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docs/mathematik/analysis/analysis.mdx

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+title: Analysis
+tags: [mathematik, mengenlehre, analysis]
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+## Themen
+In diesem Teil möchte ich über folgende Themen sprechen:
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+1. [Reelle Zahlen](reelle_zahlen)
+2. [Komplexe Zahlen](komplexe_zahlen)
+3. [Metrische Räume](metrischer_raum)
+4. [Folgen und Reihen](folgen_reihen)
+   1. [Folgen](folgen_reihen/folgen)
+   2. [Reihen](folgen_reihen/reihen)
+5. [Stetigkeit](stetigkeit)
+6. [Differentialrechnung](differentiation)
+   1. [Ableitungen](differentiation/ableitungen)
+   2. [Taylorreihen](differentiation/taylor)
+   3. [Anwendungen der Differentialrechnung](differentiation/anwendungen)
+7. [Integralrechnung](integration)
+   1. [Bestimmte und unbestimmte Integrale](integration/integral1)
+   2. [Uneigentliche- und  Parameterintegrale](integration/integral2)
+   3. [Kurvenintegrale](integration/kurvenintegral)
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+## Über die Analysis
+Eine der wichtigsten Teilgebiete der Mathematik bildet die Analysis.
+Sie beschäftigt sich hauptsächlich mit Funktionen in den *reellen* und *komplexen Zahlen*.
+Dabei steht die Untersuchung der Eigenschaften dieser Funktionen im Vordergrund.
+Zu diesen Eigenschaften zählen insbesondere die *Stetigkeit*, *Differenzierbarkeit* und *Integrierbarkeit*.
+Man unterscheidet häufig zwischen der *reellen Analysis* mit den reellen Zahlen und der *komplexen Analysis* mit den komplexen Zahlen.
+Statt "*komplexe Analysis*" verwendet man häufig den Begriff *Funktionentheorie*.
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+Die Analysis spielt in den Natur- und Ingenieurswissenschaften eine tragende Rolle.
+Viele technische und natürliche Vorgänge können durch *wert-kontinuierliche* Funktionen abgebildet werden.
+Diese entsprechen gerade den Funktionen in den reellen Zahlen.
+Die *Funktionalanalysis* ist eine Verschmelzung von linearer Algebra mit der Analysis.
+Sie ist die Grundlage der Mathematik hinter der Quantenmechanik.
+*Differentialgleichungen* sind häufig Grundlage von mathematischen Modellen in den Natur- und Ingenieurswissenschaften.
+Die Funktionentheorie, Funktionalanalysis und Differentialgleichungen sind selbst so große Themenkomplexe, 
+dass sie hier nicht weiter behandelt werden.
+Das Kapitel über Analysis beschäftigt sich hauptsächlich mit der *ein-* und *mehrdimensionaler* reeller Analysis.
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+Bekannte Namen wie *Gottfried Wilhelm Leibniz* und *Isaac Newton* haben die Analysis durch ihre *Infinitesimalrechnung* begründet.
+Charakteristisch dabei ist, dass das Änderungsverhalten von Funktionen auf beliebig kleinen Abschnitten untersucht wird.
+Das "unendlich Kleine" sorgte damals allerdings für so manche Widersprüche.
+Durch die Arbeiten von *Leibniz*, *Newton*, *Leonhard Euler*, *Augustin-Louis Cauchy* und *Bernhard Riemann* konnte die 
+Analysis aber schließlich so entwickelt werden, wie sie heute Anwendung findet.