diff --git a/docs/mathematik/mengenlehre/2_mengen.md b/docs/mathematik/mengenlehre/2_mengen.md index 8bbdf2c..ada783b 100644 --- a/docs/mathematik/mengenlehre/2_mengen.md +++ b/docs/mathematik/mengenlehre/2_mengen.md @@ -85,10 +85,6 @@ Weitere Beispiele sind: - Menge der ganzzahligen Lösungen einer Gleichung: $M = \{ x\ |\ x \in \mathbb{Z} \wedge x^2 + 2 = 4x - 1 \}$ - Menge aller ganzen Quadratzahlen: $M = \{ x\ |\ \exists y \in \mathbb{Z}:\ x = y^2 \}$ -[^1]: Benannt nach *Ernst __Z__ermelo* und *Abraham __F__raenkel*. -Das *C* steht für *choice* und steht für das *Auswahlaxiom*. -Je nachdem, ob man das Auswahlaxiom mit zu den Axiomen hinzunimmt kürzt man mit *ZF* oder eben *ZFC* ab. - :::note Extensionalitätsaxiom (ZF) / Gleichheit von Mengen Zwei Mengen sind gleich, wenn sie die gleichen Elemente besitzen: @@ -101,4 +97,311 @@ $$ ::: ## Mengenalgebra -*tbc* \ No newline at end of file +Auf Mengen kann verschiedene Operationen durchführen. +Man stelle sich vor, man möchte zwei Mengen zusammenfassen zu einer oder man möchte eine Menge erzeugen, +die nur die Elemente enthält, die zwei Mengen gemeinsam haben. +Diese Mengenoperationen werden im folgenden vorgestellt. + +### Mengenoperationen +Charakteristisch für Mengenoperationen ist, dass sie direkt auf den logischen Operatoren basieren und das auch in ihren +Operationssymbolen wiederspiegeln. +Zwischen den Mengen- und den Logikoperatoren besteht also eine enge Verbindung, +weshalb man die Mengenlehre als Teilgebiet der *mathematischen Logik* zählen kann. + +Zu jeder Operation ist ein Bild. +Dieses Bild veranschaulicht die Auswirkung der Operation. +Mengen werden dabei als Ovale bzw. Kreise dargestellt. +Diese Ovale können überlappen, um zu zeigen, dass sie Elemente gemeinsam haben. +Der in lila eingefärbte Bereich ist dann die neue Menge, die entsteht, wenn man eine Mengenoperation auf den vorhanden Mengen ausführt. +Eine solche Darstellung nennt man *Venn-Diagramm*[^2]. + +#### Durchschnitt +Die Menge die entsteht, wenn man nur die Elemente aus zwei gegebenen Mengen nimmt, die sie gemeinsam haben nennt man *Durchschnitt* +oder *Schnittmenge*. + +:::note Durchschnitt + +$$ + A \cap B := \{ x\ |\ x \in A \wedge x \in B \} +$$ + +gesprochen: "A geschnitten B" + +::: +Zugehöriges Venn-Diagramm: + +![Venn Diagramm zum Mengen-Durchschnitt](/img/mathematik/mengenlehre/durchschnitt.png) + +##### Beispiele +Gegeben seien $A = \{ a, b, c \}$ und $B = \{ b, c, d \}$. +Dann ist $A \cap B = \{ b, c \}$. + +Gegeben seien $A = \{ a, b, c \}$ und $B = \{ e, f, g \}$. +Dann ist $A \cap B = \{ \} = \emptyset$ leer. +Das Symbol $\emptyset$ steht dabei in der Mathematik für die *leere Menge*, also eine Menge, die keine Elemente enthält. + +Gegeben seien $A = \{ a, b, c \}$ und $B = \{ a, b, c \}$. +Dann ist $A \cap B = \{ a, b, c \} = A = B$. +Die beiden Mengen $A$ und $B$ sind gleich - entsprechend auch deren Durchschnitt. + +Gegeben seien $A = \{ x\ |\ x \in \mathbb{N} \wedge x \text{ ist gerade} \}$ und $B = \{ 2, 8, 1001, 4088, 9999 \}$. +Dann ist $A \cap B = \{2, 8, 4088 \}$. + +#### Vereinigung +Die Menge die entsteht, wenn man die Elemente aus zwei gegebenen Mengen nimmt, und sie in einer Menge *vereinigt* +nennt man *Vereinigung* oder *Vereinigungsmenge*. +Elemente, die in beiden vorkommen, werden dabei nur einmal gezählt. + +:::note Vereinigung + +$$ + A \cup B := \{ x\ |\ x \in A \vee x \in B \} +$$ + +gesprochen: "A vereinigt B" + +::: +Zugehöriges Venn-Diagramm: + +![Venn Diagramm zum Mengen-Durchschnitt](/img/mathematik/mengenlehre/vereinigung.png) + +##### Beispiele +Gegeben seien $A = \{ a, b, c \}$ und $B = \{ b, c, d \}$. +Dann ist $A \cup B = \{ a, b, c, d \}$. + +Gegeben seien $A = \{ a, b, c \}$ und $B = \{ e, f, g \}$. +Dann ist $A \cup B = \{ a, b, c, e, f, g\}$. + +Gegeben seien $A = \{ a, b, c \}$ und $B = \{ a, b, c \}$. +Dann ist $A \cup B = \{ a, b, c \} = A = B$. +Die beiden Mengen $A$ und $B$ sind gleich - entsprechend auch deren Vereinigung. + +#### Komplement +Das *Komplement* einer Menge besteht gerade aus den Elementen, die nicht in der Menge $A$ liegen, also alles andere außer die Menge $A$. + +:::note Komplement + +$$ + \overline{A} = A^\complement := \{ x\ |\ \neg (x \in A) \} = \{ x\ |\ x \notin A \} +$$ + +gesprochen: "Komplement von A" + +::: +Zugehöriges Venn-Diagramm: + +![Venn Diagramm zum Mengen-Durchschnitt](/img/mathematik/mengenlehre/komplement.png) + +##### Beispiele +Gegeben seien $M = \{ a, b, c, d, e \}$ und $A = \{ b, c, d \}$. +Dann ist $\overline{A} = \{ a, e \}$. +Hier ist es wichtig, dass wir $A$ in einen Bezug zu einer anderen "Übermenge" $M$ setzen. +So eine Menge nennt man *Universum* oder *Grundmenge*. +Die Menge $A$ ist ein Teil des Universums $M$. + +Gegeben sei das Universum $A = \{ b, c, d \}$. +Dann ist $\overline{A} = \emptyset$. + +#### Differenz +Wenn man zwei Mengen hat und man möchte eine Menge bilden, die nur die Elemente enthält, die in einer Menge vorkommen, +aber ohne die Elemente, die auch in der anderen liegen, dann ist das die *Differenzmenge* oder *Mengendifferenz*. + +:::note Differenz + +$$ + A \setminus B := \{ x\ |\ x \in A \wedge x \notin B \} + +$$ + +gesprochen: "A ohne B" + +::: +Zugehöriges Venn-Diagramm: + +![Venn Diagramm zum Mengen-Durchschnitt](/img/mathematik/mengenlehre/differenz.png) + +Für die Differenz und das Komplement gilt eine besondere Beziehung: +Sei $M$ das Universum und $A$ Teil des Universums, dann gilt: $M \setminus A = \overline{A}$. + +##### Beispiele +Gegeben seien $A = \{ a, b, c, d \}$ und $B = \{ b, c, d, e \}$. +Dann ist $A \setminus B = \{ a \}$. + +Gegeben seien $A = \{ a, b, c, d \}$ und $B = \{ d, e \}$. +Dann ist $A \setminus B = \{ a, b, c \}$. + +Gegeben seien $M = \{ a, b, c, d \}$ und $A = \{ b, c \}$. +Dann ist $M \setminus A = \{ a, d \} = \overline{A}$. + +Die Mengenoperationen wurden anhand Mengen 1. Stufe eingeführt, wie es die Symboliken erahnen lassen. +Jedoch gelten diese auch für Mengen höherer Stufen. + +### Rechenregeln für Mengenoperationen +Für die Mengenoperationen gibt es gewisse Rechenregeln, die hier nun vorgestellt werden sollen. + +:::tip Rechenregeln für Mengenoperationen + +1. $$ + \begin{align*} + \begin{aligned} + (A \cap B) \cap C &= A \cap (B \cap C)\\ + (A \cup B) \cup C &= A \cup (B \cup C) + \end{aligned} + &&\text{Assoziativität} + \end{align*} +$$ +2. $$ + \begin{align*} + \begin{aligned} + A \cap B = B \cap A\\ + A \cup B = B \cup A + \end{aligned} + &&\text{Kommutativität} + \end{align*} +$$ +3. $$ + \begin{align*} + \begin{aligned} + A \cap (A \cup B) = A\\ + A \cup (A \cap B) = A + \end{aligned} + &&\text{Absorption} + \end{align*} +$$ +4. $$ + \begin{align*} + \begin{aligned} + A \cup (B \cap C &= (A \cup B) \cap (A \cup C)\\ + A \cap (B \cup C &= (A \cap B) \cup (A \cap C) + \end{aligned} + &&\text{Distributivität} + \end{align*} +$$ +5. $$ + \begin{align*} + \begin{aligned} + A \cap \overline{A} &= \emptyset\\ + A \cup \overline{A} &= U\quad \text{($U$ Universum)} + \end{aligned} + &&\text{Komplementgesetze} + \end{align*} +$$ + +::: + +Auch wenn einem manches davon vielleicht schon bekannt ist oder es als offensichtlich erscheint, +so ist es keineswegs sicher, dass es im Allgemeinen gilt. +In der Mathematik muss man auch solche Kleinigkeiten beweisen. +Also folgt an dieser Stelle ein erster Beweis für die Assoziativität des Durchschnitts: + +#### Beweis +Zu zeigen ist: $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$ +$$ +\begin{alignat*}{2} + \quad && &(A \cap B) \cap C\\ + \overset{\text{Def. } \cap}{=}\quad && &\{ x\ |\ x \in A \cap B \wedge x \in C \}\\ + \overset{\text{Def. } \cap}{=}\quad && &\{ x\ |\ (x \in A \wedge x \in B) \wedge x \in C \}\\ + \overset{\text{Ass. } \wedge}{=}\quad && &\{ x\ |\ x \in A \wedge (x \in B \wedge x \in C) \}\\ + \overset{\text{Def. } \cap}{=}\quad && &\{ x\ |\ x \in A \wedge x \in B \cap C \}\\ + \overset{\text{Def. } \cap}{=}\quad && &A \cap (B \cap C) \qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare +\end{alignat*} +$$ +Im Beweis stützen wir uns auf unsere Definition der Durchschnitts mittels der direkten Mengenschreibweise und des definierenden Ausdrucks. +Der definierende Ausdruck ist eine Aussagenform und kann daher mittels den Rechenregeln der logischen Operatoren manipuliert werden. +In diesem Fall haben wir die Assoziativität der Konjunktion ("und", $\wedge$) ausgenutzt. +Das $\blacksquare$ markiert schließlich das Ende des Beweises. + +Nach ähnlichem Schema können nun auch die anderen Regeln bewiesen werden. + +### Teilmenge +In den Beispielen beim [Komplement](#beispiele-5) tauchte folgender Satz auf: +> Die Menge $A$ ist ein Teil des Universums $M$. + +Dieses Wort "Teil" lässt sich wie folgt definieren: + +:::note Inklusion + +Seien $M, A$ Mengen. +- $A \subseteq M := \forall x:\ x \in A \rightarrow x \in M$ +- $A \subset M := A \subseteq M \wedge A \ne M$ + +Für $A \subseteq M$ spricht man "$A$ ist *Teilmenge* von $M$" und +für $A \subset M$ spricht man "$A$ ist *echte Teilmenge* von $M$" + +::: +Eine Teilmenge $A$ ist also mit ihren Elementen ganz und gar in ihrer *Obermenge* $M$ enthalten. +Man bezeichnet diese Teilmengenbeziehung auch als *Inklusion*. + +#### Beispiele +Gegeben seien $M = \{ a, b, c, d \}$ und $A = \{ a, b \}$. +Dann gilt $A \subseteq M$. +Es gilt sogar $A \subset M$. + +Gegeben seien $M = \{ a, b, c, d \}$ und $A = \{ a, b, c, d \}$. +Dann gilt $A \subseteq M$, aber nicht $A \subset M$. + +Gegeben seien $M = \{ a, b, c, d \}$ und $A = \{ e, f, g \}$. +Dann gilt $A \not\subseteq M$. + +### Verband +In der Mathematik untersucht man viele Strukturen. +Strukturen sind dabei meist eine Menge mit zusätzlichen Dingen, wie Operationen. +Die formale Definition einer ($n$-stelligen) Operation erfolgt später. +Hier sei nur gesagt, dass $\cap$ und $\cup$ *zweistellige Operationen* sind. + +:::note Verband + +Seien $\mathfrak{M}$ Menge und $\cap, \cup$ zweistellige Operationen in $\mathfrak{M}$. + +Ein Tripel $(\mathfrak{M}, \cap, \cup)$ heißt +- *Verband*, falls Assoziativität, Kommutativität und Absorption für alle $A, B, C \in \mathfrak{M}$ gelten. +- *distributiver Verband*, falls Verband und zusätzlich Distributivität für alle $A, B, C \in \mathfrak{M}$ gelten. +- *Boolesche Algebra*[^3], falls distributiver Verband und zusätzlich Komplementgesetze für alle $A, B, C \in \mathfrak{M}$ gelten. + (auch *komplementärer, distributiver Verband*) + +::: + +Die Mengenoperationen bilden eine boolesche Algebra, aber auch die logischen Ausdrücke in der Aussagenlogik können als eine aufgefasst werden. +$\cap$ und $\cup$ stehen dort dann für $\wedge$ und $\vee$. + +Hier findet eine Abstraktion statt: +Statt sich nur auf die oben eingeführten Mengenoperationen zu beschränken, wird in der Definition nur verlangt, +dass die genannten Rechenregeln gelten. +Wie diese Operation aussieht ist egal. +Es kann also auch eine völlig andere Operation gewählt werden, solange sie die Rechenregeln erfüllt ist es ein Verband. +$\cap$ und $\cup$ stehen also lediglich für ein Symbol, das gegen ein anderes Symbol und entsprechender Bedeutung ausgetauscht werden kann. + +### Potenzmenge +Eine wichtige Menge (mindestens) zweiter Stufe ist die *Potenzmenge*. +Die *Menge aller Teilmengen*. + +:::note Potenzmenge + +Sei $M$ Menge, dann heißt $2^M = \mathcal{P}(M) = \{ A\ |\ A \subseteq M \}$ *Potenzmenge* von $M$. + +::: +Die Bezeichnung $2^M$ kommt daher, da die Anzahl der Elemente in der Potenzmenge "2 hoch der Anzahl der Elemente in M" entspricht. +Wenn also $M$ drei Elemente enthält, dann hat $\mathcal{P}(M)$ $2^3 = 8$ Elemente. +Über die Anzahl der Elemente einer Menge wird im Abschnitt [Endlichkeit und Kardinalzahlen] weiter thematisiert. + +#### Beispiele +Gegeben sei $M = \{ a, b, c \}$. +Dann ist $\mathcal{P}(M) = \{ \emptyset, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\}, M \}$ Potenzmenge von $M$. +Man beachte, dass insbesondere auch die leere Menge $\emptyset$ und die Menge $M$ selbst Teilmengen von $M$ sind. +Man mache sich auch zusätzlich klar, dass $\emptyset \ne \{\emptyset\}$ ist. + +Gegeben sei $M = \{ \{a\}, \{b\} \}$. +Dann ist $\mathcal{P}(M) = \{ \emptyset, \{\{a\}\}, \{\{b\}\}, \{\{a\}, \{b\}\}, M \}$ Potenzmenge von $M$. + +Gegeben sei $M = \{ \{a\} \}$. +Dann ist $\mathcal{P}(M) = \{ \emptyset, M \}$ Potenzmenge von $M$. +Außerdem ist $\mathcal{P}(\mathcal{P}(M)) = \{ \emptyset, \{\emptyset\}, M, \mathcal{P}(M) \}$ Potenzmenge von $\mathcal{P}(M)$. + +Die Potenzmenge mit den üblichen Mengenoperationen $\cap$ und $\cup$ ist eine boolesche Algebra. + +[^1]: Benannt nach *Ernst __Z__ermelo* und *Abraham __F__raenkel*. + Das *C* steht für *choice* und steht für das *Auswahlaxiom*. + Je nachdem, ob man das Auswahlaxiom mit zu den Axiomen hinzunimmt kürzt man mit *ZF* oder eben *ZFC* ab. +[^2]: Benannt nach *John __Venn__*. +[^3]: Benannt nach *George __Boole__*. + Einer der Begründer der mathematischen Logik \ No newline at end of file diff --git a/static/img/mathematik/mengenlehre/differenz.png b/static/img/mathematik/mengenlehre/differenz.png new file mode 100644 index 0000000..89f7366 Binary files /dev/null and b/static/img/mathematik/mengenlehre/differenz.png differ diff --git a/static/img/mathematik/mengenlehre/durchschnitt.png b/static/img/mathematik/mengenlehre/durchschnitt.png new file mode 100644 index 0000000..997b396 Binary files /dev/null and b/static/img/mathematik/mengenlehre/durchschnitt.png differ diff --git a/static/img/mathematik/mengenlehre/komplement.png b/static/img/mathematik/mengenlehre/komplement.png new file mode 100644 index 0000000..f209174 Binary files /dev/null and b/static/img/mathematik/mengenlehre/komplement.png differ diff --git a/static/img/mathematik/mengenlehre/mengenoperationen.tex b/static/img/mathematik/mengenlehre/mengenoperationen.tex new file mode 100644 index 0000000..773d30f --- /dev/null +++ b/static/img/mathematik/mengenlehre/mengenoperationen.tex @@ -0,0 +1,36 @@ +\documentclass[convert]{standalone} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{tikz} + +\definecolor{draculaPurple}{RGB}{189,147,249} +\definecolor{draculaCyan}{RGB}{139,233,253} +\definecolor{draculaForeground}{RGB}{248,248,248} + +\def\firstcircle{(0,0) circle (1)} +\def\secondcircle{(1,0) circle (1)} + +\tikzset{reverseclip/.style={overlay,insert path={(-16383.99999pt,-16383.99999pt) rectangle (16383.99999pt,16383.99999pt)}}} + +\begin{document} + \begin{tikzpicture}[fill=draculaCyan, text=draculaForeground, draw=draculaForeground] + \fill[opacity=0.7] \firstcircle; +% \fill[opacity=0.7] \secondcircle; + + \begin{scope} + \clip[reverseclip] \secondcircle; + \fill[draculaPurple] \firstcircle; + \end{scope} + + \begin{scope} + \clip[reverseclip] \firstcircle; + \fill[opacity=0.7] \secondcircle; +% \fill[draculaPurple] \secondcircle; + 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