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title: Äquivalenzrelationen
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tags: [mathematik, mengenlehre, relation, äquivalenzrelation, äquivalenz]
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Eine weitere wichtige Art der Relationen sind die *Äquivalenzrelationen*.
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Die Äquivalenzrelationen und die mit diesen eng zusammenhängenden *Äquivalenzklassen* sind für viele weiterführende Begriffe der Mathematik essentiell.
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# Äquivalenzrelationen
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Bevor wir die Äquivalenzrelationen formal einführen, widmen wir uns erst nochmal ein paar wichtige Einordnungen Relationen betreffend.
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:::note Reflexivität / Symmetrie / Transitivität
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Sei $M$ eine Menge und $\varrho \subseteq M \times M$ eine Relation.
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- $\varrho$ heißt *reflexiv* $:\Leftrightarrow \forall x \in M \colon (x,x) \in \varrho$
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- $\varrho$ heißt *symmetrisch* $:\Leftrightarrow \forall x,y \in M \colon (x,y) \in \varrho \rightarrow (y,x) \in \varrho$
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- $\varrho$ heißt *transitiv* $:\Leftrightarrow \forall x,y,z \in M \colon (x,y) \in \varrho \wedge (y,z) \in \varrho \rightarrow (x,z) \in \varrho$
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#### Beispiele
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Gegeben sei die Menge $M = \{a,b,c\}$.
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- $\varrho = \{(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (a,c)\}$ ist reflexiv,
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da die Paare $(a,a)$, $(b,b)$ und $(c,c)$ in $\varrho$ sind.\
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$\varrho = \{(a,a), (c,c), (a,b)\}$ dagegen ist nicht reflexiv, da $(b,b)$ fehlt.
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- $\varrho = \{(a,a), (a,b), (b,a), (b,c), (c,b)\}$ ist symmetrisch,
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da zu jedem Paar $(x,y)$ auch das Inverse Paar $(y,x)$ vorkommt.\
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$\varrho = \{(a,a), (a,c), (b,a)\}$ dagegen ist nicht symmetrisch, da sowohl $(c,a)$ und $(a,b)$ fehlt.
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- $\varrho = \{(a,b), (b,c), (a,c)\}$ ist transitiv,
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da $(a,c)$ vorhanden ist, nachdem schon $(a,b)$ und $(b,c)$ in $\varrho$ sind.\
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$\varrho = \{(a,b), (b,a), (b,c)\}$ dagegen ist nicht transitiv, da sowohl $(a,a)$ fehlt.
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Eine Relation, die nun all diese drei Eigenschaften zugleich erfüllt nennt sich *Äquivalenzrelation*.
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:::note Äquivalenzrelation
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Sei $M$ eine Menge und $\varrho \subseteq M \times M$ eine Relation.
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$\varrho$ heißt *Äquivalenzrelation*, falls $\varrho$ reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
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#### Beispiele
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Die wohl bekannteste Äquivalenzrelation auf jeder Menge $M$ ist die Gleichheit $=$ mit ihren üblichen Eigenschaften.
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Äquivalenz in der Logik ist ebenfalls eine Äquivalenzrelation. |