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title: Analysis
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tags: [mathematik, mengenlehre, analysis]
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## Themen
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In diesem Teil möchte ich über folgende Themen sprechen:
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1. [Reelle Zahlen](reelle_zahlen)
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2. [Komplexe Zahlen](komplexe_zahlen)
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3. [Metrische Räume](metrischer_raum)
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4. [Folgen und Reihen](folgen_reihen)
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1. [Folgen](folgen_reihen/folgen)
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2. [Reihen](folgen_reihen/reihen)
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5. [Stetigkeit](stetigkeit)
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6. [Differentialrechnung](differentiation)
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1. [Ableitungen](differentiation/ableitungen)
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2. [Taylorreihen](differentiation/taylor)
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3. [Anwendungen der Differentialrechnung](differentiation/anwendungen)
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7. [Integralrechnung](integration)
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1. [Bestimmte und unbestimmte Integrale](integration/integral1)
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2. [Uneigentliche- und Parameterintegrale](integration/integral2)
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3. [Kurvenintegrale](integration/kurvenintegral)
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## Über die Analysis
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Eine der wichtigsten Teilgebiete der Mathematik bildet die Analysis.
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Sie beschäftigt sich hauptsächlich mit Funktionen in den *reellen* und *komplexen Zahlen*.
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Dabei steht die Untersuchung der Eigenschaften dieser Funktionen im Vordergrund.
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Zu diesen Eigenschaften zählen insbesondere die *Stetigkeit*, *Differenzierbarkeit* und *Integrierbarkeit*.
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Man unterscheidet häufig zwischen der *reellen Analysis* mit den reellen Zahlen und der *komplexen Analysis* mit den komplexen Zahlen.
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Statt "*komplexe Analysis*" verwendet man häufig den Begriff *Funktionentheorie*.
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Die Analysis spielt in den Natur- und Ingenieurswissenschaften eine tragende Rolle.
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Viele technische und natürliche Vorgänge können durch *wert-kontinuierliche* Funktionen abgebildet werden.
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Diese entsprechen gerade den Funktionen in den reellen Zahlen.
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Die *Funktionalanalysis* ist eine Verschmelzung von linearer Algebra mit der Analysis.
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Sie ist die Grundlage der Mathematik hinter der Quantenmechanik.
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*Differentialgleichungen* sind häufig Grundlage von mathematischen Modellen in den Natur- und Ingenieurswissenschaften.
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Die Funktionentheorie, Funktionalanalysis und Differentialgleichungen sind selbst so große Themenkomplexe,
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dass sie hier nicht weiter behandelt werden.
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Das Kapitel über Analysis beschäftigt sich hauptsächlich mit der *ein-* und *mehrdimensionaler* reeller Analysis.
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Bekannte Namen wie *Gottfried Wilhelm Leibniz* und *Isaac Newton* haben die Analysis durch ihre *Infinitesimalrechnung* begründet.
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Charakteristisch dabei ist, dass das Änderungsverhalten von Funktionen auf beliebig kleinen Abschnitten untersucht wird.
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Das "unendlich Kleine" sorgte damals allerdings für so manche Widersprüche.
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Durch die Arbeiten von *Leibniz*, *Newton*, *Leonhard Euler*, *Augustin-Louis Cauchy* und *Bernhard Riemann* konnte die
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Analysis aber schließlich so entwickelt werden, wie sie heute Anwendung findet. |