diff --git a/proseminar.bib b/proseminar.bib index 5b5c138..b6b7e28 100644 --- a/proseminar.bib +++ b/proseminar.bib @@ -1,20 +1,18 @@ @book{heuser, + author = {Heuser, Harro}, title = {Gew{\"o}hnliche Differentialgleichungen}, subtitle = {Einf{\"u}hrung in Lehre und Gebrauch}, - series = {Mathematische Leitfäden}, - author = {Heuser, Harro}, + publisher = {Vieweg+Teubner Verlag}, year = {2009}, edition = {6}, - publisher = {Vieweg+Teubner Verlag}, - isbn = {978-3-8348-0705-2} + pages = {453,460,462}, } @book{grune, + author = {Gr{\"u}ne, Lars AND Junge, Oliver}, title = {Gew{\"o}hnliche Differentialgleichungen}, subtitle = {Eine Einführung aus der Perspektive der dynamischen Systeme}, - author = {Gr{\"u}ne, Lars and Junge, Oliver}, - year = {2009}, publisher = {Vieweg+Teubner Verlag}, - series = {Bachelorkurs Mathematik}, - isbn = {978-3-8348-9261-4} + year = {2009}, + pages = {10--16}, } \ No newline at end of file diff --git a/proseminar.sty b/proseminar.sty index b9ec7d9..a73d724 100644 --- a/proseminar.sty +++ b/proseminar.sty @@ -11,7 +11,7 @@ \RequirePackage[ngerman]{babel} % BibLaTeX -\RequirePackage[hyperref,style=apa]{biblatex} +\RequirePackage[hyperref,style=authoryear]{biblatex} % math packages \RequirePackage{amsmath} % general math @@ -23,6 +23,7 @@ % other packages \RequirePackage{enumerate} % for alphanumeric enumeration: (i), (ii), ... \RequirePackage{csquotes} % language dependent correct quote signs +\RequirePackage[parfill]{parskip} % use sans-serif font Computer Modern Bright \RequirePackage{cmbright} % sans-serif fonts looking cleaner @@ -60,6 +61,7 @@ % new commands and math operatos % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % common set symbols +\newcommand{\NN}{\mathbb{N}} \newcommand{\RR}{\mathbb{R}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} @@ -71,6 +73,8 @@ \renewcommand{\Re}{\mathrm{Re}\,} \renewcommand{\Im}{\mathrm{Im}\,} +\DeclareMathOperator{\diag}{diag} + \renewcommand{\vec}[1]{\mathfrak{#1}} % use the more common variants of greek letters @@ -96,7 +100,7 @@ % style for theorems, lemmata, propositions, corollary: " Theorem ([additional name]) \newline" \newtheoremstyle{break}{}{}{\itshape}{}{\bfseries}{}{\newline}{\thmname{#1}~\thmnumber{#2}~\thmnote{(#3)}} \theoremstyle{break} -\newtheorem{theorem}{Satz}[section] +\newtheorem{theorem}{Satz}[subsection] \newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma} \newtheorem{corollary}[theorem]{Folgerung} @@ -106,4 +110,4 @@ \newtheorem*{example*}{Beispiel:} % proofs with bold name and qed at end -\renewenvironment{proof}[1][\proofname]{\par\textbf{#1.} }{\nobreak\hfill\ensuremath{\blacksquare}} +\renewenvironment{proof}[1][\proofname]{\textbf{#1.} }{\nobreak\hfill\ensuremath{\blacksquare}} diff --git a/proseminar_skript.tex b/proseminar_skript.tex index 6b49142..d0a3e32 100644 --- a/proseminar_skript.tex +++ b/proseminar_skript.tex @@ -1,6 +1,7 @@ \documentclass[11pt]{scrartcl} \usepackage{proseminar} +\usepackage{amsfonts} \subject{Proseminar} \title{ @@ -26,10 +27,10 @@ \section{Lineare Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten}\label{sec:01} \input{sections/01_ldgls} - \section{Existenz und Eindeutigkeit}\label{sec:02} + \section{Existenz und Eindeutigkeit der Lösung}\label{sec:02} \input{sections/02_existenz_eindeutigkeit} - \section{Anwendung auf homogene lineare DGLS}\label{sec:03} + \section{Anwendung der Matrixexponentialfunktion auf homogene lineare DGLS}\label{sec:03} \input{sections/03_anwendung_auf_jnf} \end{document} \ No newline at end of file diff --git a/sections/02_existenz_eindeutigkeit.tex b/sections/02_existenz_eindeutigkeit.tex index 24aa5fa..3c772ae 100644 --- a/sections/02_existenz_eindeutigkeit.tex +++ b/sections/02_existenz_eindeutigkeit.tex @@ -1,4 +1,4 @@ -Eine~\eqref{eq:dgls} zusammen mit einem einem Anfangswertvektor +Ein~\ref{eq:dgls} zusammen mit einem einem Anfangswertvektor \begin{equation*} \vec{y}(x_0) \coloneqq \vec{y}_0 \coloneqq \begin{pmatrix} y_{1_0}\\ \vdots\\ y_{n_0} \end{pmatrix} \in \RR^n \end{equation*} @@ -22,13 +22,13 @@ an der Stelle $x_0 \in \RR$ nennt man ein \emph{C\textc{auchy}-Problem} oder \em \begin{equation*} A \vec{y}(x) = A e^{(x - x_0) A} \vec{y}_0. \end{equation*} - Zusammen mit~\eqref{eq:} folgt direkt, dass~\eqref{eq:solution} das C\textc{auchy}-Problem löst. + Zusammen mit~\eqref{*} folgt direkt, dass~\eqref{eq:solution} das C\textc{auchy}-Problem löst. \item \underline{Eindeutigkeit:}\\ Angenommen $\vec{u}(x)$ sei eine weitere Lösung, d.h.~es gilt $\vec{u}' = A \vec{u},\ \vec{u}(x_0) = \vec{y}_0$. Dann ist \begin{align*} - \dfdx{}{x} \left( \right) + \dfdx{}{x} \left( \text{tbc.} \right) \end{align*} \end{itemize} \end{proof} \ No newline at end of file diff --git a/sections/03_anwendung_auf_jnf.tex b/sections/03_anwendung_auf_jnf.tex index e69de29..75774eb 100644 --- a/sections/03_anwendung_auf_jnf.tex +++ b/sections/03_anwendung_auf_jnf.tex @@ -0,0 +1,232 @@ +Die gewonnenen Erkenntnisse können nun dazu genutzt werden, um Lösungen für homogene lineare Differentialgleichungssysteme zu finden. + +\subsection{Diagonale Matrizen}\label{subsec:03-01} +Zunächst werden diagonale Matrizen $A = \diag\{a_1,\dots,a_n\}$ betrachtet. +Vorgegeben sei also eine Diagonalmatrix +\begin{equation*} + A = \diag\{a_1,\dots,a_n\} + = \begin{pmatrix} + a_1 & & \\ + & \ddots & \\ + & & a_3 + \end{pmatrix}. +\end{equation*} +Für ein~\ref{eq:dgls} liegen dann die $n$ unabhängigen Differentialgleichungen +\begin{equation*} + y'_i(x) = a_i y_i(x) \qquad (i = 1,\dots,n) +\end{equation*} +vor, deren Lösungen zu einem gegebenen Anfangswert $\vec{y}_0 = (y_{0_1},\dots,y_{0_n})^T$ durch +\begin{equation*} + y_i(x) = \e^{a_i x} y_{0_i} \qquad (i = 1,\dots,n) +\end{equation*} +gegeben sind. +Mittels Matrixexponentialfunktion lässt sich die Lösung also durch +\begin{equation*} + \vec{y}(x) = \e^{Ax} + = \begin{pmatrix} + \e^{a_1 x} & & \\ + & \ddots & \\ + & & \e^{a_n x} + \end{pmatrix} +\end{equation*} +angeben. + +\subsection{Diagonalisierbare Matrizen}\label{subsec:03-02} +Das Lösen eines~\ref{eq:dgls} mit einer diagonalisierbaren Koeffizientenmatrix $A$ kann auf den obigen Fall der~\nameref{subsec:03-01} +zurückgeführt werden. +Dazu stellen wir $A$ mit einer Diagonalmatrix $L = \diag\{\lambda_1,\dots,\lambda_n\}$ aus den Eigenwerten $\lambda_i$ ($i = 1,\dots,n$) +und $V$ die Matrix der zugehörigen Eigenvektoren von $A$ durch +\begin{equation*} + A = V L V^{-1} +\end{equation*} +dar. + +\begin{theorem}\label{thm:diagbar-cp-solution} + Sei $A = V L V^{-1}$ eine diagonalisierbare Matrix mit $L = \diag\{\lambda_1,\dots,\lambda_n\}$, + wobei $\lambda_i$ ($i = 1,\dots,n$) die Eigenwerte und $V$ die Matrix mit den zugehörigen Eigenvektoren von $A$ sind. + Dann ist die Lösung eines~\hyperref[eq:cp]{C\textc{auchy}-Problems} + \begin{gather*} + \vec{y}'(x) = A \vec{y}(x) = V L V^{-1} \vec{y}(x), \qquad \vec{y}_0 = (y_{1_0},\dots,y_{n_0})^T\\ + \intertext{durch} + \begin{aligned} + \vec{y}(x) + &= V \e^{L x} V^{-1} \vec{y}_0\\ + \big( &= \left. V \diag\left\{\e^{\lambda_1 x}, \dots,\e^{\lambda_n x}\right\} V^{-1} \right) + \end{aligned} + \end{gather*} + gegeben. +\end{theorem} + +\begin{proof} + Das~\ref{eq:dgls} + \begin{gather*} + \vec{y}'(x) = V L V^{-1} \vec{y}(x)\\ + \intertext{lässt sich zu} + V^{-1} \vec{y}'(x) = L V^{-1} \vec{y}(x). + \end{gather*} + umformen. + Durch Substitution von $\vec{u} = V^{-1} \vec{y}$ ergibt sich das~\ref{eq:dgls} + \begin{equation}\tag{$\triangle$}\label{eq:03-02-01} + \vec{u}'(x) = L \vec{u}(x), \qquad \vec{u}_0 \coloneqq \vec{u}(x_0) = V^{-1} \vec{y}(x_0) = V^{-1} \vec{y}_0. + \end{equation} + Da $L$ eine Diagonalmatrix ist, folgt mit~\autoref{subsec:03-01}, dass + \begin{equation*} + \vec{u}(x) = \e^{L x} \vec{u}_0 + \end{equation*} + die Lösung von~\eqref{eq:03-02-01} ist. + Rücksubstitution ergibt schließlich die Lösung + \begin{equation*} + \vec{u}(x) = \e^{L x} \vec{u}_0 + \qquad\Leftrightarrow\qquad V^{-1} \vec{y} = \e^{L x} V^{-1} \vec{y}_0 + \qquad\Leftrightarrow\qquad \vec{y} = V \e^{L x} V^{-1} \vec{y}_0. + \end{equation*} +\end{proof} + +\begin{corollary} + Sei $A$ diagonalisierbar mit $A = V L V^{-1}$. + Dann gilt für die Matrixexponentialfunktion + \begin{equation*} + \e^{A} = V \e^{L} V^{-1}. + \end{equation*} +\end{corollary} + +\begin{proof} + Zuerst wird gezeigt, dass $A^k = V L^k V^{-1}$ für $k \in \NN$: + \begin{alignat*}{2} + A^k &= (V L V^{-1})^k &&= \underbrace{(V L V^{-1}) (V L V^{-1}) (V L V^{-1}) \dots (V L V^{-1})}_{k \text{-mal}}\\ + &= V L \underbrace{(V^{-1} V)}_{E} L \underbrace{(V^{-1} V)}_{E} \dots \underbrace{(V^{-1} V)}_{E} L V^{-1} &&= V \underbrace{L \cdots L}_{k \text{-mal}} V^{-1}\\ + &= V L^k V^{-1} + \end{alignat*} + Damit folgt dann für die Matrixexponentialfunktion + \begin{alignat*}{2} + \e^{A} &= \e^{V L V^{-1}} &&= \sum^\infty_{k=0} \frac{(V L V^{-1})^k}{k!}\\ + &= \sum^\infty_{k=0} \frac{V L^k V^{-1}}{k!} &&= V \left( \sum^\infty_{k=0} \frac{L^k}{k!} \right) V^{-1}\\ + &= V e^L V^{-1} + \end{alignat*} +\end{proof} + +\hyperref[thm:diagbar-cp-solution]{Folgerung~\ref*{thm:diagbar-cp-solution}} lässt sich leicht ersichtlich auf einen allgemeinen Fall von ähnlichen Matrizen $A = S B S^{-1}$ übertragen, d.h. +\begin{equation*} + \e^A = \e^{S B S^{-1}} = S \e^B S^{-1}. +\end{equation*} + +\subsection{Nicht-diagonalisierbare Matrizen}\label{subsec:03-03} +Jede Matrix $A$ lässt sich auf eine \emph{J\textc{ordan}-Normalform} $J = V^{-1} A V$ bringen. +Eine J\textc{ordan}-Normalform $J$ ist eine Blockdiagonalmatrix der Form +\begin{gather*} + J = \begin{pmatrix} + J_1 & & \\ + & \ddots & \\ + & & J_n + \end{pmatrix}\\ + \intertext{mit J\textc{ordan}-Kästchen} + J_i = \begin{pmatrix} + \lambda & 1 & & \\ + & \lambda & \ddots & \\ + & & \ddots & 1 \\ + & & & \lambda + \end{pmatrix} + \qquad (i = 1,\dots,n). +\end{gather*} +Das folgende \hyperref[thm:blockdiag-exp]{Lemma~\ref*{thm:blockdiag-exp}} lässt vermuten, +dass die gewonnenen Erkenntnisse aus~\autoref{subsec:03-02} anwendbar sein könnten. + +\begin{lemma}\label{thm:blockdiag-exp} + Sei $A \in \RR^{nd \times nd}$ eine Blockdiagonalmatrix + \begin{equation*} + A = \begin{pmatrix} + A_1 & & \\ + & \ddots & \\ + & & A_n + \end{pmatrix}, + \end{equation*} + mit quadratische Matrizen $A_1, \dots, A_n \in \RR^{d \times d}$. + Dann gilt + \begin{equation*} + \e^A = \begin{pmatrix} + \e^{A_1} & & \\ + & \ddots & \\ + & & \e^{A_n} + \end{pmatrix}. + \end{equation*} +\end{lemma} + +\begin{proof} + Es gilt + \begin{equation*} + A^k = \begin{pmatrix} + A^k_1 & & \\ + & \ddots & \\ + & & A^k_n + \end{pmatrix}. + \end{equation*} + Damit folgt dann + \begin{alignat*}{2} + \e^A + &= \sum^\infty_{k=0} \frac{A^k}{k!} + &&= \sum^\infty_{k=0} + \begin{pmatrix} + \frac{A^k_1}{k!} & & \\ + & \ddots & \\ + & & \frac{A^k_n}{k!} + \end{pmatrix}\\ + &= \sum^\infty_{k=0} + \begin{pmatrix} + \frac{A^k_1}{k!} & & \\ + & \ddots & \\ + & & \frac{A^k_n}{k!} + \end{pmatrix} + &&= \begin{pmatrix} + \sum^\infty_{k=0} \frac{A^k_1}{k!} & & \\ + & \ddots & \\ + & & \sum^\infty_{k=0} \frac{A^k_n}{k!} + \end{pmatrix}\\ + &= \begin{pmatrix} + \e^{A_1} & & \\ + & \ddots & \\ + & & \e^{A_n} + \end{pmatrix} + \end{alignat*} +\end{proof} + +Es ergeben sich also Lösungen eines gegebenen~\hyperref[eq:cp]{C\textc{auchy}-Problems} mit einer nicht-diagonalisierbaren Matrix $A = V J V^{-1}$ durch +\begin{equation*} + \vec{y}(x) = V \e^{J x} V^{-1} \vec{y}_0. +\end{equation*} +Zudem zeigt~\hyperref[thm:blockdiag-exp]{Lemma~\ref*{thm:blockdiag-exp}}, +dass sich die Berechnung von $\e^J$ auf die einzelnen $\e^{J_i}$ für $i = 1,\dots,n$ reduzieren lässt.\\ +Ein J\textc{ordan}-Kästchen $J_i$ lässt sich weiter zerlegen zu +\begin{equation*} + J_i = \begin{pmatrix} + \lambda & 1 & & \\ + & \lambda & \ddots & \\ + & & \ddots & 1 \\ + & & & \lambda + \end{pmatrix} + = \underbrace{\begin{pmatrix} + \lambda & & \\ + & \ddots & \\ + & & \lambda + \end{pmatrix}}_{= L} + + \underbrace{\begin{pmatrix} + 0 & 1 & & \\ + & 0 & \ddots & \\ + & & \ddots & 1 \\ + & & & 0 + \end{pmatrix}}_{\eqqcolon N} + = L + N. +\end{equation*} +Dabei ist $N$ eine \emph{nilpotente} Matrix, d.h.\ es existiert ein $l \in \NN$ so, dass $N^l = 0$. +Die Matrizen $L$ und $N$ kommutieren, weshalb +\begin{equation*} + \e^{L + N} = \e^L \e^N +\end{equation*} +gilt. +Da $L$ eine Diagonalmatrix ist, ist die Lösung von $\e^L$ bereits aus~\autoref{subsec:03-01} bekannt. +Für $N$ als nilpotente Matrix ergibt sich zudem eine endliche Summe bei der Berechnung von $\e^N$, +da ab einem $l \in \NN$ gilt, dass $N^l = N^{l+1} = \dots = 0$, d.h. +\begin{equation*} + \e^N + = \sum^\infty_{k=0} \frac{N^k}{k!} + = \sum^{l-1}_{k=0} \frac{N^k}{k!}. +\end{equation*} \ No newline at end of file