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-WIP
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+In Mengen werden Objekte zusammengefasst, allerdings ohne innere Struktur,
+d.h. sie sind einfach in der Menge ohne Bedeutung und ohne Reihenfolge.
+Manchmal benötigt man jedoch so etwas wie eine Reihenfolge oder 
+möchte Mengen miteinander in eine gewisse Verbindung bringen, ohne sie einfach nur zu Vereinigen.
+
+## Kartesisches Produkt
+:::note Geordnete Paare
+
+Ein *geordnetes Paar* (*2-Tupel*) mit den Elementen $a$ und $b$ ist wie folgt als Menge definiert:
+$$
+    (a, b)\ :=\ \{ \overbrace{\{a, b\}}^{\text{Elemente des Tupels}}, \underbrace{\{a\}}_{\text{Erstes Element}} \}
+$$ 
+
+:::
+Ein 2-Tupel fasst also je zwei Elemente zusammen und bestimmt dabei, welches zuerst kommt.
+Anders als bei Mengen, bei denen $\{a,b\} = \{b,a\}$ gilt, gilt bei 2-Tupeln demnach $(a,b) \ne (b,a)$.
+Die andere Schreibweise $()$, statt $\{\}$, soll dies verdeutlichen und dazu führen, dass man diese nicht verwechselt.
+
+Ein Verband haben wir als ein *Tripel* eingeführt.
+Ein Tripel ist ein 3-Tupel.
+Allgemein lassen sich rekursiv n-Tupel wie folgt definieren:
+
+:::note n-Tupel
+
+- 1-Tupel: $(x_1) = \{ x_1 \}$
+- 2-Tupel: $(x_1, x_2) = \{ \{x_1, x_2\}, \{x_1\} \}$
+- 3-Tupel: $(x_1, x_2, x_3) = ((x_1, x_2), x_3)$
+- n-Tupel: $(x_1, x_2, \dots, x_n) = ((x_1, x_2, \dots, x_{n-1}), x_n)$
+
+:::
+n-Tupel lassen sich also auf die Mengendarstellungen der 2-Tupel zurückführen.
+In der Typentheorie nach Russell, die im Kapitel über [Mengen](../mengen) eingeführt wurde ist dies allerdings nicht erlaubt.
+Denn schon bei einem 3-Tupel gibt es eine Vermischung verschiedener Mengenstufen:
+$$
+    \begin{align*}
+        (a, b, c)   &= ((a, b), c)\\
+                    &= \{\ \{(a,b), c\},\ \{(a,b)\}\ \}\\
+                    &= \{\ \{\ \underbrace{\{\{a,b\}, \{a\}\}}_{(a,b)},\ c\},\ \{\underbrace{\{\{a,b\}, \{a\}\}}_{(a,b)}\}\ \}\\
+                    &= \{\ \{\ \underbrace{\{\{a,b\}, \{a\}\}}_{\text{Menge 2. Stufe}},\ \underbrace{c}_{\text{Menge 0. Stufe}}\},\ \{\{\{a,b\}, \{a\}\}\}\ \}
+    \end{align*}
+$$
+Im Stufensystem ist dieser Ausdruck also nicht korrekt.
+In anderen axiomatisierten Mengenlehren ist es allerdings erlaubt.
+Auch für das Stufensystem gibt es korrekte Definitionen für n-Tupel.
+Wir wollen es an dieser Stelle allerdings dabei belassen und nehmen es einfach hin.
+
+Man kann nun Tupel zu einer Menge zusammenfassen.
+Die Menge aller Tupel von Mengen nennt man *kartesisches Produkt*:
+
+:::note Kartesisches Produkt
+
+Seien $A$ und $B$ Mengen, dann ist das *kartesische Produkt* der Mengen $A$ und $B$ definiert als
+$$
+    A \times B\ :=\ \{ (a,b)\ |\ a \in A \wedge b \in B \}
+$$
+
+:::
+
+## Abbildungen
+Das kartesische Produkt erlaubt es uns jetzt Paare in einer Menge zusammenzufassen.
+Daraus können wir nun eine Teilmenge betrachten.
+
+:::note Relation
+
+Seien $A$, $B$ Mengen.
+Man nennt $R$ *Relation* oder *Korrespondenz* __aus__ $A$ __in__ $B$ $:=\ R \subseteq A \times B$
+
+:::
+
+#### Beispiele
+Nehmen wir eine Menge mit drei Elementen $A = \{a_1, a_2, a_3\}$ und bilden alle möglichen Paare.
+Diese Paare fassen wir nun in einer Menge zusammen: 
+$$
+    A \times A = \{(a_1, a_1), (a_1, a_2), (a_1, a_3),\quad (a_2, a_1), (a_2, a_2), (a_2, a_3),\quad (a_3, a_1), (a_3, a_2), (a_3, a_3)\}
+$$
+Daraus können wir jetzt bspw. unterschiedliche Relationen basteln:
+$$
+    \begin{align*}
+        R_0 &= \emptyset\\
+        R_1 &= \{(a_1, a_1), (a_1, a_3)\}\\
+        R_2 &= \{(a_1, a_1), (a_1, a_3), (a_2, a_2), (a_2, a_3), (a_3, a_3)\}\\
+        R_3 &= \{(a_2, a_1), (a_2, a_2), (a_2, a_3)\}\\
+        R_4 &= A \times A
+    \end{align*}
+$$
+
+Gegeben sei $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$, $B = \{a, b, c, d\}$ und $R = \{(1, a), (1,d), (2, b), (3, b), (5, d)\} \subseteq A \times B$.
+Man kann das veranschaulichen, wie die jeweiligen Elemente in Beziehung stehen:
+
+![Relation R veranschaulicht durch Pfeile](/img/mathematik/mengenlehre/relationen/relation.png)
+
+*tbc*
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