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- examples for functions
- surjection, injection and bijection

assets/mathematik/mengenlehre/bijektion.tex

@@ -0,0 +1,100 @@
+\documentclass[convert={size=768}]{standalone}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{tikz}
+\usepackage{color}
+
+\definecolor{draculaPurple}{RGB}{189,147,249}
+\definecolor{draculaCyan}{RGB}{139,233,253}
+\definecolor{draculaForeground}{RGB}{248,248,248}
+\definecolor{draculaRed}{RGB}{255, 85, 85}
+
+\begin{document}
+	\begin{tikzpicture}[text=draculaForeground, draw=draculaCyan]
+		% Injection
+		% Set names
+		\node at (1.5,0) [thick] {injektiv};
+		\node at (0,-0.4) [thick] {A};
+		\node at (3,-0.4) [thick] {B};
+		
+		% Set elements
+		\begin{scope}[every node/.style={circle,thick,draw}]
+			\node (1) at (0,-1) {1};
+			\node (2) at (0,-2) {2};
+			\node (3) at (0,-3) {3};
+		\end{scope}
+		\begin{scope}[every node/.style={circle,thick,draw}]
+			\node (A) at (3,-1) {a};
+			\node (B) at (3,-2) {b};
+			\node (C) at (3,-3) {c};
+			\node (D) at (3,-4) {d};
+		\end{scope}
+		
+		% Arrows
+		\begin{scope}[every edge/.style={draw=draculaPurple,very thick}]
+			\path [->] (1) edge (D);
+			\path [->] (2) edge (A);
+			\path [->] (3) edge (C);
+		\end{scope}
+	
+		% Surjection
+		% Set names
+		\node at (7.5,0) [thick] {surjektiv};
+		\node at (6,-0.4) [thick] {A};
+		\node at (9,-0.4) [thick] {B};
+		
+		% Set elements
+		\begin{scope}[every node/.style={circle,thick,draw}]
+			\node (11) at (6,-1) {1};
+			\node (22) at (6,-2) {2};
+			\node (33) at (6,-3) {3};
+			\node (44) at (6,-4) {4};
+			\node (55) at (6,-5) {5};
+		\end{scope}
+		\begin{scope}[every node/.style={circle,thick,draw}]
+			\node (AA) at (9,-1) {a};
+			\node (BB) at (9,-2) {b};
+			\node (CC) at (9,-3) {c};
+			\node (DD) at (9,-4) {d};
+		\end{scope}
+		
+		% Arrows
+		\begin{scope}[every edge/.style={draw=draculaPurple,very thick}]
+			\path [->] (11) edge (AA);
+			\path [->] (22) edge (BB);
+			\path [->] (33) edge (BB);
+			\path [->] (44) edge (DD);
+			\path [->] (55) edge (CC);
+		\end{scope}
+		
+		% Bijection
+		% Set names
+		\node at (13.5,0) [thick] {bijektiv};
+		\node at (12,-0.4) [thick] {A};
+		\node at (15,-0.4) [thick] {B};
+		
+		% Set elements
+		\begin{scope}[every node/.style={circle,thick,draw}]
+			\node (111) at (12,-1) {1};
+			\node (222) at (12,-2) {2};
+			\node (333) at (12,-3) {3};
+			\node (444) at (12,-4) {4};
+		\end{scope}
+		\begin{scope}[every node/.style={circle,thick,draw}]
+			\node (AAA) at (15,-1) {a};
+			\node (BBB) at (15,-2) {b};
+			\node (CCC) at (15,-3) {c};
+			\node (DDD) at (15,-4) {d};
+		\end{scope}
+		
+		% Arrows
+		\begin{scope}[every edge/.style={draw=draculaPurple,very thick}]
+			\path [->] (111) edge (DDD);
+			\path [->] (222) edge (AAA);
+			\path [->] (333) edge (CCC);
+			\path [->] (444) edge (BBB);
+		\end{scope}
+	\end{tikzpicture}
+\end{document}

docs/mathematik/mengenlehre/relationen/2_abbildungen.md

@@ -37,25 +37,62 @@ $f$ ist *Abbildung* oder *Funktion* von $A$ in $B$ $:=$
 - $D(f) = A$, also $f$ ist Relation *__von__ $A$ in $B$*
 - $f$ ist eindeutig
 
+Mathematisch-logisch aufgeschrieben:
+$$
+    \forall x \in A\ \exists ! y \in B:\ (x,y) \in A \times B
+$$
+
 :::
 Man schreibt dafür: $f:\ A \rightarrow B$.  
 Statt $R(x) = \{y\}$ wie bei normalen Relationen, schreibt man verkürzt $f(x) = y$, da das $y$ ja nun eindeutig ist.
 
 Eine Funktion ordnet also jedem Element aus $A$ genau ein $y$ aus $B$ zu.
 
-In der Analysis und auch in anderen mathematischen Gebieten findet man häufig eine alternative Einführung:
+In der Analysis und auch in anderen mathematischen Gebieten findet man häufig eine alternative textliche Einführung:
 
 :::note Alternative Definition
 
-$f:\ A \rightarrow B$ ist Funktion $:=$
+Eine Abbildung oder eine Funktion einer Menge $A$ in eine Menge $B$ ordnet jedem Element $x \in A$ genau ein Element $y \in B$ zu.
-$$
-    \forall x \in A\ \exists ! y \in B:\ f(x) = y
-$$
 
 :::
-Häufig wirds sie so eingeführt, ohne direkt auf das kartesische Produkt und Relationen zu verweisen.
+Bei dieser Definition wird komplett auf die mengentheoretische Begriffe wie *geordnetes Paar* oder auch *Relation* verzichtet.
-In diesen Fällen wird dann der *Graph der Funktion* definiert als $G_f := \{(x,f(x))\ |\ x \in A \wedge f(x) \in B\} \subseteq A \times B$.
+Erst aufbauend darauf wird dann mengentheoretisch der *Graph der Funktion* definiert als $G_f := \{(x,f(x))\ |\ x \in A \wedge f(x) \in B\} \subseteq A \times B$.
-Aus mengentheoretischer Sicht stimmen also die Begriffe "Funktion" und "Graph der Funktion" in diesen Fällen überein.
+Aus mengentheoretischer Sicht stimmen in diesen Fällen die Begriffe "Funktion" und "Graph der Funktion" überein.
+
+#### Beispiele
+Gegeben seien $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ und $B = \{a, b, c, d\}$.
+Eine Abbildung $f:\ A \rightarrow B$ können dann sein:
+- $f = \{(1,b)\}$
+- $f = \{(1,a), (2,b), (3,b), (4,d)\}$
+- $f = \{(1,b), (2,c), (3,d), (4,a), (5,b)\}$
+- ...
+
+Wenn man eine rechnerische Vorschrift (*Abbildungsvorschrift*) angeben möchte, wie ein $y$ zu einem $x$ berechnet werden soll, 
+dann schreibt man Abbildungen so:
+
+:::note Schreibweisen
+
+$$
+    f:\ A \rightarrow B,\ x \mapsto f(x)
+    \qquad\qquad\text{oder}\qquad\qquad
+    f: \begin{cases}
+        A \rightarrow B\\
+        x \mapsto f(x)
+    \end{cases}
+$$
+wobei anstelle $f(x)$ dann z.B. eine *Funktionsgleichung* tritt.
+
+:::
+
+#### Beispiele
+- $f:\ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},\ x \mapsto x^2 \quad$ für eine Parabel
+- $f: \begin{cases}
+     \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}\\
+     x \mapsto \sqrt{x}
+  \end{cases} \quad$ für Wurzeln von natürlichen Zahlen
+
+Es werden noch mehr unterschiedliche Darstellungsformen für Funktionen auftauchen, je nachdem wie es gerade angebracht ist.
+Bis dahin sollten einem die Begriffe allerdings so vertraut vorkommen, dass eine genaue Definition oder Einführung nicht notwendig ist.
 
 ## Grundlegende Eigenschaften von Funktionen
 Die *Verkettung*, oder auch *Komposition*, $f \circ g: A \rightarrow C$ von Funktionen $f:\ A \rightarrow B$ und $g:\ B \rightarrow C$ ist wieder eine Funktion.
@@ -63,6 +100,57 @@ Jedoch ist das *Inverse* $f^{-1}$ einer Funktion $f$ im Allgemeinen keine Funkti
 
 Zwei Funktionen $f$ und $g$ sind gleich $f=g$, wenn für alle $x$ gilt $f(x) = g(x)$.
 
+:::note Injektivität, Surjektivität, Bijektivität
 
+Sei $f: A \rightarrow B$ eine Funktion.
+- $f$ heißt *injektiv* (*eineindeutig*) $:=\ \forall x,x' \in A:\ f(x) = f(x') \rightarrow x = x'$
+- $f$ heißt *surjektiv* (*Abbildung auf $B$*) $:=\ \forall y \in B\ \exists x \in A:\ f(x) = y$
+- $f$ heißt *bijektiv* (*eineindeutige Abbildung auf $B$*) $:=\ f$ ist injektiv und surjektiv
+
+:::
+*Injektivität* bedeutet, dass jedes $y$ aus der Bildmenge *höchstens einmal* abgebildet wird.
+Es würden in einem Schaubild also keine zwei oder mehr Pfeile auf ein $y \in B$ treffen.
+*Surjektivität* bedeutet, dass die Bildmenge die gesamte Menge $B$ umfasst, dass also $W(f) = B$ gilt. 
+Siehe hierzu auch die Definition von [Relationen *auf* einer Menge](../relationen/kartesisches_produkt_relationen#definitions--und-wertebereich).
+*Bijektivität* schließlich bedeutet, dass jedes Element $x \in A$ auf *genau ein* Element $y \in B$ abgebildet wird und,
+dass jedes $y \in B$ "belegt" ist.
+
+![Injekitv, surjektiv und bijektiv dargestellt](/img/mathematik/mengenlehre/relationen/bijektion.png)
+
+Im Schaubild ist zu erkennen, wie bei der *Injektivität* kein Element aus $B$ mehr als ein mal von einem Pfeil getroffen wird.
+Es ist möglich, dass ein Element aus $B$ gar nicht getroffen, aber eben nie mehr als ein mal.
+Bei *Surjektivität* ist zu sehen, wie kein Element aus $B$ frei bleibt.
+Hier ist es möglich, dass mehr als ein Pfeil auf ein Element aus $B$ geht.
+Es muss also mindestens ein Pfeil eingehen.
+In dem Schaubild zur *Bijektivität*, als Kombination aus Beidem, ist zu sehen, dass jedes Element von $B$ genau ein mal
+von einem Pfeil getroffen wird. 
+Es darf also kein Element aus $B$ frei bleiben und es darf nur genau ein Pfeil pro Element eingehen.
+
+Dass dabei $A$ und $B$ gleich viele Elemente haben müssen ist kein Zufall.
+Welche Rolle bijektive Abbildungen bei der *Kardinalität* ("Größe") von Mengen haben, wird im Kapitel [Endlichkeit und Kardinalzahlen](../endlichkeit) erklärt.
+
+#### Beispiele
+Gegeben sei $f:\ \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N},\ n \mapsto f(n)$.
+Betrachten verschiedene Funktionsgleichungen für $f(n)$:
+- $f(n)\ :=\ n+1 \quad$ (*Nachfolgerfunktion*) ist injektiv, aber nicht surjektiv, da $0 \notin W(f)$
+- $f(n)\ := \begin{cases} \lfloor \frac{n}{2} \rfloor & n \text{ gerade}\\ 0 & n \text{ ungerade} \end{cases} \quad$ ist surjektiv, 
+  aber nicht injektiv, da z.B. $f(1) = f(3) = 0$
+- $f(n)\ :=\ n \quad$ (*identische Abbildung*) ist injektiv, surjektiv und damit auch bijektiv
+
+Gegeben sei $f:\ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},\ x \mapsto x^2$, also eine Parabelfunktion.
+$f$ ist weder injektiv, noch surjektiv.
+Wenn man allerdings die Abbildungsmengen einschränkt, kann man eine injektive, surjektive oder bijektive Abbildung erhalten.
+Im Folgenden bezeichnen wir $\mathbb{R}^+$ als die Menge der nicht-negativen reellen Zahlen, also reelle Zahlen $\ge 0$.
+Am einfachsten ist es, sich die folgenden Fälle zu skizzieren:
+- $f:\ \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R},\ x \mapsto x^2 \quad$ ist injektiv, aber nicht surjektiv
+- $f:\ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+,\ x \mapsto x^2 \quad$ ist surjektiv, aber nicht injektiv
+- $f:\ \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+,\ x \mapsto x^2 \quad$ ist injektiv und surjektiv und damit auch bijektiv
+
+Zu bijektiven Funktion sagt man auch, sie bilden "*umkehrbar eindeutig*" ab.
+Eingangs wurde erwähnt:
+> Jedoch ist das *Inverse* $f^{-1}$ einer Funktion $f$ im Allgemeinen keine Funktion mehr.
+
+Im Falle einer bijektiven Abbildung $f$ ist $f^{-1}$ allerdings eine Abbildung und man nennt diese dann *Umkehrabbildung* oder *Umkehrfunktion*.
 
 ## Operationen
+tbc