diff --git a/docs/mathematik/mathematik.md b/docs/mathematik/mathematik.md index a0825a9..1e86ced 100644 --- a/docs/mathematik/mathematik.md +++ b/docs/mathematik/mathematik.md @@ -4,4 +4,322 @@ tags: [mathe, mathematik, definition] sidebar_position: 1 --- -WIP \ No newline at end of file +# Mathematik - eine Einführung +## Zur Beliebtheit der Mathematik +Mathematik wird als nicht besonders beliebtes Schulfach gesehen. +Dabei galt es 2010 noch als eines der Lieblingsfächer der Deutschen. [^1] +Trotzdem scheint es so, als ob die meisten das Fach nicht mögen, wenn man sich so umhört. +Vielleicht liegt es an der Schule, an den Lehrern oder einfach an der Schulmathematik selbst. +Die Schulmathematik ist allerdings eine völlig andere, als die höhere Mathematik oder Uni-Mathematik. +Die wahre Schönheit der Mathematik lässt sich erst in der höheren Mathematik erkennen, +doch diese wäre für den Schulunterricht ungeeignet. +Lediglich in der gymnasialen Oberstufen werden ein paar wenige Konzepte der höheren Mathematik eingeführt, +wenngleich nicht mit einer hohen mathematischen Strenge oder Abstraktion. + +## Mathematik ist überall +Aber Mathematik umgibt uns ständig. Wesentliche Zusammenhänge in der Natur lassen sich durch Mathematik beschreiben. +Zahlen und das Rechnen mit ihnen ist unser täglich Brot, wenn wir beim Bäcker etwas kaufen. +Sie ist enorm wichtig für uns Menschen, da viele ingenieurwissenschaftlichen Erkenntnisse auf ihr mit der Physik beruhen. +Es gäbe keine Computer ohne die Mathematik. +Ich könnte ohne Mathematik diese Zeilen hier gar nicht schreiben und du nicht lesen. + +Einer der wichtigsten Universalgelehrten hat mal gesagt: +> Mathematik ist das Alphabet, mit dessen Hilfe Gott das Universum beschrieben hat. +> +> — Galileo Galilei + +Galileo Galilei lebte bis ins 17. Jahrhundert, das war lange bevor die Mathematik zu dem wurde, wie wir sie heute kennen. +Die neuzeitliche Mathematik, wie sie heute betrieben wird, entwickelte sich erst im 19. und 20. Jahrhundert. +Dennoch spielte die Mathematik bereits in der Antike und seit jeher eine wichtige Rolle. + +## Mathematik = Rechnen? +Mathematik entstand aus der Untersuchung von geometrischen Figuren und dem Rechnen mit Zahlen. +Jedoch hat sie sich weiterentwickelt zu etwas, das mit bloßem Rechnen nicht mehr viel zu tun hat. +Auch die Geometrie hat sich zu etwas entwickelt, was wir uns so gar nicht mehr vorstellen können. +Das *übliche* Rechnen und die *übliche* Geometrie sind allerdings allesamt Spezialfälle der heutigen Auffassungen +und eignen sich daher dafür sich die Dinge vorzustellen, deshalb beschränkt man sich häufig darauf, +wenn man einer Person Mathematik nahe bringen möchte, ohne diese abzuschrecken. +Auch spielt das Rechnen in unserem Alltag an der Supermarktkasse oder beim Zählen eine große Rolle. + +Mathematik zählt wie die [Informatik](/informatik/informatik.md) zu den *Struktur*- bzw. *Formalwissenschaften*. +Sie nimmt damit eine Sonderrolle unter den Wissenschaften ein und wird manchmal auch als *__die__ exakte* Wissenschaft betrachtet. +Denn anders, als bei anderen Wissenschaften beruhen die Erkenntnisse auf einem logischen Beweis. +Ein wahrer logischer Beweis ist prinzipbedingt endgültig und allgemeingültig wahr. +Im Vergleich dazu werden naturwissenschaftliche Erkenntnisse durch Experimente bestätigt und müssen durch Experimente +auch falsifiziert werden können. Solche Erkenntnisse sind daher vorläufig, das kennt die Mathematik nicht. + +### Ein Versuch einer Definition +Eine gemeinhin anerkannte Definition existiert nicht, aber ein grober Versuch zu beschreiben, +was die Mathematik ist oder macht könnte folgendermaßen aussehen: + +:::note Mathematik + +Die Mathematik ist eine Wissenschaft, +die durch logische Definitionen selbstgeschaffene abstrakte Strukturen mittels der Logik +auf ihre Eigenschaften und Muster untersucht.[^2] + +::: + +## Einteilung der Mathematik +### Reine Mathematik +Die reine Mathematik beschäftigt sich vorzugsweise mit der Untersuchung der mathematischen Strukturen und Objekte innerhalb der Mathematik. +Die Theorien dazu werden ggf. erweitert oder verallgemeinert und neue Verbindungen erkannt. +Dazu werden neue Definitionen eingeführt. +Außerdem müssen die Verbindungen mathematisch bewiesen und in mathematischer Strenge als Sätze formuliert werden. + +### Angewandte Mathematik +In der angewandten Mathematik werden die Erkenntnisse der Mathematik auf reale Probleme in anderen Wissenschaften wie +Naturwissenschaften, Informatik und Technik angewandt. +Hierbei wird das Problem aus dem anderen Bereich mathematisch modelliert. +Passend zu dem erstellten Modell kann dann eine Methode der Mathematik herangezogen werden, mit der man das Problem löst. + +Die Grenzen zur reinen Mathematik sind dabei fließend. + +Folgende Gebiete kann man zur angewandten Mathematik zählen, die mehr oder weniger mit der reinen Mathematik in Verbindung stehen: +- Numerik +- Optimierung +- Operations Research +- Kryptologie +- Wissenschaftliches Rechnen +- Mathematische Chemie +- Mathematische Biologie +- Mathematische Physik +- Mathematische Statistik +- Wirtschaftsmathematik +- Theoretische Informatik + +## Teilgebiete der Mathematik +Die Mathematik hat viele Teilgebiete. +Vier davon sind besonders hervorzuheben, da sie für viele andere Teilgebiete die absoluten Grundlagen bereitstellen. + +### Fundamentale Gebiete +#### Logik und Mengenlehre +Die Logik ist nicht nur fundamental in der Mathematik. +Auch in der Philosophie und Informatik spielt sie eine entscheidende Rolle. + +:::note Logik + +Logik ist die Wissenschaft des *richtigen Schließens*. +In der Mathematik werden die Zusammenhänge zwischen Axiomen und Sätzen von mathematischen Theorien untersucht. + +::: + +Die Logik bildet das formale Grundgerüst, auf das die Mathematik heute beruht. +Mathematische *Sätze* sind logische Aussagen und das Zeigen der Gültigkeit eines solchen Satzes wird +durch *Beweise* geführt, welche auf logischen *Schlussfolgerungen* beruhen. + +Allerdings hat die verwendete Logik auch Grenzen. +*David Hilbert*, einer der einflussreichsten Mathematiker des 20. Jahrhunderts, +wollte die Mathematik als formales System neu definieren, in dem übliche Beweismethoden weiterhin zulässig sind. +Dieses System sollte widerspruchsfrei sein und alle ableitbaren Sätze sollten abgeleitet werden können. +*Kurt Gödel* zeigte allerdings, das dies nicht möglich ist und es Sätze gibt, die weder bewiesen, noch widerlegt werden können. + +Sehr eng mit Logik verwandt ist die Mengenlehre bzw. die Mengenlehre ist ein Teilgebiet der *mathematischen Logik*. +Die Mengenlehre untersucht Mengen, also eine Zusammenfassung von Objekten. +Mengenoperationen können direkt auf die Logik zurückgeführt werden. +Außerdem werden nahezu alle mathematischen Objekte als Mengen definiert, weshalb Mengen (und Logik) **die** Grundlage der Mathematik ist. + +:::note Mengenlehre + +Die Mengenlehre befasst sich mit der Untersuchung von einer Zusammenfassung von wohlunterschiedenen Objekten unserer +Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen (Menge). + +::: + +In u.a. folgende Untersuchungs- und Teilgebiete lässt sich die (mathematische) Logik einordnen: +- Aussagen- und Prädikatenlogik +- Beweistheorie +- Modelltheorie +- Mengenlehre + - naive Mengenlehre + - Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre + - Mengenoperationen + - Relationen und Funktionen + +#### Algebra +Die Algebra wird in der Schule häufig als das "Rechnen mit Unbekannten" und "Lösen von Gleichungen" eingeführt. +Die Theorie der Algebra hat sich allerdings weiterentwickelt und abstrahiert. + +:::note Algebra + +Algebra untersucht die Verbindungen zwischen algebraischen Strukturen. + +::: + +Folgende Untersuchungs- und Teilgebiete können u.a. der Algebra zugeordnet werden: +- Arithmetik (zusammen mit der [Zahlentheorie](#zahlentheorie)) +- Elementare Algebra ("Schulalgebra") +- Abstrakte Algebra + - Gruppentheorie + - Ringtheorie + - Körpertheorie +- Lineare Algebra + - Vektorraumtheorie + - Lineare Gleichungssysteme + - Affine Geometrie + +#### Analysis +Die Analysis ist v.a. für Natur- und Ingenieurwissenschaften relevant. +Sie beschäftigt sich hauptsächlich mit Funktionen in den *reellen* und *komplexen Zahlen*. + +:::note Analysis + +Die Analysis befasst sich mit Funktionen und ihren analytischen Eigenschaften, +wie Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit. + +::: + +Folgende Untersuchungs- und Teilgebiete können u.a. der Algebra zugeordnet werden: +- Folgen, Reihen und Grenzwerte +- Reelle Analysis + - Stetigkeit + - Differentialrechnung + - Integralrechnung +- Funktionentheorie (komplexe Analysis) +- Funktionalanalysis (Kombination aus Algebra und Analysis) +- Differentialgleichungen + +#### Topologie +Die Topologie beschäftigt sich mit mathematischen Strukturen, deren Struktur unter stetigen Verformungen erhalten bleiben. + +:::note Topologie + +Die Topologie ist die Lehre von der Lage und Anordnung geometrischer Gebilde im Raum. [^3] + +::: + +Der Stetigkeitsbegriff aus der Analysis wird dadurch verallgemeinert. +Ebenso Begriffe wie Grenzwerte. + +Als Grundlegende Strukturen werden dabei die *topologischen Räume* eingeführt. +Ein Spezialfall eines topologischen Raumes ist der *metrische Raum*, welcher auch in der Analysis eine bedeutende Rolle spielt. + +### Weitere Teilgebiete +#### Diskrete Mathematik +Die diskrete Mathematik beschäftigt sich mit diskreten Strukturen, während die Analysis bspw. als *kontinuierlich* beschrieben werden kann. +Sie spielt v.a. in der Informatik eine wichtige Rolle. + +:::note Diskrete Mathematik + +Die diskrete Mathematik beschäftigt sich mit Operationen auf höchstens abzählbar unendlichen Mengen. + +::: + +Als Untersuchungs- und Teilgebiete der diskreten Mathematik können folgende aufgezählt werden: +- Kodierungstheorie +- Kryptographie +- Graphentheorie +- Kombinatorik +- Zahlentheorie + +#### Numerik +Durch die Erkenntnisse der Numerik lassen sich näherungsweise Lösungen durch Computer berechnen. +Computer arbeiten diskret, da sie nur + +:::note Numerische Mathematik + +Die numerische Mathematik beschäftigt sich mit der Konstruktion und Analyse von Algorithmen für kontinuierliche mathematische Probleme. [^4] + +::: + +An der Definition erkennbar, sind numerische Algorithmen nicht nur für Computer gedacht. +Wenn ein gegebenes Problem mathematisch zu berechnen sehr aufwändig ist und man nur Näherungswerte benötigt, +dann kann es Wert sein, eine numerische Lösung dafür zu finden, die erheblich einfacher ist, +ganz unabhängig von Computern (z.B. Überschlagen einer Rechnung im Kopf). + +#### Stochastik und Statistik +In der Mathematik sind Ergebnisse erstmal vorherbestimmt, da z.B. eine Rechnung eben nur ein Ergebnis liefert. +Es gibt jedoch in der echten Welt auch so etwas wie Zufall. +Da wir die Mathematik gerne als Beschreibungssprache theoretischer Zusammenhänge verwenden, +kam der Wunsch nach einer mathematischen Theorie für Zufall auf. +Glücklicherweise ging das auf und die Wahrscheinlichkeitstheorie ward geboren. + +:::note Stochastik + +Die Stochastik untersucht mathematische Methoden für +Versuche, Beobachtungen, Situationen, etc., bei denen man Ergebnisse nicht genau (vorher-)bestimmen kann + +::: + +Unter Stochastik fallen die beiden Zweige *Wahrscheinlichkeitstheorie* und *mathematische Statistik*. +Es gibt neben der *mathematischen Statistik* allerdings noch weitere Arten von Statistiken. + +:::note Statistik + +Statistik ist die Lehre von Methoden zum Umgang mit quantitativen Informationen. +Sie ist eine Möglichkeit, eine systematische Verbindung zwischen Erfahrung (Empirie) und Theorie herzustellen. [^5] + +::: + +Viele empirische Wissenschaften nutzen die Statistik als theoretische Grundlage, +da mit den Hilfsmitteln der Statistik ihre empirisch gesammelten Informationen analysiert werden können. + +Folgende Untersuchungs- und Teilgebiete der Stochastik und Statistik können genannt werden: +- Wahrscheinlichkeitstheorie + - Wahrscheinlichkeit + - Zufallsvariablen + - Verteilungen +- Statistik + - Mathematische Statistik + - Deskriptive Statistik + - Induktive Statistik + - Explorative Statistik + +#### Geometrie +Geometrie handelte früher von Punkten und Geraden und Figuren, die man damit erstellen konnte. +Ganz anschaulich konnte man damit Figuren zeichnen und konstruieren. +Mittlerweile hat sich die Geometrie zu etwas weiterentwickelt, von dem man gar nicht mehr annehmen würde, dass es Geometrie ist. + +:::note Geometrie + +Geometrie beschäftigt sich mit der allgemeinen Untersuchung invarianter (unveränderlicher) Größen. + +> Geometrie ist die Invariantentheorie von Transformationsgruppen. +> +> — Felix Klein (Erlanger-Programm) + +::: + +Folgende Untersuchungs- und Teilgebiete der Stochastik und Statistik können genannt werden: +- Geometrische Figuren +- Synthetische Geometrie + - Projektive Geometrie + - Affine Geometrie + - Euklidische Geometrie (Elementargeometrie aus der Schule) +- Analytische Geometrie (anderer Zugang zu synthetischen Geometrien, v.a. Elementargeometrie) +- Nichteuklidische Geometrie +- Differentialgeometrie + +#### Zahlentheorie +Die Zahlentheorie beschäftigt sich hauptsächlich mit Zahlen. +In der *elementare Zahlentheorie* insbesondere mit den *ganzen Zahlen*. +Begriffe wie Teilbarkeit kommen aus diesem Teilgebiet. +Zahlentheoretische Erkenntnisse werden insbesondere in der Codierungstheorie und Kryptographie benötigt. + +:::note Zahlentheorie + +Die Zahlentheorie beschäftigt sich mit den Eigenschaften von Zahlen und Zahlbereichen. [^6] + +::: + +Bei der [Algebra](#algebra) wurde bereits die Arithmetik erwähnt. +Die Arithmetik ist das Rechnen mit den *Grundrechenarten* in den *natürlichen Zahlen*. +Sowohl die Algebra, als auch die Zahlentheorie verallgemeinern dieses Konzept. +Während Algebra das Rechnen mit Elementen verallgemeinert, ist es bei der Zahlentheorie eine Verallgemeinerung +der Eigenschaften der ganzen Zahlen (*elementare Zahlentheorie*). + +Folgende Untersuchungs- und Teilgebiete der Zahlentheorie können genannt werden: +- Teilbarkeit +- Primzahlen +- Kongruenzen +- Elementare Zahlentheorie (Arithmetik) +- Analytische Zahlentheorie +- Algebraische Zahlentheorie +- Algorithmische Zahlentheorie + +[^1]: https://www.mathematik.de/Vermischtes/65-studie-mathematik-ist-das-lieblingsfach-der-deutschen +[^2]: https://de.wikipedia.org/wiki/Mathematik +[^3]: https://de.wikipedia.org/wiki/Topologie_(Mathematik) +[^4]: https://de.wikipedia.org/wiki/Numerische_Mathematik +[^5]: https://de.wikipedia.org/wiki/Statistik +[^6]: https://de.wikipedia.org/wiki/Zahlentheorie \ No newline at end of file