $()$, statt $\{\}$, soll dies verdeutlichen und dazu führen, dass man diese nicht verwechselt.
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Ein Verband haben wir als ein *Tripel* eingeführt.
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Ein Tripel ist ein 3-Tupel.
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Allgemein lassen sich rekursiv n-Tupel wie folgt definieren:
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:::note n-Tupel
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- 1-Tupel: $(x_1) = \{ x_1 \}$
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- 2-Tupel: $(x_1, x_2) = \{ \{x_1, x_2\}, \{x_1\} \}$
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- 3-Tupel: $(x_1, x_2, x_3) = ((x_1, x_2), x_3)$
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- n-Tupel: $(x_1, x_2, \dots, x_n) = ((x_1, x_2, \dots, x_{n-1}), x_n)$
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:::
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n-Tupel lassen sich also auf die Mengendarstellungen der 2-Tupel zurückführen.
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In der Typentheorie nach Russell, die im Kapitel über [Mengen](../mengen) eingeführt wurde ist dies allerdings nicht erlaubt.
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Denn schon bei einem 3-Tupel gibt es eine Vermischung verschiedener Mengenstufen:
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$$
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\begin{align*}
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(a, b, c) &= ((a, b), c)\\
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&= \{\ \{(a,b), c\},\ \{(a,b)\}\ \}\\
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&= \{\ \{\ \underbrace{\{\{a,b\}, \{a\}\}}_{(a,b)},\ c\},\ \{\underbrace{\{\{a,b\}, \{a\}\}}_{(a,b)}\}\ \}\\
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&= \{\ \{\ \underbrace{\{\{a,b\}, \{a\}\}}_{\text{Menge 2. Stufe}},\ \underbrace{c}_{\text{Menge 0. Stufe}}\},\ \{\{\{a,b\}, \{a\}\}\}\ \}
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\end{align*}
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$$
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Im Stufensystem ist dieser Ausdruck also nicht korrekt.
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In anderen axiomatisierten Mengenlehren ist es allerdings erlaubt.
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Auch für das Stufensystem gibt es korrekte Definitionen für n-Tupel.
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Wir wollen es an dieser Stelle allerdings dabei belassen und nehmen es einfach hin.
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Man kann nun Tupel zu einer Menge zusammenfassen.
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Die Menge aller Tupel von Mengen nennt man *kartesisches Produkt*:
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:::note Kartesisches Produkt
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Seien $A$ und $B$ Mengen, dann ist das *kartesische Produkt* der Mengen $A$ und $B$ definiert als
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$$
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A \times B\ :=\ \{ (a,b)\ |\ a \in A \wedge b \in B \}
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$$
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## Relationen
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Das kartesische Produkt erlaubt es uns jetzt Paare in einer Menge zusammenzufassen.
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Daraus können wir nun eine Teilmenge betrachten.
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:::note Relation
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Seien $A$, $B$ Mengen.
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Man nennt $R$ *Relation* oder *Korrespondenz* __aus__ $A$ __in__ $B$ $:=\ R \subseteq A \times B$
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#### Beispiele
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Nehmen wir eine Menge mit drei Elementen $A = \{a_1, a_2, a_3\}$ und bilden alle möglichen Paare.
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Diese Paare fassen wir nun in einer Menge zusammen:
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$$
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A \times A = \{(a_1, a_1), (a_1, a_2), (a_1, a_3),\quad (a_2, a_1), (a_2, a_2), (a_2, a_3),\quad (a_3, a_1), (a_3, a_2), (a_3, a_3)\}
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$$
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Daraus können wir jetzt bspw. unterschiedliche Relationen basteln:
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$$
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\begin{align*}
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R_0 &= \emptyset\\
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R_1 &= \{(a_1, a_1), (a_1, a_3)\}\\
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R_2 &= \{(a_1, a_1), (a_1, a_3), (a_2, a_2), (a_2, a_3), (a_3, a_3)\}\\
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||||||
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R_3 &= \{(a_2, a_1), (a_2, a_2), (a_2, a_3)\}\\
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R_4 &= A \times A
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\end{align*}
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$$
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Gegeben sei $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$, $B = \{a, b, c, d\}$ und $R = \{(1,a), (1,d), (2,b), (3,b), (4,d)\} \subseteq A \times B$.
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Man kann auch veranschaulichen, wie die jeweiligen Elemente in Beziehung stehen:
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Einige Begriffe die jetzt noch kommen sind vielleicht schon aus der Schulmathematik bekannt.
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Dort hat man sie allerdings für *Funktionen* kennengelernt.
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Da Funktionen spezielle Relationen sind, ist das nicht weiter schlimm.
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Dennoch sollte man darauf achten, ob man gerade mit einer echten Funktion oder nur einer Relation hantiert,
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wenn man mit diesen Begriffen jongliert.
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Funktionen werden aber sehr bald schon eingeführt.
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### Definitions- und Wertebereich
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Es ist sinnvoll Mengen zu definieren, die nur die Elemente ersten oder die zweiten Elemente einer Relation erfasst:
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:::note Definitions- und Wertebereich
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- *Definitionsbereich* von $R$:
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$$
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D(R)\ :=\ \{ x\ |\ x \in A \wedge \exists y \in B:\ (x,y) \in R \}
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$$
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Der Definitionsbereich von $R$ umfasst also alle Elemente $x$ aus $A$, für die es ein $y$ aus $B$ gibt.
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- *Wertebereich* oder *Bild* von $R$:
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$$
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W(R)\ :=\ \{ y\ |\ y \in B \wedge \exists x \in A:\ (x,y) \in R \}
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$$
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Der Wertebereich oder das Bild von $R$ umfasst also alle Elemente $y$ aus $B$, für die es ein $x$ aus $A$ gibt.
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#### Beispiele
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Gegeben sei $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$, $B = \{a, b, c, d\}$ und $R = \{(1,a), (1,d), (2,b), (3,b), (4,d)\} \subseteq A \times B$.
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Dann sind:
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- $D(R) = \{ 1, 2, 3, 5 \}$
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- $W(R) = \{ a, b, d \}$
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Die Elemente $5 \in A$ und $c \in B$ tauchen nicht auf, da für diese jeweils kein $x$ oder $y$ existiert,
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sie kommen also nirgends in $R$ vor.
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Gegeben sei $A = \{a_1, a_2, a_3\}$ und folgende Relationen $R_i \subseteq A \times A$ für $i=0,\dots,4$:
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$$
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\begin{align*}
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R_0 &= \emptyset\\
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R_1 &= \{(a_1, a_1), (a_1, a_3)\}\\
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R_2 &= \{(a_1, a_1), (a_1, a_3), (a_2, a_2), (a_2, a_3), (a_3, a_3)\}\\
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|
R_3 &= \{(a_2, a_1), (a_2, a_2), (a_2, a_3)\}\\
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|
R_4 &= A \times A
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\end{align*}
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$$
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Dann sind:
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- $D(R_0) = \emptyset$ und $W(R_0) = \emptyset$
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- $D(R_1) = \{ a_1 \}$ und $W(R_1) = \{ a_1, a_3\}$
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- $D(R_2) = \{ a_1, a_2, a_3 \}$ und $W(R_2) = \{ a_1, a_2, a_3 \}$
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- $D(R_3) = \{ a_2 \}$ und $W(R_3) = \{ a_1, a_2, a_3 \}$
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|
- $D(R_4) = W(R_4) = A$
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Je nachdem, ob der Definitions- oder Wertebereich die gesamte Menge $A$ bzw. $B$ umfasst gibt es verschiedene Sprechweisen.
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:::note Sprechweisen
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$R$ ist Relation
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- "*__von__* $A$ *in* $B$" $:=\ D(R) = A$
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- "*aus* $A$ *__auf__* $B$" $:=\ W(R) = B$
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- "*__von__* $A$ *__auf__* $B$" $:=\ D(R) = A \wedge W(R) = B$
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:::
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Wenn nun eine Relation gegeben ist, dann möchte man vielleicht die Frage stellen "Welche $y$-Werte werden für ein $x$ angenommen?"
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und möchte dies formal ausdrücken bzw. aufschreiben, ohne dabei immer die Tupel angeben zu müssen.
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:::note
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Sei $R$ Relation.
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$$
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R(x)\ :=\ \{ y\ |\ y \in B \wedge (x,y) \in R \}
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$$
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:::
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#### Beispiele
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Gegeben sei $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$, $B = \{a, b, c, d\}$ und $R = \{(1,a), (1,d), (2,b), (3,b), (4,d)\} \subseteq A \times B$.
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Dann ist:
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$$
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\begin{align*}
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R(1) &= \{ a, d \}\\
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R(2) &= \{ b \}\\
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R(3) &= \{ b \}\\
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R(4) &= \{ d \}\\
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R(5) &= \emptyset
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\end{align*}
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$$
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### Verkettung und Inverse
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Man kann auch zwei Relationen kombinieren, sofern diese *in* und *aus* den gleichen Mengen korrespondieren - in dieser Reihenfolge.
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:::note Verkettung / Relationenprodukt
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Seien $R \subseteq A \times B$ und $K \subseteq B \times C$ Relationen.
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Dann ist die Verkettung von $R$ mit $K$ definiert als:
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$$
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F \circ K\ :=\ \{ (x,z)\ |\ \exists y \in B:\ (x,y) \in R \wedge (y,z) \in K \}
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$$
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Also ist $F \circ K \subseteq A \times C$.
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:::
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#### Beispiele
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Gegeben seien $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$, $B = \{a, b, c, d\}$ und $C = \{\alpha, \beta, \gamma\}$.
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$R = \{(1,a), (1,d), (2,b), (3,b), (4,d)\} \subseteq A \times B$ und
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$K = \{(a, \alpha), (a, \beta), (a, \gamma), (b, \beta), (c, \alpha)\} \subseteq B \times C$ seien Relationen.
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Als Bild veranschaulicht:
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Die Verkettung sind dann die Paare, die gebildet werden können, wenn man alle möglichen Pfeile in den schaubildern entlang geht.
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$$
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F \circ K = \{(1, \alpha), (1, \beta), (1, \gamma), (2, \beta), (3, \beta)\}
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$$
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Im folgenden Schaubild sind die einzelnen Relationen aufgeführt, nur dieses sind die Pfeile rot eingefärbt,
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die für die Verkettung relevant sind.
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Jeden dieser Pfeile geht man entlang und sammelt die Paare.
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Rechts im Bild ist dann nur noch das Resultat der Verkettung $R \circ K$ zu sehen:
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Relationen kann man auch umkehren.
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Die Rolle der ersten Elemente eines Tupels vertauscht sich dann mit den zweiten Elementen.
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Das heißt, Wenn $x$ mit $y$ in Relation steht, also $(x,y) \in R$, dann ist das *Inverse* dazu $(y,x) \in R^{-1}$.
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:::note Inverse Relation
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Gegeben sei $R \subseteq A \times B$
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$$
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R^{-1}\ :=\ \{(y,x)\ |\ (x,y) \in R \} \subset B \times A
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$$
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ist die *inverse Relation* zu $R$.
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:::
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Man beachte, dass sich entsprechend das kartesische Produkt umdreht.
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Also wenn $R \subseteq A \times B$, dann ist $R^{-1} \subseteq B \times A$.
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#### Beispiele
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Gegeben seien $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$, $B = \{a, b, c, d\}$ und $R = \{(1,a), (1,d), (2,b), (3,b), (4,d)\} \subseteq A \times B$.
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Das Inverse $R^{-1}$ von $R$ ist jetzt jedes Paar aus $R$ umgedreht:
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$$
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R^{-1} = \{ a,1), (b,2), (b,3), (d,1), (d,4) \}
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$$
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Veranschaulicht:
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Für die Verkettung und das Inverse gelten nun folgende Eigenschaften:
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:::tip Sätze über Verkettung und Inverse von Relationen
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1. Die Verkettung ist assoziativ: $(R \circ K) \circ F = R \circ (K \circ F )$
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2. $(R^{-1})^{-1} = R$
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3. $(R \circ K)^{-1} = K^{-1} \circ R^{-1}$
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:::
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Die Assoziativität ist leicht zu beweisen.
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Man geht auf die Definitionsebene mit Mengen und definierenden Ausdrücken und führt es auf die Assoziativität der logischen Operatoren zurück,
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sowie es bereits bei der [Schnittmenge der Mengenalgebra](../mengen#beweis) gemacht wurde.
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Der Beweis für den zweiten Satz ist *trivial*.
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Trivial ist eine oft benutzte Bezeichnung in der Mathematik, wenn etwas offensichtlich oder leicht einsehbar ist,
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also so leicht, dass man keinen extra beweis dafür angibt - dennoch gibt es Fallen und es sollte nicht leichtfertig benutzt werden.
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In diesem Fall mache man sich klar, dass 2. wirklich gilt und beweise es sogar.
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#### Beweis von 3
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Der dritte Satz ist eine schöne Beziehung zwischen Verkettung und den inversen Relationen.
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$$
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\begin{alignat*}{2}
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\quad && &(z,x) \in (R \circ K)^{-1}\\
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\overset{\text{Def. } \square^{-1}}{\Longleftrightarrow}\quad && &(x,z) \in R \circ K\\
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\overset{\text{Def. } \circ}{\Longleftrightarrow}\quad && &\exists y:\ (x,y) \in R \wedge (y,z) \in K\\
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\overset{\text{Def. } \square^{-1}}{\Longleftrightarrow}\quad && &\exists y:\ (y,x) \in R^{-1} \wedge (z,y) \in K^{-1}\\
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|
\overset{\text{Kom. } \wedge}{\Longleftrightarrow}\quad && &\exists y:\ (z,y) \in K^{-1} \wedge (y,x) \in R^{-1}\\
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||||||
|
\overset{\text{Def. } \circ}{\Longleftrightarrow}\quad && &(z,x) \in K^{-1} \circ R^{-1}
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\qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare
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\end{alignat*}
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$$
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Die $\Longleftrightarrow$ sind symbolische Schreibweisen für "... genau dann, wenn ..." und beziehen sich auf die Logik.
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Statt $\longleftrightarrow$, wurde hier $\Longleftrightarrow$ genutzt.
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Beweise in der Mathematik sind eher Skizzen und kein formaler Beweis, wie man ihn in der Logik korrekt führen müsste
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und manchmal verschwimmen dabei auch die Objekt- und Metasprache.
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Jeder Schritt der hier gemacht wurde, ist äquivalent.
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Bei Beweisen, bei denen man die Äquivalenz von zwei Aussagen $A$ und $B$ zeigen soll,
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unterteilt man diese in die Richtungen "$A \Rightarrow B$" und "$B \Rightarrow A$".
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In Fällen, wie hier, bei denen man direkt die Äquivalenz "$\Leftrightarrow$" nutzen kann fällt die direkte Unterteilung weg -
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aber es ist eben nicht immer so einfach.
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BIN
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