From 39db9531b8eac80784488fd2ed094b5e04311c47 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Niklas Date: Fri, 26 Aug 2022 23:04:27 +0200 Subject: [PATCH] Add content to 1_logik.md --- docs/mathematik/mengenlehre/1_logik.md | 158 ++++++++++++++++++++++++- 1 file changed, 156 insertions(+), 2 deletions(-) diff --git a/docs/mathematik/mengenlehre/1_logik.md b/docs/mathematik/mengenlehre/1_logik.md index 17981d6..c75f72a 100644 --- a/docs/mathematik/mengenlehre/1_logik.md +++ b/docs/mathematik/mengenlehre/1_logik.md @@ -1,7 +1,161 @@ --- -title: Elemente der Logik +title: Logik tags: [mathematik, mengenlehre, logik] sidebar_position: 1 --- -WIP \ No newline at end of file +# Logik +Die Mathematik ist wie eine eigene Sprache. +Wer sich mathematische Texte angeschaut hat, der wird sich vielleicht gewundert haben, was das alles für Symbole sind. +Die Symbole der Mengenlehre und auch der Logik werden dazu verwendet, um mathematische Sätze, Definitionen und Beweise kurz zu formulieren. +Doch nur Symbole an sich haben erst einmal wenig Bedeutung. +Erst durch die Regeln der Logik selbst, haben die Symbole eine Bedeutung. +Die Symbole und Schreibweisen selbst nennt man *Syntax*. +Syntax regelt das gültige Zusammensetzen von Zeichen. +Die *Semantik* wiederum gibt nun den syntaktisch korrekten Formeln eine Bedeutung, also wie sie zu interpretieren sind. +Die Syntax und die Semantik hängen in der Logik durchaus eng zusammen, da sie nach ähnlichen Regeln definiert sind, doch sollte man diese nicht verwechseln. + +## Aussagenlogik (PL 0) +Die *Aussagenlogik* oder auch *Prädikatenlogik 0. Stufe* (*PL0*) beschäftigt sich mit *Aussagen*. + +:::note Aussagen + +*Aussagen* sind Sachverhalte in sprachlicher Form, die in der objektiven Realität vorliegen oder denkbar sind. + +::: + +Diese Definition wirkt etwas sperrig. +Eine andere Definition wäre: + +:::note Aussagen + +Eine *Aussage* ist ein sprachliches Gebilde, dem eindeutig ein +*Wahrheitswert* (*wahr* oder *falsch*) zugeordnet werden kann. + +::: + +Diese Definition verknüpft allerdings schon ein bisschen die Syntax (sprachliches Gebilde) mit Semantik (Wahrheitswert). +Sowohl die Syntax, als auch die Semantik werden nachfolgend gesondert eingeführt. +Nur wenden wir uns dann nicht mehr dem Begriff Aussage selbst zu, sondern nutzen Variablen. + +#### Beispiele +Folgendes sind Beispiele für Aussagen: +- "Berlin ist die Hauptstadt von Deutschland" +- "Kein Auto ist Minzgrün" +- $3 + 4 = 0$ +- $3 - 7 > -5$ + +Jede dieser Aussagen ist ein sprachliches Gebilde. +Die ersten Beiden sind deutsche Sätze. +Deutsch ist eine *natürliche Sprache*. +Die anderen Beiden nutzen eine *formale Sprache*. +Solche Formeln und andere Schreibweisen mit Symbolen können eine formale Sprache bilden. +Formale Sprachen werden im Teil [Informatik](/docs/informatik) näher behandelt. + +### Syntax +Aussagenlogische *Formeln* beinhalten verschiedene Symbole und werden rekursiv definiert: + +:::note Aussagenlogische Formeln + +Sei $O = \{ \neg, \wedge, \vee, \rightarrow, \leftrightarrow, (, ) \}$ die Menge der *logischen Operatoren* +und $\Sigma$ eine Menge von Symbolen, die *Aussagevariablen* genannt werden. +Neben den Aussagenvariablen existieren noch die "Grundaussagen-Symbole" $\{ w, f \}$. +Um Verwechslungen zu vermeiden sollen alle drei Mengen keine gemeinsamen Elemente enthalten. + +Formeln sind nun rekursiv definiert: +- $w$ und $f$ sind (atomare) Formeln +- Alle Aussagenvariablen aus $\Sigma$ sind (atomare) Formeln +- Sind $A$ und $B$ Formeln, dann sind auch $\neg A,\ (A),\ A \wedge B,\ A \vee B,\ A \rightarrow B,\ A \leftrightarrow B$ Formeln. + +::: + +Das letzte ist der oben erwähnte rekursive Teil der Definition. +Jede gültige Zusammensetzung der Symbole nach diesen Regeln ist wieder eine Formel. +Es erscheinen also keine Operatoren, außer die Klammern, nebeneinander, sondern es liegen am Ende immer eine Aussagenvariable oder ein "Grundaussagen-Symbol" dazwischen. + +Durch das Ersetzen der Aussagenvariablen durch konkrete Aussagen, erhält man eine konkrete (zusammengesetzte) Aussage. +Es sind auch andere Symbole in Verwendung, je nach Person oder je nach Wissenschaft oder Fachgebiet. + +Die Operatoren haben einen Namen und eine Sprechweise: + +:::note Name und Sprechweise der Operatoren + +$$ +\begin{align*} + w &: \text{"wahr"}\\ + f &: \text{"falsch"}\\ + \neg A &: \text{"nicht A" (Negation)}\\ + A \wedge B &: \text{"A und B" (Konjunktion)}\\ + A \vee B &: \text{"A oder B" (Disjunktion)}\\ + A \rightarrow B &: \text{"wenn A, dann B" ((materiale) Implikation)}\\ + A \leftrightarrow B &: \text{"A genau dann, wenn B" (Äquivalenz)} +\end{align*} +$$ + +::: + +Bisher war es nur Syntax, d.h. rein syntaktische Gebilde ohne Bedeutung. +Einfach eine korrekte Aneinanderreihung von Symbolen. +Auch $w$ und $f$ sind erstmal nur Symbole, die allerdings wenig überraschend mit der den Worten entsprechenden Semantik belegt werden. + +### Semantik +In der Aussagenlogik gilt das *Zweiwertigkeitsprinzip*: + +:::note Zweiwertigkeitsprinzip + +Alle Aussagen sind entweder *wahr* ($w$ oder $1$) oder *falsch* ($f$ oder $0$) + +> Tertium non datur (dt.: Ein Drittes gibt es nicht) +> +> — Satz vom ausgeschlossenem Dritten + +::: + +Nehmen wir eine Formel $A \vee B$ und möchten diese untersuchen, ob sie wahr oder falsch ist, so können wir dies nicht ohne weiteres tun. +Ersetzen wir die Aussagenvariablen $A$ und $B$ durch konkrete Aussagen, so können wir immerhin diesen Aussagen einen Wahrheitswert zuordnen. +Aber nach welchen Regeln soll das $\wedge$, also das *und*, behandelt werden? + +Dafür müssen wir diesen syntaktischen Symbolen nun eine Bedeutung mittels einer Wahrheitstabelle eine Semantik geben. + +:::note Semantik der Operatoren + +$$ +\begin{array}{c|c||c|c|c|c|c|c} + A & B & \neg A & A \wedge B & A \vee B & A \rightarrow B & A \leftrightarrow B\\ + \hline\hline + f & f & w & f & f & w & w\\ + f & w & w & f & w & w & f\\ + w & f & f & f & w & f & f\\ + w & w & f & w & w & w & w +\end{array} +$$ + +::: + +Um Klammern zu sparen, vereinbaren wir eine Priorität von Operatoren, ähnlich wie "Punkt vor Strich". +Die Priorität der Operatoren in absteigender Reihenfolge: $\neg, \wedge, \vee, \rightarrow, \leftrightarrow$. + +Eine Zeile dieser Wahrheitstabelle nennt man auch *Interpretation* oder *Belegung*. + +#### Beispiele +Wählen wir folgende Aussagen $A = "3 < 5"$ und $B = "3 + 2 = 1"$. +$A$ ist eine wahre Aussage, während $B$ eine falsche Aussage ist. +Wir bilden nun die neue Aussage $A \wedge B$. +Ist die neue Aussage wahr oder falsch? +Dazu schauen wir in die Wahrheitstafel bei der Interpretation $w, f$ und sehen, dass $f$ gilt - also ist $A \wedge B$ eine falsche Aussage. + +#### Weitere Anmerkungen +Bei $\vee$ (gesprochen *oder*) ist anzumerken, dass es sich um ein *Inklusiv-Oder* handelt, d.h. die Gesamtaussage ist genau dann wahr, +wenn mindestens eine Teilaussage wahr ist. +Das Inklusiv-Oder ist wie ein "Milch *oder* Zucker" beim Kaffee zu verstehen - man kann auch beides nehmen. +Im Gegensatz dazu steht das *Exklusiv-Oder* (*Antivalenz* genannt, $\not\leftrightarrow$ geschrieben, +"entweder $A$ oder $B$" gesprochen), das nur dann wahr wird, wenn genau eine der beiden Teilaussagen wahr ist. +Die Antivalenz ist auch ein wichtiger Operator, der hier aber nicht näher eingeführt wird. + +Die Implikation bereitet vielen am Anfang Bauchschmerzen, da sie dem umgangssprachlichen "wenn ..., dann ..." auf den ersten Blick nicht vollkommen entspricht. +Hierfür findet man im Web viele weitere Erklärungen und Beispiele, die vielleicht Abhilfe schaffen können. + +*tbc* + +## Prädikatenlogik (PL 1) +*tbc* \ No newline at end of file