From f1c1dfa96892037768e77e49af3a5a1935d6ceac Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Niklas Birk Date: Mon, 27 Jan 2025 19:03:43 +0100 Subject: [PATCH] Replaced := with \coloneqq and : with \colon in math --- docs/mathematik/mengenlehre/1_logik.mdx | 24 +++---- docs/mathematik/mengenlehre/2_mengen.mdx | 22 +++--- docs/mathematik/mengenlehre/mengenlehre.mdx | 4 +- .../1_kartesisches_produkt_relationen.mdx | 36 +++++----- .../mengenlehre/relationen/2_abbildungen.mdx | 70 +++++++++---------- 5 files changed, 78 insertions(+), 78 deletions(-) diff --git a/docs/mathematik/mengenlehre/1_logik.mdx b/docs/mathematik/mengenlehre/1_logik.mdx index a2d3efc..5e4605f 100644 --- a/docs/mathematik/mengenlehre/1_logik.mdx +++ b/docs/mathematik/mengenlehre/1_logik.mdx @@ -476,12 +476,12 @@ Aussagenformen wurden bereits in der [Aussagenlogik](#syntax)) oben eingeführt, Das Zusammensetzen von Aussagen(-formen) mit den entsprechenden Junktoren ist analog zur Aussagenlogik. #### Beispiele -Sei $G = \mathbb{N}$ Grundbereich und $A(n) := ``n + 1 = 3''$ Aussagenform. +Sei $G = \mathbb{N}$ Grundbereich und $A(n) \coloneqq ``n + 1 = 3''$ Aussagenform. Durch Ersetzen der Variable $n$ durch ein Objekt aus $G$, hier also einer natürlichen Zahl, wird $A(x)$ zu einer Aussage: -- Für $n = 1$ ist $A(1) := ``1 + 1 = 3''$ eine falsche Aussage. -- Für $n = 2$ ist $A(2) := ``2 + 1 = 3''$ eine wahre Aussage. +- Für $n = 1$ ist $A(1) \coloneqq ``1 + 1 = 3''$ eine falsche Aussage. +- Für $n = 2$ ist $A(2) \coloneqq ``2 + 1 = 3''$ eine wahre Aussage. -Sei $G$ die Menge aller Lebewesen und $Mensch(x) := ``x \text{ ist ein Mensch}''$ eine Aussagenform. +Sei $G$ die Menge aller Lebewesen und $Mensch(x) \coloneqq ``x \text{ ist ein Mensch}''$ eine Aussagenform. In der Prädikatenlogik nennt man solche Aussagenformen ein *Prädikat*. $Mensch(AngelaMerkel)$, sprich "Angela Merkel ist ein Mensch", ist eine wahre Aussage, während $Mensch(Grumpy Cat)$, sprich "Grumpy Cat ist ein Mensch" eine falsche Aussage ist. @@ -507,12 +507,12 @@ Eine Aussagenform wurde erst zu einer Aussage, wenn wir die Variablen durch ein Durch ein Quantor ist eine Aussagenform direkt eine Aussage: #### Beispiele -Sei $G = \mathbb{N}$ Grundbereich und $H(x) := ``x + 1 = 3''$ Aussagenform. +Sei $G = \mathbb{N}$ Grundbereich und $H(x) \coloneqq ``x + 1 = 3''$ Aussagenform. Durch Quantifizierung entstehen folgende Aussagen: - $\forall x (x + 1 = 3)$ - "Für alle $x$ aus $G$ gilt $x + 1 = 3$" ist eine falsche Aussage. - $\exists x (x + 1 = 3)$ - "Es existiert ein $x$ aus $G$ mit $x + 1 = 3$" ist eine wahre Aussage. -Sei $G = \mathbb{N}$ und $H(x) := ``2x \ge x''$. +Sei $G = \mathbb{N}$ und $H(x) \coloneqq ``2x \ge x''$. Durch Quantifizierung entstehen folgende Aussagen: - $\forall x (2x \ge x)$ - "Für alle $x$ aus $G$ gilt $2x \ge x$" ist eine wahre Aussage. - $\exists x (2x \ge x)$ - "Es existiert ein $x$ aus $G$ mit $2x \ge x$" ist eine wahre Aussage. @@ -522,13 +522,13 @@ Im Beispiel sieht man, dass mehrere $x$ die letzte Aussage erfüllen. Möchte man dagegen deutlich machen, dass **genau** ein $x$ existiert, dann schreibt man das $\exists ! x (H(x))$. Damit wäre $\exists ! x (2x \ge x)$ eine falsche Aussage, da jedes $x$ das oben definierte $H(x)$ erfüllt. -Sei $G = \mathbb{Z}$ und $H(x) := ``2x \ge x''$. +Sei $G = \mathbb{Z}$ und $H(x) \coloneqq ``2x \ge x''$. $\forall x (2x \ge x)$ ist nun eine falsche Aussage, da sich der Grundbereich geändert hat. Dagegen ist $\forall x (x \in \mathbb{N} \rightarrow 2x \ge x)$ wieder wahr. Statt dieser Schreibweise findet man häufig folgende unexakte Schreibweisen für solche Aussagen: $$ \begin{equation*} - \forall x \in \mathbb{N}:\ 2x \ge x + \forall x \in \mathbb{N} \colon 2x \ge x \end{equation*} $$ @@ -537,12 +537,12 @@ diese durch eine konkrete Aussage ersetzt wurden. Folgende Beispiele sind nur Aussagenformen, da nicht alle Variablen gebunden vorkommen. Sei $G = \mathbb{Z}$. - $x + y = 0$ -- $\forall x:\ x + y = 0$ +- $\forall x \colon x + y = 0$ Dagegen sind sie quantifiziert oder ersetzt bspw. folgende Aussagen: -- $\forall x:\ x + 1 = 0$ ist falsch. -- $\forall x\ \exists y:\ x + y = 0$ ist wahr. -- $\exists y\ \forall x:\ x + y = 0$ ist falsch. +- $\forall x \colon x + 1 = 0$ ist falsch. +- $\forall x\ \exists y \colon x + y = 0$ ist wahr. +- $\exists y\ \forall x \colon x + y = 0$ ist falsch. Am letzten Beispiel erkennt man, dass die Reihenfolge der Quantoren eine wichtige Rolle spielt: Die Aussage "Für alle $x$ gibt es ein $y$ \[...\]" ist eine grundlegend andere Aussage als "Es gibt ein y für alle x \[...\]". \ No newline at end of file diff --git a/docs/mathematik/mengenlehre/2_mengen.mdx b/docs/mathematik/mengenlehre/2_mengen.mdx index a44e5d1..6c0d85e 100644 --- a/docs/mathematik/mengenlehre/2_mengen.mdx +++ b/docs/mathematik/mengenlehre/2_mengen.mdx @@ -48,7 +48,7 @@ Folgendes Axiom bildet eine Brücke zur Logik: Sei $H(M^n)$ Aussage über Mengen $n$-ter Stufe. $$ \begin{equation*} - \exists M^{n+1}\ \forall M^n:\ M^n \in M^{n+1} \leftrightarrow H(M^n), + \exists M^{n+1}\ \forall M^n \colon M^n \in M^{n+1} \leftrightarrow H(M^n), \end{equation*} $$ wobei $M^{n+1}$ nicht in $H(M^n)$ vorkommt. @@ -60,11 +60,11 @@ Das Mengenbildungsaxiom sagt aus, dass es eine Menge $M^{n+1}$ gibt, die aus den Sei $n = 0$, dann können wir die Aussage im Satz mit den üblichen Benennungen wie folgt schreiben: $$ \begin{equation*} - \exists A\ \forall x:\ x \in M \leftrightarrow H(x). + \exists A\ \forall x \colon x \in M \leftrightarrow H(x). \end{equation*} $$ "$M^{n+1}$ kommt nicht in $H(M^n)$ vor" bedeutet, dass in $H(M^n)$ nirgends das Symbol $M^{n+1}$ auftauchen darf. -Deswegen ist $\exists A\ \forall x:\ x \in M \leftrightarrow x \notin M$, also ein Widerspruch, ausgeschlossen. +Deswegen ist $\exists A\ \forall x \colon x \in M \leftrightarrow x \notin M$, also ein Widerspruch, ausgeschlossen. Denn in $H(x) = \text{"}x \notin M\text{"}$ taucht ja $M$ auf und das ist nicht erlaubt Sei $n = 0$ und $H(x) = \text{"} x \text{ ist eine gerade natürliche Zahl"}$. @@ -83,14 +83,14 @@ Weitere Beispiele sind: - Menge aller deutschen Bundesländer: $M = \{ x\ |\ x \text{ ist deutsches Bundesland} \}$ - Menge aller reellen Zahlen von 0 bis 2: $M = \{ x\ |\ x \in \mathbb{R} \wedge 0 \le x \le 2 \}$ - Menge der ganzzahligen Lösungen einer Gleichung: $M = \{ x\ |\ x \in \mathbb{Z} \wedge x^2 + 2 = 4x - 1 \}$ -- Menge aller ganzen Quadratzahlen: $M = \{ x\ |\ \exists y \in \mathbb{Z}:\ x = y^2 \}$ +- Menge aller ganzen Quadratzahlen: $M = \{ x\ |\ \exists y \in \mathbb{Z} \colon x = y^2 \}$ :::note Extensionalitätsaxiom (ZF) / Gleichheit von Mengen Zwei Mengen sind gleich, wenn sie die gleichen Elemente besitzen: $$ \begin{equation*} - A = B\ :=\ \forall x:\ x \in A \leftrightarrow x \in B + A = B\ \coloneqq\ \forall x \colon x \in A \leftrightarrow x \in B \end{equation*} $$ @@ -122,7 +122,7 @@ oder *Schnittmenge*. :::note Durchschnitt $$ - A \cap B := \{ x\ |\ x \in A \wedge x \in B \} + A \cap B \coloneqq \{ x\ |\ x \in A \wedge x \in B \} $$ gesprochen: "A geschnitten B" @@ -155,7 +155,7 @@ Elemente, die in beiden vorkommen, werden dabei nur einmal gezählt. :::note Vereinigung $$ - A \cup B := \{ x\ |\ x \in A \vee x \in B \} + A \cup B \coloneqq \{ x\ |\ x \in A \vee x \in B \} $$ gesprochen: "A vereinigt B" @@ -182,7 +182,7 @@ Das *Komplement* einer Menge besteht gerade aus den Elementen, die nicht in der :::note Komplement $$ - \overline{A} = A^\complement := \{ x\ |\ \neg (x \in A) \} = \{ x\ |\ x \notin A \} + \overline{A} = A^\complement \coloneqq \{ x\ |\ \neg (x \in A) \} = \{ x\ |\ x \notin A \} $$ gesprochen: "Komplement von A" @@ -209,7 +209,7 @@ aber ohne die Elemente, die auch in der anderen liegen, dann ist das die *Differ :::note Differenz $$ - A \setminus B := \{ x\ |\ x \in A \wedge x \notin B \} + A \setminus B \coloneqq \{ x\ |\ x \in A \wedge x \notin B \} $$ @@ -322,8 +322,8 @@ Dieses Wort "Teil" lässt sich wie folgt definieren: :::note Inklusion Seien $M, A$ Mengen. -- $A \subseteq M := \forall x:\ x \in A \rightarrow x \in M$ -- $A \subset M := A \subseteq M \wedge A \ne M$ +- $A \subseteq M \coloneqq \forall x \colon x \in A \rightarrow x \in M$ +- $A \subset M \coloneqq A \subseteq M \wedge A \ne M$ Für $A \subseteq M$ spricht man "$A$ ist *Teilmenge* von $M$" und für $A \subset M$ spricht man "$A$ ist *echte Teilmenge* von $M$" diff --git a/docs/mathematik/mengenlehre/mengenlehre.mdx b/docs/mathematik/mengenlehre/mengenlehre.mdx index f7d9d29..49ab213 100644 --- a/docs/mathematik/mengenlehre/mengenlehre.mdx +++ b/docs/mathematik/mengenlehre/mengenlehre.mdx @@ -79,7 +79,7 @@ $$$ :::danger Aber gilt nun $X \in X$? -Für $A := X$ erhält man den Widerspruch +Für $A \coloneqq X$ erhält man den Widerspruch $$ X \in X \text{ genau dann, wenn } X \notin X $$ @@ -110,7 +110,7 @@ $$$ :::danger Rasiert der Barbier sich selbst? -Für $M := B$ erhält man den Widerspruch +Für $M \coloneqq B$ erhält man den Widerspruch $$ B \in B \text{ genau dann, wenn } B \notin B $$ diff --git a/docs/mathematik/mengenlehre/relationen/1_kartesisches_produkt_relationen.mdx b/docs/mathematik/mengenlehre/relationen/1_kartesisches_produkt_relationen.mdx index 6b20b19..2e1cebd 100644 --- a/docs/mathematik/mengenlehre/relationen/1_kartesisches_produkt_relationen.mdx +++ b/docs/mathematik/mengenlehre/relationen/1_kartesisches_produkt_relationen.mdx @@ -14,7 +14,7 @@ möchte Mengen miteinander in eine gewisse Verbindung bringen, ohne sie einfach Ein *geordnetes Paar* (*2-Tupel*) mit den Elementen $a$ und $b$ ist wie folgt als Menge definiert: $$ - (a, b)\ :=\ \{ \overbrace{\{a, b\}}^{\text{Elemente des Tupels}}, \underbrace{\{a\}}_{\text{Erstes Element}} \} + (a, b)\ \coloneqq\ \{ \overbrace{\{a, b\}}^{\text{Elemente des Tupels}}, \underbrace{\{a\}}_{\text{Erstes Element}} \} $$ ::: @@ -58,13 +58,13 @@ Die Menge aller Tupel von Mengen nennt man *kartesisches Produkt*: Seien $A$ und $B$ Mengen, dann ist das *kartesische Produkt* der Mengen $A$ und $B$ definiert als $$ - A \times B\ :=\ \{ (a,b)\ |\ a \in A \wedge b \in B \} + A \times B\ \coloneqq\ \{ (a,b)\ |\ a \in A \wedge b \in B \} $$ Mit -- $A^0 := \{ \emptyset \}$ -- $A^1 := A$ -- $A^{n+1} := A^n \times A$ +- $A^0 \coloneqq \{ \emptyset \}$ +- $A^1 \coloneqq A$ +- $A^{n+1} \coloneqq A^n \times A$ erhalten wir die *n-fache kartesische Potenz*. @@ -77,7 +77,7 @@ Daraus können wir nun eine Teilmenge betrachten. :::note Relation Seien $A$, $B$ Mengen. -Man nennt $R$ *Relation* oder *Korrespondenz* __aus__ $A$ __in__ $B$ $:=\ R \subseteq A \times B$ +Man nennt $R$ *Relation* oder *Korrespondenz* __aus__ $A$ __in__ $B$ $\coloneqq\ R \subseteq A \times B$ ::: @@ -117,12 +117,12 @@ Es ist sinnvoll Mengen zu definieren, die nur die Elemente ersten oder die zweit - *Definitionsbereich* von $R$: $$ - D(R)\ :=\ \{ x\ |\ x \in A \wedge \exists y \in B:\ (x,y) \in R \} + D(R)\ \coloneqq\ \{ x\ |\ x \in A \wedge \exists y \in B \colon (x,y) \in R \} $$ Der Definitionsbereich von $R$ umfasst also alle Elemente $x$ aus $A$, für die es ein $y$ aus $B$ gibt. - *Wertebereich* oder *Bild* von $R$: $$ - W(R)\ :=\ \{ y\ |\ y \in B \wedge \exists x \in A:\ (x,y) \in R \} + W(R)\ \coloneqq\ \{ y\ |\ y \in B \wedge \exists x \in A \colon (x,y) \in R \} $$ Der Wertebereich oder das Bild von $R$ umfasst also alle Elemente $y$ aus $B$, für die es ein $x$ aus $A$ gibt. @@ -159,9 +159,9 @@ Je nachdem, ob der Definitions- oder Wertebereich die gesamte Menge $A$ bzw. $B$ :::note Sprechweisen $R$ ist Relation -- "*__von__* $A$ *in* $B$" $:=\ D(R) = A$ -- "*aus* $A$ *__auf__* $B$" $:=\ W(R) = B$ -- "*__von__* $A$ *__auf__* $B$" $:=\ D(R) = A \wedge W(R) = B$ +- "*__von__* $A$ *in* $B$" $\coloneqq\ D(R) = A$ +- "*aus* $A$ *__auf__* $B$" $\coloneqq\ W(R) = B$ +- "*__von__* $A$ *__auf__* $B$" $\coloneqq\ D(R) = A \wedge W(R) = B$ ::: @@ -172,7 +172,7 @@ und möchte dies formal ausdrücken bzw. aufschreiben, ohne dabei immer die Tupe Sei $R$ Relation. $$ - R(x)\ :=\ \{ y\ |\ y \in B \wedge (x,y) \in R \} + R(x)\ \coloneqq\ \{ y\ |\ y \in B \wedge (x,y) \in R \} $$ ::: @@ -201,7 +201,7 @@ Relationsbezeichnung in die Mitte: Sei $R$ Relation. $$ - x R y\ :=\ (x,y) \in R + x R y\ \coloneqq\ (x,y) \in R $$ ::: @@ -227,7 +227,7 @@ Man kann auch zwei Relationen kombinieren, sofern diese *in* und *aus* den gleic Seien $R \subseteq A \times B$ und $K \subseteq B \times C$ Relationen. Dann ist die Verkettung von $R$ mit $K$ definiert als: $$ - R \circ K\ :=\ \{ (x,z)\ |\ \exists y \in B:\ (x,y) \in R \wedge (y,z) \in K \} + R \circ K\ \coloneqq\ \{ (x,z)\ |\ \exists y \in B \colon (x,y) \in R \wedge (y,z) \in K \} $$ Also ist $R \circ K \subseteq A \times C$. @@ -260,7 +260,7 @@ Das heißt, wenn $x$ mit $y$ in Relation steht, also $(x,y) \in R$, dann ist das Gegeben sei $R \subseteq A \times B$ $$ - R^{-1}\ :=\ \{(y,x)\ |\ (x,y) \in R \} \subset B \times A + R^{-1}\ \coloneqq\ \{(y,x)\ |\ (x,y) \in R \} \subset B \times A $$ ist die *inverse Relation* zu $R$. @@ -301,9 +301,9 @@ $$ \begin{alignat*}{2} \quad && &(z,x) \in (R \circ K)^{-1}\\ \overset{\text{Def. } \square^{-1}}{\Longleftrightarrow}\quad && &(x,z) \in R \circ K\\ - \overset{\text{Def. } \circ}{\Longleftrightarrow}\quad && &\exists y:\ (x,y) \in R \wedge (y,z) \in K\\ - \overset{\text{Def. } \square^{-1}}{\Longleftrightarrow}\quad && &\exists y:\ (y,x) \in R^{-1} \wedge (z,y) \in K^{-1}\\ - \overset{\text{Kom. } \wedge}{\Longleftrightarrow}\quad && &\exists y:\ (z,y) \in K^{-1} \wedge (y,x) \in R^{-1}\\ + \overset{\text{Def. } \circ}{\Longleftrightarrow}\quad && &\exists y \colon (x,y) \in R \wedge (y,z) \in K\\ + \overset{\text{Def. } \square^{-1}}{\Longleftrightarrow}\quad && &\exists y \colon (y,x) \in R^{-1} \wedge (z,y) \in K^{-1}\\ + \overset{\text{Kom. } \wedge}{\Longleftrightarrow}\quad && &\exists y \colon (z,y) \in K^{-1} \wedge (y,x) \in R^{-1}\\ \overset{\text{Def. } \circ}{\Longleftrightarrow}\quad && &(z,x) \in K^{-1} \circ R^{-1} \qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare \end{alignat*} diff --git a/docs/mathematik/mengenlehre/relationen/2_abbildungen.mdx b/docs/mathematik/mengenlehre/relationen/2_abbildungen.mdx index d931fc5..01ce834 100644 --- a/docs/mathematik/mengenlehre/relationen/2_abbildungen.mdx +++ b/docs/mathematik/mengenlehre/relationen/2_abbildungen.mdx @@ -15,7 +15,7 @@ Bevor wir uns den Abbildungen widmen, definieren wir die Eindeutigkeit: Eine Relation $R \subseteq A \times B$ ist *eindeutig*, wenn $$ - \forall x \in A\ \forall y, y' \in B:\ (x,y) \in R \wedge (x,y') \in R \rightarrow y = y' + \forall x \in A\ \forall y, y' \in B \colon (x,y) \in R \wedge (x,y') \in R \rightarrow y = y' $$ ::: @@ -32,18 +32,18 @@ Bei der Eindeutigkeit ist es egal, wie viele Pfeile rechts auf ein Element zugeh :::note Abbildung / Funktion -$f$ ist *Abbildung* oder *Funktion* von $A$ in $B$ $:=$ +$f$ ist *Abbildung* oder *Funktion* von $A$ in $B$ $\coloneqq$ - $f$ ist Relation, also $f \subseteq A \times B$ - $D(f) = A$, also $f$ ist Relation *__von__ $A$ in $B$* - $f$ ist eindeutig Mathematisch-logisch aufgeschrieben: $$ - \forall x \in A\ \exists ! y \in B:\ (x,y) \in A \times B + \forall x \in A\ \exists ! y \in B \colon (x,y) \in A \times B $$ ::: -Man schreibt dafür: $f:\ A \rightarrow B$. +Man schreibt dafür: $f \colon A \rightarrow B$. Statt $R(x) = \{y\}$ wie bei normalen Relationen, schreibt man verkürzt $f(x) = y$, da das $y$ ja nun eindeutig ist. Eine Funktion ordnet also jedem Element aus $A$ genau ein $y$ aus $B$ zu. @@ -56,12 +56,12 @@ Eine Abbildung oder eine Funktion einer Menge $A$ in eine Menge $B$ ordnet jedem ::: Bei dieser Definition wird komplett auf die mengentheoretische Begriffe wie *geordnetes Paar* oder auch *Relation* verzichtet. -Erst aufbauend darauf wird dann mengentheoretisch der *Graph der Funktion* definiert als $G_f := \{(x,f(x))\ |\ x \in A \wedge f(x) \in B\} \subseteq A \times B$. +Erst aufbauend darauf wird dann mengentheoretisch der *Graph der Funktion* definiert als $G_f \coloneqq \{(x,f(x))\ |\ x \in A \wedge f(x) \in B\} \subseteq A \times B$. Aus mengentheoretischer Sicht stimmen in diesen Fällen die Begriffe "Funktion" und "Graph der Funktion" überein. #### Beispiele Gegeben seien $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ und $B = \{a, b, c, d\}$. -Eine Abbildung $f:\ A \rightarrow B$ können dann sein: +Eine Abbildung $f \colon A \rightarrow B$ können dann sein: - $f = \{(1,b)\}$ - $f = \{(1,a), (2,b), (3,b), (4,d)\}$ - $f = \{(1,b), (2,c), (3,d), (4,a), (5,b)\}$ @@ -73,7 +73,7 @@ dann schreibt man Abbildungen so: :::note Schreibweisen $$ - f:\ A \rightarrow B,\ x \mapsto f(x) + f \colon A \rightarrow B,\ x \mapsto f(x) \qquad\qquad\text{oder}\qquad\qquad f: \begin{cases} A \rightarrow B\\ @@ -85,7 +85,7 @@ wobei anstelle $f(x)$ dann z.B. eine *Funktionsgleichung* tritt. ::: #### Beispiele -- $f:\ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},\ x \mapsto x^2 \quad$ für eine Parabel +- $f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},\ x \mapsto x^2 \quad$ für eine Parabel - $f: \begin{cases} \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}\\ x \mapsto \sqrt{x} @@ -95,7 +95,7 @@ Es werden noch mehr unterschiedliche Darstellungsformen für Funktionen auftauch Bis dahin sollten einem die Begriffe allerdings so vertraut vorkommen, dass eine genaue Definition oder Einführung nicht notwendig ist. ## Grundlegende Eigenschaften von Funktionen -Die *Verkettung*, oder auch *Komposition*, $f \circ g: A \rightarrow C$ von Funktionen $f:\ A \rightarrow B$ und $g:\ B \rightarrow C$ ist wieder eine Funktion. +Die *Verkettung*, oder auch *Komposition*, $f \circ g: A \rightarrow C$ von Funktionen $f \colon A \rightarrow B$ und $g \colon B \rightarrow C$ ist wieder eine Funktion. Für die Komposition gilt $f \circ g = g(f(x))$. In anderer Literatur kann es sein, dass die Komposition anders definiert ist und dann $f \circ g = f(g(x))$ gilt. @@ -106,9 +106,9 @@ Zwei Funktionen $f$ und $g$ sind gleich $f=g$, wenn für alle $x$ gilt $f(x) = g :::note Injektivität, Surjektivität, Bijektivität Sei $f: A \rightarrow B$ eine Funktion. -- $f$ heißt *injektiv* (*eineindeutig*) $:=\ \forall x,x' \in A:\ f(x) = f(x') \rightarrow x = x'$ -- $f$ heißt *surjektiv* (*Abbildung auf $B$*) $:=\ \forall y \in B\ \exists x \in A:\ f(x) = y$ -- $f$ heißt *bijektiv* (*eineindeutige Abbildung auf $B$*) $:=\ f$ ist injektiv und surjektiv +- $f$ heißt *injektiv* (*eineindeutig*) $\coloneqq\ \forall x,x' \in A \colon f(x) = f(x') \rightarrow x = x'$ +- $f$ heißt *surjektiv* (*Abbildung auf $B$*) $\coloneqq\ \forall y \in B\ \exists x \in A \colon f(x) = y$ +- $f$ heißt *bijektiv* (*eineindeutige Abbildung auf $B$*) $\coloneqq\ f$ ist injektiv und surjektiv ::: *Injektivität* bedeutet, dass jedes $y$ aus der Bildmenge *höchstens einmal* abgebildet wird. @@ -133,21 +133,21 @@ Dass dabei $A$ und $B$ gleich viele Elemente haben müssen ist kein Zufall. Welche Rolle bijektive Abbildungen bei der *Kardinalität* ("Größe") von Mengen haben, wird im Kapitel [Endlichkeit und Kardinalzahlen](../endlichkeit) erklärt. #### Beispiele -Gegeben sei $f:\ \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N},\ n \mapsto f(n)$. +Gegeben sei $f \colon \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N},\ n \mapsto f(n)$. Betrachten verschiedene Funktionsgleichungen für $f(n)$: -- $f(n)\ :=\ n+1 \quad$ (*Nachfolgerfunktion*) ist injektiv, aber nicht surjektiv, da $0 \notin W(f)$ -- $f(n)\ := \begin{cases} \lfloor \frac{n}{2} \rfloor & n \text{ gerade}\\ 0 & n \text{ ungerade} \end{cases} \quad$ ist surjektiv, +- $f(n)\ \coloneqq\ n+1 \quad$ (*Nachfolgerfunktion*) ist injektiv, aber nicht surjektiv, da $0 \notin W(f)$ +- $f(n)\ \coloneqq \begin{cases} \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor & n \text{ gerade}\\ 0 & n \text{ ungerade} \end{cases} \quad$ ist surjektiv, aber nicht injektiv, da z.B. $f(1) = f(3) = 0$ -- $f(n)\ :=\ n \quad$ (*identische Abbildung*) ist injektiv, surjektiv und damit auch bijektiv +- $f(n)\ \coloneqq\ n \quad$ (*identische Abbildung*) ist injektiv, surjektiv und damit auch bijektiv -Gegeben sei $f:\ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},\ x \mapsto x^2$, also eine Parabelfunktion. +Gegeben sei $f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},\ x \mapsto x^2$, also eine Parabelfunktion. $f$ ist weder injektiv, noch surjektiv. Wenn man allerdings die Abbildungsmengen einschränkt, kann man eine injektive, surjektive oder bijektive Abbildung erhalten. Im Folgenden bezeichnen wir $\mathbb{R}_{\ge 0}$ als die Menge der nicht-negativen reellen Zahlen, also reelle Zahlen $\ge 0$. Am einfachsten ist es, sich die folgenden Fälle zu skizzieren: -- $f:\ \mathbb{R}_{\ge 0} \rightarrow \mathbb{R},\ x \mapsto x^2 \quad$ ist injektiv, aber nicht surjektiv -- $f:\ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_{\ge 0},\ x \mapsto x^2 \quad$ ist surjektiv, aber nicht injektiv -- $f:\ \mathbb{R}_{\ge 0} \rightarrow \mathbb{R}_{\ge 0},\ x \mapsto x^2 \quad$ ist injektiv und surjektiv und damit auch bijektiv +- $f \colon \mathbb{R}_{\ge 0} \rightarrow \mathbb{R},\ x \mapsto x^2 \quad$ ist injektiv, aber nicht surjektiv +- $f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_{\ge 0},\ x \mapsto x^2 \quad$ ist surjektiv, aber nicht injektiv +- $f \colon \mathbb{R}_{\ge 0} \rightarrow \mathbb{R}_{\ge 0},\ x \mapsto x^2 \quad$ ist injektiv und surjektiv und damit auch bijektiv Zu bijektiven Funktion sagt man auch, sie bilden "*umkehrbar eindeutig*" ab. Eingangs wurde erwähnt: @@ -160,12 +160,12 @@ Bei einer bijektiven Abbildung, die durch eine Funktionsgleichung $y = f(x)$ geg dass man die Funktionsgleichung nach $x$ umstellt. Man hat dann einen Ausdruck der Form $x = g(y) = f^{-1}(y)$. -Gegeben sei die Abbildung $f:\ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+$ mit der Funktionsgleichung $f(x) = e^x$. +Gegeben sei die Abbildung $f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+$ mit der Funktionsgleichung $f(x) = e^x$. Die Exponentialfunktion ist surjektiv, wenn man diese auf die positiven reellen Zahlen abbildet, also die nicht-negativen reellen Zahlen ohne die $0$: -$\mathbb{R}^+ := \mathbb{R}_{>0} = \mathbb{R}_{\ge 0} \setminus \{0\}$. +$\mathbb{R}^+ \coloneqq \mathbb{R}_{>0} = \mathbb{R}_{\ge 0} \setminus \{0\}$. Der ganze Beweis der Bijektivität sei an dieser allerdings weggelassen. -Die Umkehrfunktion $f^{-1}:\ \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}$ kann man nun durch Umstellen nach $y$ berechnen: +Die Umkehrfunktion $f^{-1} \colon \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}$ kann man nun durch Umstellen nach $y$ berechnen: $$ \begin{alignat*}{2} && y &= f(x)\\ @@ -194,26 +194,26 @@ Formal lässt sich das so auffassen: :::note Erweiterung -Gegeben seien eine Abbildung $f:\ A \rightarrow B$ und die Teilmengen $X \subseteq A$ und $Y \subseteq B$. +Gegeben seien eine Abbildung $f \colon A \rightarrow B$ und die Teilmengen $X \subseteq A$ und $Y \subseteq B$. -$\widehat{f}(X)\ :=\ \{ y\ |\ y \in B \wedge \exists x \in X:\ f(x) = y \}$ +$\widehat{f}(X)\ \coloneqq\ \{ y\ |\ y \in B \wedge \exists x \in X \colon f(x) = y \}$ heißt *Erweiterung* von $f$ auf $\mathcal{P}(A)$. -$\widehat{f^{-1}}(Y)\ :=\ \{ x\ |\ x \in A \wedge f(x) \in Y \}$ +$\widehat{f^{-1}}(Y)\ \coloneqq\ \{ x\ |\ x \in A \wedge f(x) \in Y \}$ heißt *Erweiterung* von $\underbrace{f^{-1}}_{\substack{\text{Inverse Relation}\\\text{i.A. keine Abbildung}}}$ auf $\mathcal{P}(B)$. ::: -$\widehat{f}:\ \mathcal{P}(A) \rightarrow \mathcal{P}(B)$ ist wie $f$ wieder eine Abbildung. +$\widehat{f} \colon \mathcal{P}(A) \rightarrow \mathcal{P}(B)$ ist wie $f$ wieder eine Abbildung. Während $f^{-1}$ hier allgemein die inverse Relation ist und damit keine (Umkehr-)Abbildung, -ist $\widehat{f^{-1}}:\ \mathcal{P}(B) \rightarrow \mathcal{P}(A)$ allerdings immer eine Abbildung. +ist $\widehat{f^{-1}} \colon \mathcal{P}(B) \rightarrow \mathcal{P}(A)$ allerdings immer eine Abbildung. Häufig schreibt man statt $\widehat{f}$ auch wieder nur $f$ bzw. für $\widehat{f^{-1}}$ auch wieder $f^{-1}$. Eine Verwechslung ist ausgeschlossen, da die Abbildung $f$ ein Element entgegennimmt, während die Erweiterung von $f$ eine Menge entgegennimmt. #### Beispiele -Gegeben sei $f:\ \{1, 2, 3\} \rightarrow \{a, b, c, d\}$ mit $f(1) = a,\ f(2) = c,\ f(3) = a$. +Gegeben sei $f \colon \{1, 2, 3\} \rightarrow \{a, b, c, d\}$ mit $f(1) = a,\ f(2) = c,\ f(3) = a$. Dann sind bspw.: - $\widehat{f}(\emptyset) = f(\emptyset) = \emptyset$ - $\widehat{f}(\{1, 2\}) = f(\{1, 2\}) = \{ a, c \}$ @@ -234,7 +234,7 @@ Diese spielen in der Algebra eine wichtige Rolle. :::note Operation oder Verknüpfung -$f$ heißt *innere $n$-stellige algebraische Operation* $:=\ f:\ A^n \rightarrow A$. +$f$ heißt *innere $n$-stellige algebraische Operation* $\coloneqq\ f \colon A^n \rightarrow A$. ::: @@ -249,17 +249,17 @@ Bereits im Kapitel [Verband](../mengen#verband) wurden zweistellige Operationen #### Beispiele Aus dem Kapitel [Verband](../mengen#verband) wissen wir, dass $\cap$ und $\cup$ zweistellige Operationen für eine Menge $A$ sind: -- $\cap:\ \mathcal{P}^2(A) \rightarrow \mathcal{P}(A)$ -- $\cup:\ \mathcal{P}^2(A) \rightarrow \mathcal{P}(A)$ +- $\cap \colon \mathcal{P}^2(A) \rightarrow \mathcal{P}(A)$ +- $\cup \colon \mathcal{P}^2(A) \rightarrow \mathcal{P}(A)$ Weitere Beispiele: -- $+:\ \mathbb{N}^2 \rightarrow \mathbb{N}$ als Addition in den natürlichen Zahlen: $+(a, b) = a+b \quad = \quad c$ +- $+ \colon \mathbb{N}^2 \rightarrow \mathbb{N}$ als Addition in den natürlichen Zahlen: $+(a, b) = a+b \quad = \quad c$ - $+(2,3) = 2 + 3 \quad = \quad 5$ - $100 + 1 = 101$ -- $\hat{\ }:\ \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ als Potenz: $\hat{\ }(a,b) = a^b \quad = \quad c$ +- $\hat{\ } \colon \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ als Potenz: $\hat{\ }(a,b) = a^b \quad = \quad c$ - $\hat{\ }(2,2) = 2^2 \quad = \quad 4$ - $3^4 = 81$ -- $\circ:\ \text{Abb}(A,A)^2 \rightarrow \text{Abb}(A,A)$ als Komposition: $\circ(f,g) = f \circ g = g(f(x)) \quad = \quad h$ +- $\circ \colon \text{Abb}(A,A)^2 \rightarrow \text{Abb}(A,A)$ als Komposition: $\circ(f,g) = f \circ g = g(f(x)) \quad = \quad h$. $\text{Abb}(A,A)$ ist dabei die Menge aller Abbildungen von $A$ in $A$. - Mit $f(x) = x^2,\ g(x) = x+2$ ist $\circ(f,g) = f \circ g = g(f(x)) \quad = \quad g(x^2) = x^2+2$ - Mit $f(x) = \ln(x) + \frac{\pi}{2},\ g(x) = \sin x$ ist