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2026-09-24 11:43:25 +02:00
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commit c3c0e30239
@@ -9,8 +9,8 @@ d.h. sie sind einfach in der Menge ohne Bedeutung und ohne Reihenfolge.
 Manchmal benötigt man jedoch so etwas wie eine Reihenfolge oder 
 möchte Mengen miteinander in eine gewisse Verbindung bringen, ohne sie einfach nur zu Vereinigen.

-## Kartesisches Produkt
-:::note Geordnete Paare
+## Kartesisches Produkt {/* #kartesisches-produkt */}
+:::note[Geordnete Paare]

 Ein *geordnetes Paar* (*2-Tupel*) mit den Elementen $a$ und $b$ ist wie folgt als Menge definiert:
 $$
@@ -26,7 +26,7 @@ Ein Verband haben wir als ein *Tripel* eingeführt.
 Ein Tripel ist ein 3-Tupel.
 Allgemein lassen sich rekursiv n-Tupel wie folgt definieren:

-:::note n-Tupel
+:::note[n-Tupel]

 - 1-Tupel: $(x_1) = \{ x_1 \}$
 - 2-Tupel: $(x_1, x_2) = \{ \{x_1, x_2\}, \{x_1\} \}$
@@ -54,7 +54,7 @@ Wir wollen es an dieser Stelle allerdings dabei belassen und nehmen es einfach h
 Man kann nun Tupel zu einer Menge zusammenfassen.
 Die Menge aller Tupel von Mengen nennt man *kartesisches Produkt*:

-:::note Kartesisches Produkt
+:::note[Kartesisches Produkt]

 Seien $A$ und $B$ Mengen, dann ist das *kartesische Produkt* der Mengen $A$ und $B$ definiert als
 $$
@@ -70,18 +70,18 @@ erhalten wir die *n-fache kartesische Potenz*.

 :::

-## Relationen
+## Relationen {/* #relationen */}
 Das kartesische Produkt erlaubt es uns jetzt Paare in einer Menge zusammenzufassen.
 Daraus können wir nun eine Teilmenge betrachten.

-:::note Relation
+:::note[Relation]

 Seien $A$, $B$ Mengen.
 Man nennt $R$ *Relation* oder *Korrespondenz* __aus__ $A$ __in__ $B$ $\coloneqq\ R \subseteq A \times B$

 :::

-#### Beispiele
+#### Beispiele {/* #beispiele */}
 Nehmen wir eine Menge mit drei Elementen $A = \{a_1, a_2, a_3\}$ und bilden alle möglichen Paare.
 Diese Paare fassen wir nun in einer Menge zusammen: 
 $$
@@ -110,10 +110,10 @@ Dennoch sollte man darauf achten, ob man gerade mit einer echten Funktion oder n
 wenn man mit diesen Begriffen jongliert.
 Funktionen werden aber sehr bald schon eingeführt.

-### Definitions- und Wertebereich
+### Definitions- und Wertebereich {/* #definitions--und-wertebereich */}
 Es ist sinnvoll Mengen zu definieren, die nur die Elemente ersten oder die zweiten Elemente einer Relation erfasst:

-:::note Definitions- und Wertebereich
+:::note[Definitions- und Wertebereich]

 - *Definitionsbereich* von $R$: 
   $$
@@ -128,7 +128,7 @@ Es ist sinnvoll Mengen zu definieren, die nur die Elemente ersten oder die zweit

 :::

-#### Beispiele
+#### Beispiele {/* #beispiele-1 */}
 Gegeben sei $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$, $B = \{a, b, c, d\}$ und $R = \{(1,a), (1,d), (2,b), (3,b), (4,d)\} \subseteq A \times B$.
 Dann sind:
 - $D(R) = \{ 1, 2, 3, 5 \}$
@@ -156,7 +156,7 @@ Dann sind:

 Je nachdem, ob der Definitions- oder Wertebereich die gesamte Menge $A$ bzw. $B$ umfasst gibt es verschiedene Sprechweisen.

-:::note Sprechweisen
+:::note[Sprechweisen]

 $R$ ist Relation
 - "*__von__* $A$ *in* $B$" $\coloneqq\ D(R) = A$
@@ -168,7 +168,7 @@ $R$ ist Relation
 Wenn nun eine Relation gegeben ist, dann möchte man vielleicht die Frage stellen "Welche $y$-Werte werden für ein $x$ angenommen?"
 und möchte dies formal ausdrücken bzw. aufschreiben, ohne dabei immer die Tupel angeben zu müssen.

-:::note Schreibweise 1
+:::note[Schreibweise 1]

 Sei $R$ Relation.
 $$
@@ -177,7 +177,7 @@ $$

 :::

-#### Beispiele
+#### Beispiele {/* #beispiele-2 */}
 Gegeben sei $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$, $B = \{a, b, c, d\}$ und $R = \{(1,a), (1,d), (2,b), (3,b), (4,d)\} \subseteq A \times B$.
 Dann ist:
 $$
@@ -197,7 +197,7 @@ Man erkennt an diesem Beispiel schon einen gewissen Aufbau: "$x$ ist verwandt mi
 Häufig schreibt man in so einem Fall also nicht $(x,y) \in R$ oder $R(x) = \{y, (\dots)\}$, sondern zieht die
 Relationsbezeichnung in die Mitte:

-:::note Schreibweise 2
+:::note[Schreibweise 2 (Infix-Schreibweise)]

 Sei $R$ Relation.
 $$
@@ -206,7 +206,7 @@ $$

 :::

-#### Beispiele
+#### Beispiele {/* #beispiele-3 */}
 Sei $R$ jeweils die Relation in den Stichpunkten.
 Statt $x R y$ schreibt man in konkreten Fällen dann:
 - $x$ ist verwandt mit $y$
@@ -219,10 +219,10 @@ Wir werden uns später noch mit Ordnungsrelationen und Operationen beschäftigen
 Aber an dieser Stelle sind es nur symbolische Beispiele, wieso es sinnvoll ist, manche Relationen in dieser Schreibweise zu präsentieren.


-### Verkettung und Inverse
+### Verkettung und Inverse {/* #verkettung-und-inverse */}
 Man kann auch zwei Relationen kombinieren, sofern diese *in* und *aus* den gleichen Mengen korrespondieren - in dieser Reihenfolge.

-:::note Verkettung / Relationenprodukt
+:::note[Verkettung / Relationenprodukt]

 Seien $R \subseteq A \times B$ und $K \subseteq B \times C$ Relationen.
 Dann ist die Verkettung von $R$ mit $K$ definiert als:
@@ -233,7 +233,7 @@ Also ist $R \circ K \subseteq A \times C$.

 :::

-#### Beispiele
+#### Beispiele {/* #beispiele-4 */}
 Gegeben seien $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$, $B = \{a, b, c, d\}$ und $C = \{\alpha, \beta, \gamma\}$.
 $R = \{(1,a), (1,d), (2,b), (3,b), (4,d)\} \subseteq A \times B$ und 
 $K = \{(a, \alpha), (a, \beta), (a, \gamma), (b, \beta), (c, \alpha)\} \subseteq B \times C$ seien Relationen.
@@ -256,7 +256,7 @@ Relationen kann man auch umkehren.
 Die Rolle der ersten Elemente eines Tupels vertauscht sich dann mit den zweiten Elementen.
 Das heißt, wenn $x$ mit $y$ in Relation steht, also $(x,y) \in R$, dann ist das *Inverse* dazu $(y,x) \in R^{-1}$.

-:::note Inverse Relation
+:::note[Inverse Relation]

 Gegeben sei $R \subseteq A \times B$
 $$
@@ -268,7 +268,7 @@ ist die *inverse Relation* zu $R$.
 Man beachte, dass sich entsprechend das kartesische Produkt umdreht.
 Also wenn $R \subseteq A \times B$, dann ist $R^{-1} \subseteq B \times A$.

-#### Beispiele
+#### Beispiele {/* #beispiele-5 */}
 Gegeben seien $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$, $B = \{a, b, c, d\}$ und $R = \{(1,a), (1,d), (2,b), (3,b), (4,d)\} \subseteq A \times B$.
 Das Inverse $R^{-1}$ von $R$ ist jetzt jedes Paar aus $R$ umgedreht:
 $$
@@ -279,7 +279,7 @@ Veranschaulicht:
 ![Relation R und Inverse von R veranschaulicht durch Pfeile](/img/mathematik/mengenlehre/relationen/inverse_rel.png)

 Für die Verkettung und das Inverse gelten nun folgende Eigenschaften:
-:::tip Sätze über Verkettung und Inverse von Relationen
+:::tip[Sätze über Verkettung und Inverse von Relationen]

 1. Die Verkettung ist assoziativ: $(R \circ K) \circ F = R \circ (K \circ F )$
 2. $(R^{-1})^{-1} = R$
@@ -295,7 +295,7 @@ Trivial ist eine oft benutzte Bezeichnung in der Mathematik, wenn etwas offensic
 also so leicht, dass man keinen extra beweis dafür angibt - dennoch gibt es Fallen und es sollte nicht leichtfertig benutzt werden.
 In diesem Fall mache man sich klar, dass 2. wirklich gilt und beweise es sogar.

-#### Beweis von 3
+#### Beweis von 3 {/* #beweis-von-3 */}
 Der dritte Satz ist eine schöne Beziehung zwischen Verkettung und den inversen Relationen.
 $$
 \begin{alignat*}{2}
@@ -8,10 +8,10 @@ Eine der wichtigsten Relationen überhaupt stellen die *Abbildungen* da.
 Sie tauchen überall in der Mathematik auf und in der Realität lassen sich viele Probleme durch diese 
 speziellen Relationen darstellen.

-## Funktionen
+## Funktionen {/* #funktionen */}
 Bevor wir uns den Abbildungen widmen, definieren wir die Eindeutigkeit:

-:::note Eindeutigkeit
+:::note[Eindeutigkeit]

 Eine Relation $R \subseteq A \times B$ ist *eindeutig*, wenn
 $$
@@ -30,7 +30,7 @@ Bei der Eindeutigkeit ist es egal, wie viele Pfeile rechts auf ein Element zugeh

 ![Eindeutigkeit bei einer Relation dargestellt](/img/mathematik/mengenlehre/relationen/eindeutige_rel.png)

-:::note Abbildung / Funktion
+:::note[Abbildung / Funktion]

 $f$ ist *Abbildung* oder *Funktion* von $A$ in $B$ $:\Leftrightarrow$
 - $f$ ist Relation, also $f \subseteq A \times B$
@@ -50,7 +50,7 @@ Eine Funktion ordnet also jedem Element aus $A$ genau ein $y$ aus $B$ zu.

 In der Analysis und auch in anderen mathematischen Gebieten findet man häufig eine alternative textliche Einführung:

-:::note Alternative Definition
+:::note[Alternative Definition]

 Eine Abbildung oder eine Funktion einer Menge $A$ in eine Menge $B$ ordnet jedem Element $x \in A$ genau ein Element $y \in B$ zu.

@@ -59,7 +59,7 @@ Bei dieser Definition wird komplett auf die mengentheoretische Begriffe wie *geo
 Erst aufbauend darauf wird dann mengentheoretisch der *Graph der Funktion* definiert als $G_f \coloneqq \{(x,f(x))\ |\ x \in A \wedge f(x) \in B\} \subseteq A \times B$.
 Aus mengentheoretischer Sicht stimmen in diesen Fällen die Begriffe "Funktion" und "Graph der Funktion" überein.

-#### Beispiele
+#### Beispiele {/* #beispiele */}
 Gegeben seien $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ und $B = \{a, b, c, d\}$.
 Eine Abbildung $f \colon A \rightarrow B$ können dann sein:
 - $f = \{(1,b)\}$
@@ -70,7 +70,7 @@ Eine Abbildung $f \colon A \rightarrow B$ können dann sein:
 Wenn man eine rechnerische Vorschrift (*Abbildungsvorschrift*) angeben möchte, wie ein $y$ zu einem $x$ berechnet werden soll, 
 dann schreibt man Abbildungen so:

-:::note Schreibweisen
+:::note[Schreibweisen]

 $$
    f \colon A \rightarrow B,\ x \mapsto f(x)
@@ -84,7 +84,7 @@ wobei anstelle $f(x)$ dann z.B. eine *Funktionsgleichung* tritt.

 :::

-#### Beispiele
+#### Beispiele {/* #beispiele-1 */}
 - $f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},\ x \mapsto x^2 \quad$ für eine Parabel
 - $f \colon \begin{cases}
     \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}\\
@@ -94,7 +94,7 @@ wobei anstelle $f(x)$ dann z.B. eine *Funktionsgleichung* tritt.
 Es werden noch mehr unterschiedliche Darstellungsformen für Funktionen auftauchen, je nachdem wie es gerade angebracht ist.
 Bis dahin sollten einem die Begriffe allerdings so vertraut vorkommen, dass eine genaue Definition oder Einführung nicht notwendig ist.

-## Grundlegende Eigenschaften von Funktionen
+## Grundlegende Eigenschaften von Funktionen {/* #grundlegende-eigenschaften-von-funktionen */}
 Die *Verkettung*, oder auch *Komposition*, $f \circ g \colon A \rightarrow C$ von Funktionen $f \colon A \rightarrow B$ und $g \colon B \rightarrow C$ ist wieder eine Funktion.
 Für die Komposition gilt $f \circ g = g(f(x))$.
 In anderer Literatur kann es sein, dass die Komposition anders definiert ist und dann $f \circ g = f(g(x))$ gilt.
@@ -103,7 +103,7 @@ Jedoch ist das *Inverse* $f^{-1}$ einer Funktion $f$ im Allgemeinen keine Funkti

 Zwei Funktionen $f$ und $g$ sind gleich $f=g$, wenn für alle $x$ gilt $f(x) = g(x)$.

-:::note Injektivität, Surjektivität, Bijektivität
+:::note[Injektivität, Surjektivität, Bijektivität]

 Sei $f: A \rightarrow B$ eine Funktion.
 - $f$ heißt *injektiv* (*eineindeutig*) $\coloneqq\ \forall x,x' \in A \colon f(x) = f(x') \rightarrow x = x'$
@@ -132,7 +132,7 @@ Es darf also kein Element aus $B$ frei bleiben und es darf nur genau ein Pfeil p
 Dass dabei $A$ und $B$ gleich viele Elemente haben müssen ist kein Zufall.
 Welche Rolle bijektive Abbildungen bei der *Kardinalität* ("Größe") von Mengen haben, wird im Kapitel [Endlichkeit und Kardinalzahlen](../endlichkeit) erklärt.

-#### Beispiele
+#### Beispiele {/* #beispiele-2 */}
 Gegeben sei $f \colon \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N},\ n \mapsto f(n)$.
 Betrachten verschiedene Funktionsgleichungen für $f(n)$:
 - $f(n) \coloneqq n+1 \quad$ (*Nachfolgerfunktion*) ist injektiv, aber nicht surjektiv, da $0 \notin W(f)$
@@ -155,7 +155,7 @@ Eingangs wurde erwähnt:

 Im Falle einer bijektiven Abbildung $f$ ist $f^{-1}$ allerdings eine Abbildung und man nennt diese dann *Umkehrabbildung* oder *Umkehrfunktion*.

-#### Beispiele
+#### Beispiele {/* #beispiele-3 */}
 Bei einer bijektiven Abbildung, die durch eine Funktionsgleichung $y = f(x)$ gegeben ist, kann man die Umkehrabbildung einfach dadurch berechnen,
 dass man die Funktionsgleichung nach $x$ umstellt.
 Man hat dann einen Ausdruck der Form $x = g(y) = f^{-1}(y)$.
@@ -176,7 +176,7 @@ $$
 \end{alignat*}
 $$

-## Erweiterung von Abbildungen
+## Erweiterung von Abbildungen {/* #erweiterung-von-abbildungen */}
 Gegeben seien $S$ als die Menge aller Schulkinder und $K$ als die Menge aller Klassen einer Schule.
 Als Abbildung definieren $k: S \rightarrow K$, die jedem Schulkind die eigene Klasse zuordnet.
 Der Direktor hat nun eine Liste von Schulkindern, mit denen er zusammen sprechen möchte.
@@ -192,7 +192,7 @@ Der Direktor hat eine Liste von Klassen und möchte nun wissen, welche Schulkind

 Formal lässt sich das so auffassen:

-:::note Erweiterung
+:::note[Erweiterung]

 Gegeben seien eine Abbildung $f \colon A \rightarrow B$ und die Teilmengen $X \subseteq A$ und $Y \subseteq B$.

@@ -212,7 +212,7 @@ Häufig schreibt man statt $\widehat{f}$ auch wieder nur $f$ bzw. für $\widehat
 Eine Verwechslung ist ausgeschlossen, da die Abbildung $f$ ein Element entgegennimmt, 
 während die Erweiterung von $f$ eine Menge entgegennimmt.

-#### Beispiele
+#### Beispiele {/* #beispiele-4 */}
 Gegeben sei $f \colon \{1, 2, 3\} \rightarrow \{a, b, c, d\}$ mit $f(1) = a,\ f(2) = c,\ f(3) = a$.
 Dann sind bspw.:
 - $\widehat{f}(\emptyset) = f(\emptyset) = \emptyset$
@@ -227,12 +227,12 @@ und
 - $\widehat{f^{-1}}(\{b, d\}) = f^{-1}(\{b, d\}) = \emptyset$
 - $f^{-1}(\{a, b, c, d\}) = f^{-1}(D(f^{-1})) = \{ 1, 2, 3 \} = W(f^{-1})$

-## Operationen
+## Operationen {/* #operationen */}
 Im Kapitel [Kartesisches Produkt](kartesisches_produkt_relationen#kartesisches-produkt) wurde bereits die *kartesische Potenz* eingeführt.
 Mit den kartesischen Potenzen führen wir nun eine weitere wichtige Klasse von Abbildungen ein, die *Operationen* oder *Verknüpfungen*.
 Diese spielen in der Algebra eine wichtige Rolle.

-:::note Operation oder Verknüpfung
+:::note[Operation oder Verknüpfung]

 $f$ heißt *innere $n$-stellige algebraische Operation* $\coloneqq\ f \colon A^n \rightarrow A$.

@@ -247,7 +247,7 @@ $2$-stellige Relationen heißen auch *binäre Relationen*.
 Entsprechend heißen $2$-stellige Operationen auch binäre Operation.
 Bereits im Kapitel [Verband](../mengen#verband) wurden zweistellige Operationen das erste Mal genannt.

-#### Beispiele
+#### Beispiele {/* #beispiele-5 */}
 Aus dem Kapitel [Verband](../mengen#verband) wissen wir, dass $\cap$ und $\cup$ zweistellige Operationen für eine Menge $A$ sind:
 - $\cap \colon \mathcal{P}^2(A) \rightarrow \mathcal{P}(A)$
 - $\cup \colon \mathcal{P}^2(A) \rightarrow \mathcal{P}(A)$
@@ -10,7 +10,7 @@ Die Äquivalenzrelationen und die mit diesen eng zusammenhängenden *Äquivalenz
 # Äquivalenzrelationen
 Bevor wir die Äquivalenzrelationen formal einführen, widmen wir uns erst nochmal ein paar wichtige Einordnungen Relationen betreffend.

-:::note Reflexivität / Symmetrie / Transitivität
+:::note[Reflexivität, Symmetrie und Transitivität]

 Sei $M$ eine Menge und $\varrho \subseteq M \times M$ eine Relation.
 - $\varrho$ heißt *reflexiv* $:\Leftrightarrow \forall x \in M \colon (x,x) \in \varrho$
@@ -19,7 +19,7 @@ Sei $M$ eine Menge und $\varrho \subseteq M \times M$ eine Relation.

 :::

-#### Beispiele
+#### Beispiele {/* #beispiele */}
 Gegeben sei die Menge $M = \{a,b,c\}$.
 - $\varrho = \{(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (a,c)\}$ ist reflexiv,
    da die Paare $(a,a)$, $(b,b)$ und $(c,c)$ in $\varrho$ sind.\
@@ -35,13 +35,13 @@ Gegeben sei die Menge $M = \{a,b,c\}$.

 Eine Relation, die nun all diese drei Eigenschaften zugleich erfüllt nennt sich *Äquivalenzrelation*.

-:::note Äquivalenzrelation
+:::note[Äquivalenzrelation]

 Sei $M$ eine Menge und $\varrho \subseteq M \times M$ eine Relation.
 $\varrho$ heißt *Äquivalenzrelation*, falls $\varrho$ reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

 :::

-#### Beispiele
+#### Beispiele {/* #beispiele-1 */}
 Die wohl bekannteste Äquivalenzrelation auf jeder Menge $M$ ist die Gleichheit $=$ mit ihren üblichen Eigenschaften.
 Äquivalenz in der Logik ist ebenfalls eine Äquivalenzrelation.