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ad3739b5ef
@ -59,7 +59,7 @@ Aussagenlogische *Formeln* beinhalten verschiedene Symbole und werden rekursiv d
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:::note Aussagenlogische Formeln
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Sei $O = \{ \neg, \wedge, \vee, \rightarrow, \leftrightarrow, (, ) \}$ die Menge der *logischen Operatoren*
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Sei $O = \{ \neg, \wedge, \vee, \rightarrow, \leftrightarrow, (, ) \}$ die Menge der *logischen Operatoren* (*Junktoren*)
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und $\Sigma$ eine Menge von Symbolen, die *Aussagevariablen* genannt werden.
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Neben den Aussagenvariablen existieren noch die "Grundaussagen-Symbole" $\{ w, f \}$.
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Um Verwechslungen zu vermeiden sollen alle drei Mengen keine gemeinsamen Elemente enthalten.
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@ -73,16 +73,16 @@ Formeln sind nun rekursiv definiert:
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Das letzte ist der oben erwähnte rekursive Teil der Definition.
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Jede gültige Zusammensetzung der Symbole nach diesen Regeln ist wieder eine Formel.
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Es erscheinen also keine Operatoren, außer die Klammern, nebeneinander, sondern es liegen am Ende immer eine Aussagenvariable oder ein "Grundaussagen-Symbol" dazwischen.
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Es erscheinen also keine Junktoren, außer die Klammern, nebeneinander, sondern es liegen am Ende immer eine Aussagenvariable oder ein "Grundaussagen-Symbol" dazwischen.
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Durch das Ersetzen der Aussagenvariablen durch konkrete Aussagen, erhält man eine konkrete (zusammengesetzte) Aussage.
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Zusammengesetzte Aussagen nennt man auch *Aussagenverbindungen*, wenn man den zusammengesetzten Charakter hervorheben möchte,
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ansonsten sind es eben auch nur Aussagen oder Formeln.
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Es sind auch andere Symbole in Verwendung, je nach Person oder je nach Wissenschaft oder Fachgebiet.
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Die Operatoren haben einen Namen und eine Sprechweise:
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Die Junktoren haben einen Namen und eine Sprechweise:
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:::note Name und Sprechweise der Operatoren
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:::note Name und Sprechweise der Junktoren
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$$
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\begin{align*}
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@ -121,7 +121,7 @@ Aber nach welchen Regeln soll das $\wedge$, also das *und*, behandelt werden?
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Dafür müssen wir diesen syntaktischen Symbolen nun eine Bedeutung mittels einer Wahrheitstabelle eine Semantik geben.
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:::note Semantik der Operatoren
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:::note Semantik der Junktoren
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$$
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\begin{array}{c|c||c|c|c|c|c|c}
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@ -136,8 +136,8 @@ $$
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:::
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Um Klammern zu sparen, vereinbaren wir eine Priorität von Operatoren, ähnlich wie "Punkt vor Strich".
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Die Priorität der Operatoren in absteigender Reihenfolge: $\neg, \wedge, \vee, \rightarrow, \leftrightarrow$.
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Um Klammern zu sparen, vereinbaren wir eine Priorität von Junktoren, ähnlich wie "Punkt vor Strich".
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Die Priorität der Junktoren in absteigender Reihenfolge: $\neg, \wedge, \vee, \rightarrow, \leftrightarrow$.
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Eine Zeile dieser Wahrheitstabelle nennt man auch *Interpretation* oder *Belegung*.
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@ -167,7 +167,7 @@ wenn mindestens eine Teilaussage wahr ist.
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Das Inklusiv-Oder ist wie ein "Milch *oder* Zucker" beim Kaffee zu verstehen - man kann auch beides nehmen.
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Im Gegensatz dazu steht das *Exklusiv-Oder* (*Antivalenz* genannt, $\not\leftrightarrow$ geschrieben,
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"entweder $A$ oder $B$" gesprochen), das nur dann wahr wird, wenn genau eine der beiden Teilaussagen wahr ist.
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Die Antivalenz ist auch ein wichtiger Operator, der hier aber nicht näher eingeführt wird.
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Die Antivalenz ist auch ein wichtiger Junktor, der hier aber nicht näher eingeführt wird.
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Die Implikation bereitet vielen am Anfang Bauchschmerzen, da sie dem umgangssprachlichen "wenn ..., dann ..." auf den ersten Blick nicht vollkommen entspricht.
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Hierfür findet man im Web viele weitere Erklärungen und Beispiele, die vielleicht Abhilfe schaffen können.
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@ -453,4 +453,96 @@ Vielleicht hat dein Mathelehrer mal das Wort "*Äquivalenzumformung*" dafür ver
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Es wird so umgeformt, dass sich der Wahrheitswert der Gleichung nicht ändert.
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## Prädikatenlogik (PL 1)
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*tbc*
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Die Aussagenlogik allein reicht leider nicht aus, um viele Problemstellungen in der Mathematik vernünftig zu formulieren.
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:::note Variable
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Sei $G$ ein Grundbereich von Objekten.
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Für eine *Variable* $x$ über $G$ kann ein Objekt aus $G$ eingesetzt werden.
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:::note Aussagenform
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Eine *Aussagenform* $H$ über $G$ ist ein schriftsprachliches Gebilde mit mindestens einer Variable.
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Durch Einsetzen von Objekten aus $G$ **für alle** Variablen wird $H$ zu einer Aussage.
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Man schreibt $H(x)$ oder $H(x_1, x_2, \dots, x_n)$ für eine Aussagenform $H$ mit den Variablen $x$ bzw. $x_1, x_2, \dots, x_n$.
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Aussagenformen wurden bereits in der [Aussagenlogik](#syntax)) oben eingeführt, ohne sie konkret zu benennen:
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> Durch das Ersetzen der Aussagenvariablen durch konkrete Aussagen, erhält man eine \[$\dots$\] Aussage.
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Das Zusammensetzen von Aussagen(-formen) mit den entsprechenden Junktoren ist analog zur Aussagenlogik.
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#### Beispiele
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Sei $G = \mathbb{N}$ Grundbereich und $A(n) := ``n + 1 = 3''$ Aussagenform.
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Durch Ersetzen der Variable $n$ durch ein Objekt aus $G$, hier also einer natürlichen Zahl, wird $A(x)$ zu einer Aussage:
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- Für $n = 1$ ist $A(1) := ``1 + 1 = 3''$ eine falsche Aussage.
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- Für $n = 2$ ist $A(2) := ``2 + 1 = 3''$ eine wahre Aussage.
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Sei $G$ die Menge aller Lebewesen und $Mensch(x) := ``x \text{ ist ein Mensch}''$ eine Aussagenform.
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In der Prädikatenlogik nennt man solche Aussagenformen ein *Prädikat*.
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$Mensch(AngelaMerkel)$, sprich "Angela Merkel ist ein Mensch", ist eine wahre Aussage,
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während $Mensch(Grumpy Cat)$, sprich "Grumpy Cat ist ein Mensch" eine falsche Aussage ist.
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Doch in der Prädikatenlogik gibt es noch mehr, was diese ausmacht:
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:::note Quantifizierung
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Quantoren:
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- Allquantor: $\forall x$ - sprich: "Für alle $x$ aus $G$"
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- Existenzquantor: $\exists x$ - sprich: "Es existiert ein $x$ aus $G$"
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Unter *Quantifizierung* einer Aussagenform $H(x)$ versteht man die Überführung von $H(x)$ mittels den Quantoren in die Aussagen:
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- Allaussage: $\forall x (H(x))$ - sprich: "Für alle $x$ aus $G$ gilt $H(x)$"
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- Existenzaussage: $\exists x (H(x))$ - sprich: "Es existiert ein $x$ aus $G$ für das $H(x)$ gilt"
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Variablen, die durch einen Quantor quantifiziert sind, nennt man auch *gebunden*.
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Nicht gebundene Variablen heißen *frei*.
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Eine Aussagenform wurde erst zu einer Aussage, wenn wir die Variablen durch ein konkretes Objekt aus $G$ ersetzt haben.
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Durch ein Quantor ist eine Aussagenform direkt eine Aussage:
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#### Beispiele
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Sei $G = \mathbb{N}$ Grundbereich und $H(x) := ``x + 1 = 3''$ Aussagenform.
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Durch Quantifizierung entstehen folgende Aussagen:
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- $\forall x (x + 1 = 3)$ - "Für alle $x$ aus $G$ gilt $x + 1 = 3" ist eine falsche Aussage.
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- $\exists x (x + 1 = 3)$ - "Es existiert ein $x$ aus $G$ mit $x + 1 = 3" ist eine wahre Aussage.
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Sei $G = \mathbb{N}$ und $H(x) := ``2x \ge x''$.
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Durch Quantifizierung entstehen folgende Aussagen:
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- $\forall x (2x \ge x)$ - "Für alle $x$ aus $G$ gilt $2x \ge x" ist eine wahre Aussage.
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- $\exists x (2x \ge x)$ - "Es existiert ein $x$ aus $G$ mit $2x \ge x" ist eine wahre Aussage.
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Man beachte hierbei, dass es bei einer Existenzaussage heißt "Es existiert **mindestens** ein $x\ \dots$".
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Im Beispiel sieht man, dass mehrere $x$ die letzte Aussage erfüllen.
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Möchte man dagegen deutlich machen, dass **genau** ein $x$ existiert, dann schreibt man das $\exists ! x (H(x))$.
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Damit wäre $\exists ! x (2x \ge x)$ eine falsche Aussage, da jedes $x$ das oben definierte $H(x)$ erfüllt.
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Sei $G = \mathbb{Z}$ und $H(x) := ``2x \ge x''$.
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$\forall x (2x \ge x)$ ist nun eine falsche Aussage, da sich der Grundbereich geändert hat.
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Dagegen ist $\forall x (x \in \mathbb{N} \rightarrow 2x \ge x)$ wieder wahr.
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Statt dieser Schreibweise findet man häufig folgende unexakte Schreibweisen für solche Aussagen:
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$$
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\begin{equation*}
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\forall x \in \mathbb{N}:\ 2x \ge x
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\end{equation*}
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$$
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Eine Aussagenform wird natürlich nur dann zu einer Aussage, wenn alle Variablen gebunden sind oder, falls freie Variablen existieren,
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diese durch eine konkrete Aussage ersetzt wurden.
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Folgende Beispiele sind nur Aussagenformen, da nicht alle Variablen gebunden vorkommen.
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Sei $G = \mathbb{Z}$.
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- $x + y = 0$
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- $\forall x:\ x + y = 0$
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Dagegen sind sie quantifiziert oder ersetzt bspw. folgende Aussagen:
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- $\forall x:\ x + 1 = 0$ ist falsch.
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- $\forall x\ \exists y:\ x + y = 0$ ist wahr.
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- $\exists y\ \forall x:\ x + y = 0$ ist falsch.
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Am letzten Beispiel erkennt man, dass die Reihenfolge der Quantoren eine wichtige Rolle spielt:
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Die Aussage "Für alle $x$ gibt es ein $y$ \[...\]" ist eine grundlegend andere Aussage als "Es gibt ein y für alle x \[...\]".
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