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title: Abbildungen
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tags: [mathematik, mengenlehre, relation, abbildung, funktion, umkehrabbildung, umkehrfunktion, operation]
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sidebar_position: 3
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Eine der wichtigsten Relationen überhaupt stellen die *Abbildungen* da.
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Sie tauchen überall in der Mathematik auf und in der Realität lassen sich viele Probleme durch diese
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speziellen Relationen darstellen.
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## Funktionen
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Bevor wir uns den Abbildungen widmen, definieren wir die Eindeutigkeit:
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:::note Eindeutigkeit
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Eine Relation $R \subseteq A \times B$ ist *eindeutig*, wenn
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$$
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\forall x \in A\ \forall y, y' \in B:\ (x,y) \in R \wedge (x,y') \in R \rightarrow y = y'
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$$
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:::
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Anschaulich gesprochen heißt das, dass von jedem $x$, das in der Relation $R$ vorkommt, nur ein Pfeil weggeht.
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Gegeben seien $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$, $B = \{a, b, c, d\}$ und $R = \{(1,a), (1,d), (2,b), (3,b), (4,d)\} \subseteq A \times B$.
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$R$ ist nicht eindeutig, da $(1,a)$ und $(1,d)$ vorkommen.
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Laut Definition muss aber $y=y'$ gelten, wenn $x$ in $R$ enthalten, aber es gilt $a \ne d$.
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Durch entfernen einer dieser Komponenten, z.B. $(1,d)$ wird $R$ eindeutig.
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Im folgenden Schaubild ist links das ursprüngliche $R$ zu sehen, bei dem von der $1$ zwei Pfeile abgehen.
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Rechts ist dann die eindeutige Relation, da von der linken Seite maximal ein Pfeil pro Element abgeht.
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Bei der Eindeutigkeit ist es egal, wie viele Pfeile rechts auf ein Element zugehen, es geht nur um die linke Seite.
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:::note Abbildung / Funktion
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$f$ ist *Abbildung* oder *Funktion* von $A$ in $B$ $:=$
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- $f$ ist Relation, also $f \subseteq A \times B$
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- $D(f) = A$, also $f$ ist Relation *__von__ $A$ in $B$*
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- $f$ ist eindeutig
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Mathematisch-logisch aufgeschrieben:
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$$
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\forall x \in A\ \exists ! y \in B:\ (x,y) \in A \times B
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$$
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:::
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Man schreibt dafür: $f:\ A \rightarrow B$.
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Statt $R(x) = \{y\}$ wie bei normalen Relationen, schreibt man verkürzt $f(x) = y$, da das $y$ ja nun eindeutig ist.
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Eine Funktion ordnet also jedem Element aus $A$ genau ein $y$ aus $B$ zu.
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In der Analysis und auch in anderen mathematischen Gebieten findet man häufig eine alternative textliche Einführung:
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:::note Alternative Definition
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Eine Abbildung oder eine Funktion einer Menge $A$ in eine Menge $B$ ordnet jedem Element $x \in A$ genau ein Element $y \in B$ zu.
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:::
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Bei dieser Definition wird komplett auf die mengentheoretische Begriffe wie *geordnetes Paar* oder auch *Relation* verzichtet.
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Erst aufbauend darauf wird dann mengentheoretisch der *Graph der Funktion* definiert als $G_f := \{(x,f(x))\ |\ x \in A \wedge f(x) \in B\} \subseteq A \times B$.
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Aus mengentheoretischer Sicht stimmen in diesen Fällen die Begriffe "Funktion" und "Graph der Funktion" überein.
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#### Beispiele
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Gegeben seien $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ und $B = \{a, b, c, d\}$.
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Eine Abbildung $f:\ A \rightarrow B$ können dann sein:
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- $f = \{(1,b)\}$
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- $f = \{(1,a), (2,b), (3,b), (4,d)\}$
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- $f = \{(1,b), (2,c), (3,d), (4,a), (5,b)\}$
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- ...
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Wenn man eine rechnerische Vorschrift (*Abbildungsvorschrift*) angeben möchte, wie ein $y$ zu einem $x$ berechnet werden soll,
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dann schreibt man Abbildungen so:
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:::note Schreibweisen
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$$
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f:\ A \rightarrow B,\ x \mapsto f(x)
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\qquad\qquad\text{oder}\qquad\qquad
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f: \begin{cases}
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A \rightarrow B\\
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x \mapsto f(x)
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\end{cases}
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$$
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wobei anstelle $f(x)$ dann z.B. eine *Funktionsgleichung* tritt.
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#### Beispiele
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- $f:\ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},\ x \mapsto x^2 \quad$ für eine Parabel
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- $f: \begin{cases}
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\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}\\
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x \mapsto \sqrt{x}
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\end{cases} \quad$ für Wurzeln von natürlichen Zahlen
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Es werden noch mehr unterschiedliche Darstellungsformen für Funktionen auftauchen, je nachdem wie es gerade angebracht ist.
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Bis dahin sollten einem die Begriffe allerdings so vertraut vorkommen, dass eine genaue Definition oder Einführung nicht notwendig ist.
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## Grundlegende Eigenschaften von Funktionen
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Die *Verkettung*, oder auch *Komposition*, $f \circ g: A \rightarrow C$ von Funktionen $f:\ A \rightarrow B$ und $g:\ B \rightarrow C$ ist wieder eine Funktion.
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Für die Komposition gilt $f \circ g = g(f(x))$.
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In anderer Literatur kann es sein, dass die Komposition anders definiert ist und dann $f \circ g = f(g(x))$ gilt.
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Jedoch ist das *Inverse* $f^{-1}$ einer Funktion $f$ im Allgemeinen keine Funktion mehr.
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Zwei Funktionen $f$ und $g$ sind gleich $f=g$, wenn für alle $x$ gilt $f(x) = g(x)$.
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:::note Injektivität, Surjektivität, Bijektivität
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Sei $f: A \rightarrow B$ eine Funktion.
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- $f$ heißt *injektiv* (*eineindeutig*) $:=\ \forall x,x' \in A:\ f(x) = f(x') \rightarrow x = x'$
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- $f$ heißt *surjektiv* (*Abbildung auf $B$*) $:=\ \forall y \in B\ \exists x \in A:\ f(x) = y$
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- $f$ heißt *bijektiv* (*eineindeutige Abbildung auf $B$*) $:=\ f$ ist injektiv und surjektiv
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*Injektivität* bedeutet, dass jedes $y$ aus der Bildmenge *höchstens einmal* abgebildet wird.
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Es würden in einem Schaubild also keine zwei oder mehr Pfeile auf ein $y \in B$ treffen.
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*Surjektivität* bedeutet, dass die Bildmenge die gesamte Menge $B$ umfasst, dass also $W(f) = B$ gilt.
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Siehe hierzu auch die Definition von [Relationen *auf* einer Menge](../relationen/kartesisches_produkt_relationen#definitions--und-wertebereich).
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*Bijektivität* schließlich bedeutet, dass jedes Element $x \in A$ auf *genau ein* Element $y \in B$ abgebildet wird und,
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dass jedes $y \in B$ "belegt" ist.
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Im Schaubild ist zu erkennen, wie bei der *Injektivität* kein Element aus $B$ mehr als ein mal von einem Pfeil getroffen wird.
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Es ist möglich, dass ein Element aus $B$ gar nicht getroffen, aber eben nie mehr als ein mal.
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Bei *Surjektivität* ist zu sehen, wie kein Element aus $B$ frei bleibt.
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Hier ist es möglich, dass mehr als ein Pfeil auf ein Element aus $B$ geht.
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Es muss also mindestens ein Pfeil eingehen.
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In dem Schaubild zur *Bijektivität*, als Kombination aus Beidem, ist zu sehen, dass jedes Element von $B$ genau ein mal
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von einem Pfeil getroffen wird.
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Es darf also kein Element aus $B$ frei bleiben und es darf nur genau ein Pfeil pro Element eingehen.
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Dass dabei $A$ und $B$ gleich viele Elemente haben müssen ist kein Zufall.
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Welche Rolle bijektive Abbildungen bei der *Kardinalität* ("Größe") von Mengen haben, wird im Kapitel [Endlichkeit und Kardinalzahlen](../endlichkeit) erklärt.
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#### Beispiele
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Gegeben sei $f:\ \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N},\ n \mapsto f(n)$.
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Betrachten verschiedene Funktionsgleichungen für $f(n)$:
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- $f(n)\ :=\ n+1 \quad$ (*Nachfolgerfunktion*) ist injektiv, aber nicht surjektiv, da $0 \notin W(f)$
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- $f(n)\ := \begin{cases} \lfloor \frac{n}{2} \rfloor & n \text{ gerade}\\ 0 & n \text{ ungerade} \end{cases} \quad$ ist surjektiv,
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aber nicht injektiv, da z.B. $f(1) = f(3) = 0$
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- $f(n)\ :=\ n \quad$ (*identische Abbildung*) ist injektiv, surjektiv und damit auch bijektiv
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Gegeben sei $f:\ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},\ x \mapsto x^2$, also eine Parabelfunktion.
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$f$ ist weder injektiv, noch surjektiv.
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Wenn man allerdings die Abbildungsmengen einschränkt, kann man eine injektive, surjektive oder bijektive Abbildung erhalten.
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Im Folgenden bezeichnen wir $\mathbb{R}_{\ge 0}$ als die Menge der nicht-negativen reellen Zahlen, also reelle Zahlen $\ge 0$.
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Am einfachsten ist es, sich die folgenden Fälle zu skizzieren:
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- $f:\ \mathbb{R}_{\ge 0} \rightarrow \mathbb{R},\ x \mapsto x^2 \quad$ ist injektiv, aber nicht surjektiv
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- $f:\ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_{\ge 0},\ x \mapsto x^2 \quad$ ist surjektiv, aber nicht injektiv
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- $f:\ \mathbb{R}_{\ge 0} \rightarrow \mathbb{R}_{\ge 0},\ x \mapsto x^2 \quad$ ist injektiv und surjektiv und damit auch bijektiv
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Zu bijektiven Funktion sagt man auch, sie bilden "*umkehrbar eindeutig*" ab.
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Eingangs wurde erwähnt:
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> Jedoch ist das *Inverse* $f^{-1}$ einer Funktion $f$ im Allgemeinen keine Funktion mehr.
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Im Falle einer bijektiven Abbildung $f$ ist $f^{-1}$ allerdings eine Abbildung und man nennt diese dann *Umkehrabbildung* oder *Umkehrfunktion*.
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#### Beispiele
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Bei einer bijektiven Abbildung, die durch eine Funktionsgleichung $y = f(x)$ gegeben ist, kann man die Umkehrabbildung einfach dadurch berechnen,
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dass man die Funktionsgleichung nach $x$ umstellt.
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Man hat dann einen Ausdruck der Form $x = g(y) = f^{-1}(y)$.
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Gegeben sei die Abbildung $f:\ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+$ mit der Funktionsgleichung $f(x) = e^x$.
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Die Exponentialfunktion ist surjektiv, wenn man diese auf die positiven reellen Zahlen abbildet, also die nicht-negativen reellen Zahlen ohne die $0$:
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$\mathbb{R}^+ := \mathbb{R}_{>0} = \mathbb{R}_{\ge 0} \setminus \{0\}$.
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Der ganze Beweis der Bijektivität sei an dieser allerdings weggelassen.
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Die Umkehrfunktion $f^{-1}:\ \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}$ kann man nun durch Umstellen nach $y$ berechnen:
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$$
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\begin{alignat*}{2}
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&& y &= f(x)\\
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&& y &= e^x\\
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&& \ln y &= \ln e^x\\
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&& \ln y &= x\\
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\Longrightarrow \quad && f^{-1}(y) &= \ln y
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\end{alignat*}
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$$
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## Erweiterung von Abbildungen
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Gegeben seien $S$ als die Menge aller Schulkinder und $K$ als die Menge aller Klassen einer Schule.
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Als Abbildung definieren $k: S \rightarrow K$, die jedem Schulkind die eigene Klasse zuordnet.
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Der Direktor hat nun eine Liste von Schulkindern, mit denen er zusammen sprechen möchte.
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Doch möchte er nicht in jede einzelne Klasse gehen, um ein Schulkind abzuholen, sondern nur in die Klassen,
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in denen auch ein Schulkind von der Liste ist.
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In diesem Beispiel nehmen wir an, der Direktor kann die Liste in einem Computer eintippen und dieser gibt dann die Klassen aus,
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in denen sich die Schulkinder befinden.
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Wir haben also eine *Teilmenge von Schulkindern* und bilden diese auf eine *Teilmenge der Klassen* ab.
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Durch diese Fragestellung haben wir die Abbildung $k$ auf ihre Potenzmenge *erweitert*.
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Die Umkehrung der Fragestellung ist auch möglich:
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Der Direktor hat eine Liste von Klassen und möchte nun wissen, welche Schulkinder zu diesen Klassen gehören.
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Formal lässt sich das so auffassen:
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:::note Erweiterung
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Gegeben seien eine Abbildung $f:\ A \rightarrow B$ und die Teilmengen $X \subseteq A$ und $Y \subseteq B$.
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$\widehat{f}(X)\ :=\ \{ y\ |\ y \in B \wedge \exists x \in X:\ f(x) = y \}$
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heißt *Erweiterung* von $f$ auf $\mathcal{P}(A)$.
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$\widehat{f^{-1}}(Y)\ :=\ \{ x\ |\ x \in A \wedge f(x) \in Y \}$
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heißt *Erweiterung* von $\underbrace{f^{-1}}_{\substack{\text{Inverse Relation}\\\text{i.A. keine Abbildung}}}$ auf $\mathcal{P}(B)$.
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:::
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$\widehat{f}:\ \mathcal{P}(A) \rightarrow \mathcal{P}(B)$ ist wie $f$ wieder eine Abbildung.
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Während $f^{-1}$ hier allgemein die inverse Relation ist und damit keine (Umkehr-)Abbildung,
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ist $\widehat{f^{-1}}:\ \mathcal{P}(B) \rightarrow \mathcal{P}(A)$ allerdings immer eine Abbildung.
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Häufig schreibt man statt $\widehat{f}$ auch wieder nur $f$ bzw. für $\widehat{f^{-1}}$ auch wieder $f^{-1}$.
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Eine Verwechslung ist ausgeschlossen, da die Abbildung $f$ ein Element entgegennimmt,
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während die Erweiterung von $f$ eine Menge entgegennimmt.
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#### Beispiele
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Gegeben sei $f:\ \{1, 2, 3\} \rightarrow \{a, b, c, d\}$ mit $f(1) = a,\ f(2) = c,\ f(3) = a$.
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Dann sind bspw.:
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- $\widehat{f}(\emptyset) = f(\emptyset) = \emptyset$
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- $\widehat{f}(\{1, 2\}) = f(\{1, 2\}) = \{ a, c \}$
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- $f(\{3\}) = \{ a \}$
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- $f(\{1, 2, 3\}) = f(D(f)) = \{ a, b, c, d \} = W(f)$
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und
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- $\widehat{f^{-1}}(\emptyset) = f^{-1}(\emptyset) = \emptyset$
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- $\widehat{f^{-1}}(\{a\}) = f^{-1}(\{a\}) = \{ 1 \}$
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- $\widehat{f^{-1}}(\{b, d\}) = f^{-1}(\{b, d\}) = \emptyset$
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- $f^{-1}(\{a, b, c, d\}) = f^{-1}(D(f^{-1})) = \{ 1, 2, 3 \} = W(f^{-1})$
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## Operationen
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Im Kapitel [Kartesisches Produkt](kartesisches_produkt_relationen#kartesisches-produkt) wurde bereits die *kartesische Potenz* eingeführt.
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Mit den kartesischen Potenzen führen wir nun eine weitere wichtige Klasse von Abbildungen ein, die *Operationen* oder *Verknüpfungen*.
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Diese spielen in der Algebra eine wichtige Rolle.
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:::note Operation oder Verknüpfung
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$f$ heißt *innere $n$-stellige algebraische Operation* $:=\ f:\ A^n \rightarrow A$.
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Eine Operation ist also eine $A^{n+1}$-Relation.
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Es gibt auch *äußere* Verknüpfungen, davon gibt es aber zwei unterschiedliche Arten.
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Diese werden zu späteren Zeitpunkten sinnvoll eingeführt.
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$2$-stellige Relationen heißen auch *binäre Relationen*.
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Entsprechend heißen $2$-stellige Operationen auch binäre Operation.
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Bereits im Kapitel [Verband](../mengen#verband) wurden zweistellige Operationen das erste Mal genannt.
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#### Beispiele
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Aus dem Kapitel [Verband](../mengen#verband) wissen wir, dass $\cap$ und $\cup$ zweistellige Operationen für eine Menge $A$ sind:
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- $\cap:\ \mathcal{P}^2(A) \rightarrow \mathcal{P}(A)$
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- $\cup:\ \mathcal{P}^2(A) \rightarrow \mathcal{P}(A)$
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Weitere Beispiele:
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- $+:\ \mathbb{N}^2 \rightarrow \mathbb{N}$ als Addition in den natürlichen Zahlen: $+(a, b) = a+b \quad = \quad c$
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- $+(2,3) = 2 + 3 \quad = \quad 5$
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- $100 + 1 = 101$
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- $\hat{\ }:\ \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ als Potenz: $\hat{\ }(a,b) = a^b \quad = \quad c$
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- $\hat{\ }(2,2) = 2^2 \quad = \quad 4$
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- $3^4 = 81$
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- $\circ:\ \text{Abb}(A,A)^2 \rightarrow \text{Abb}(A,A)$ als Komposition: $\circ(f,g) = f \circ g = g(f(x)) \quad = \quad h$
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$\text{Abb}(A,A)$ ist dabei die Menge aller Abbildungen von $A$ in $A$.
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- Mit $f(x) = x^2,\ g(x) = x+2$ ist $\circ(f,g) = f \circ g = g(f(x)) \quad = \quad g(x^2) = x^2+2$
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- Mit $f(x) = \ln(x) + \frac{\pi}{2},\ g(x) = \sin x$ ist
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$$
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\begin{align*}
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\circ(f,g) = f \circ g = g(f(x))
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&= g(\ln(x) + \frac{\pi}{2})\\
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&= \sin\left( \ln(x) + \frac{\pi}{2} \right)\\
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&= \cos(\ln(x))
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\end{align*}
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$$ |