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assets/mathematik/mengenlehre/eindeutige_rel.tex

@@ -0,0 +1,72 @@
+\documentclass[convert={size=512}]{standalone}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{tikz}
+\usepackage{color}
+
+\definecolor{draculaPurple}{RGB}{189,147,249}
+\definecolor{draculaCyan}{RGB}{139,233,253}
+\definecolor{draculaForeground}{RGB}{248,248,248}
+\definecolor{draculaRed}{RGB}{255, 85, 85}
+
+\begin{document}
+	\begin{tikzpicture}[text=draculaForeground, draw=draculaCyan]
+		% Set names
+		\node at (0,-0.4) [thick] {A};
+		\node at (3,-0.4) [thick] {B};
+		
+		% Set elements
+		\begin{scope}[every node/.style={circle,thick,draw}]
+			\node (1) at (0,-1) {1};
+			\node (2) at (0,-2) {2};
+			\node (3) at (0,-3) {3};
+			\node (4) at (0,-4) {4};
+			\node (5) at (0,-5) {5};
+		\end{scope}
+		\begin{scope}[every node/.style={circle,thick,draw}]
+			\node (A) at (3,-1.5) {a};
+			\node (B) at (3,-2.5) {b};
+			\node (C) at (3,-3.5) {c};
+			\node (D) at (3,-4.5) {d};
+		\end{scope}
+		
+		% Arrows
+		\begin{scope}[every edge/.style={draw=draculaPurple,very thick}]
+			\path [->] (1) edge (A);
+			\path [->] (1) edge (D);
+			\path [->] (2) edge (B);
+			\path [->] (3) edge (B);
+			\path [->] (4) edge (D);
+		\end{scope}
+	
+		% Set names
+		\node at (6,-0.4) [thick] {A};
+		\node at (9,-0.4) [thick] {B};
+		
+		% Set elements
+		\begin{scope}[every node/.style={circle,thick,draw}]
+			\node (11) at (6,-1) {1};
+			\node (22) at (6,-2) {2};
+			\node (33) at (6,-3) {3};
+			\node (44) at (6,-4) {4};
+			\node (55) at (6,-5) {5};
+		\end{scope}
+		\begin{scope}[every node/.style={circle,thick,draw}]
+			\node (AA) at (9,-1.5) {a};
+			\node (BB) at (9,-2.5) {b};
+			\node (CC) at (9,-3.5) {c};
+			\node (DD) at (9,-4.5) {d};
+		\end{scope}
+		
+		% Arrows
+		\begin{scope}[every edge/.style={draw=draculaPurple,very thick}]
+			\path [->] (11) edge (AA);
+			\path [->] (22) edge (BB);
+			\path [->] (33) edge (BB);
+			\path [->] (44) edge (DD);
+		\end{scope}
+		
+	\end{tikzpicture}
+\end{document}

docs/mathematik/mengenlehre/relationen/2_abbildungen.md

@@ -4,4 +4,65 @@ tags: [mathematik, mengenlehre, relation, abbildung, funktion]
 sidebar_position: 3
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-WIP
+Eine der wichtigsten Relationen überhaupt stellen die *Abbildungen* da.
+Sie tauchen überall in der Mathematik auf und in der Realität lassen sich viele Probleme durch diese 
+speziellen Relationen darstellen.
+
+## Funktionen
+Bevor wir uns den Abbildungen widmen, definieren wir die Eindeutigkeit:
+
+:::note Eindeutigkeit
+
+Eine Relation $R \subseteq A \times B$ ist *eindeutig*, wenn
+$$
+    \forall x \in A\ \forall y, y' \in B:\ (x,y) \in R \wedge (x,y') \in R \rightarrow y = y'
+$$
+
+:::
+Anschaulich gesprochen heißt das, dass von jedem $x$, das in der Relation $R$ vorkommt, nur ein Pfeil weggeht.
+Gegeben seien $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$, $B = \{a, b, c, d\}$ und $R = \{(1,a), (1,d), (2,b), (3,b), (4,d)\} \subseteq A \times B$.
+$R$ ist nicht eindeutig, da $(1,a)$ und $(1,d)$ vorkommen.
+Laut Definition muss aber $y=y'$ gelten, wenn $x$ in $R$ enthalten, aber es gilt $a \ne d$.
+Durch entfernen einer dieser Komponenten, z.B. $(1,d)$ wird $R$ eindeutig.
+Im folgenden Schaubild ist links das ursprüngliche $R$ zu sehen, bei dem von der $1$ zwei Pfeile abgehen.
+Rechts ist dann die eindeutige Relation, da von der linken Seite maximal ein Pfeil pro Element abgeht.
+Bei der Eindeutigkeit ist es egal, wie viele Pfeile rechts auf ein Element zugehen, es geht nur um die linke Seite.
+
+![Eindeutigkeit bei einer Relation dargestellt](/img/mathematik/mengenlehre/relationen/eindeutige_rel.png)
+
+:::note Abbildung / Funktion
+
+$f$ ist *Abbildung* oder *Funktion* von $A$ in $B$ $:=$
+- $f$ ist Relation, also $f \subseteq A \times B$
+- $D(f) = A$, also $f$ ist Relation *__von__ $A$ in $B$*
+- $f$ ist eindeutig
+
+:::
+Man schreibt dafür: $f:\ A \rightarrow B$.  
+Statt $R(x) = \{y\}$ wie bei normalen Relationen, schreibt man verkürzt $f(x) = y$, da das $y$ ja nun eindeutig ist.
+
+Eine Funktion ordnet also jedem Element aus $A$ genau ein $y$ aus $B$ zu.
+
+In der Analysis und auch in anderen mathematischen Gebieten findet man häufig eine alternative Einführung:
+
+:::note Alternative Definition
+
+$f:\ A \rightarrow B$ ist Funktion $:=$
+$$
+    \forall x \in A\ \exists ! y \in B:\ f(x) = y
+$$
+
+:::
+Häufig wirds sie so eingeführt, ohne direkt auf das kartesische Produkt und Relationen zu verweisen.
+In diesen Fällen wird dann der *Graph der Funktion* definiert als $G_f := \{(x,f(x))\ |\ x \in A \wedge f(x) \in B\} \subseteq A \times B$.
+Aus mengentheoretischer Sicht stimmen also die Begriffe "Funktion" und "Graph der Funktion" in diesen Fällen überein.
+
+## Grundlegende Eigenschaften von Funktionen
+Die *Verkettung*, oder auch *Komposition*, $f \circ g: A \rightarrow C$ von Funktionen $f:\ A \rightarrow B$ und $g:\ B \rightarrow C$ ist wieder eine Funktion.
+Jedoch ist das *Inverse* $f^{-1}$ einer Funktion $f$ im Allgemeinen keine Funktion mehr.
+
+Zwei Funktionen $f$ und $g$ sind gleich $f=g$, wenn für alle $x$ gilt $f(x) = g(x)$.
+
+
+
+## Operationen