From 4b4b4f66b9e21c8c1319764a50ef4b9b4281492d Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Niklas Birk <niklas.birk@niklas-birk.de>
Date: Fri, 2 Jun 2023 15:55:36 +0200
Subject: [PATCH] finish proseminar skript

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 sections/01_ldgls_matrixexponential.tex | 26 +++++++++++++++++++++----
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+++ b/sections/01_ldgls_matrixexponential.tex
@@ -77,6 +77,23 @@
     \end{equation*}
 \end{corollary}
 
+\begin{lemma}\label{thm:matrixexp-commute}
+    Seien $A,B$ Matrizen und für diese gelte $AB = BA$.
+    Dann gilt
+    \begin{equation*}
+        \e^A B = B \e^A.
+    \end{equation*}
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    \begin{equation*}
+        \e^A B = \left( \sum^\infty_{k=0} \frac{A^k}{k!} \right) B
+        = \sum^\infty_{k=0} \frac{A^k B}{k!}
+        = \sum^\infty_{k=0} \frac{B A^k}{k!}
+        = B \left( \sum^\infty_{k=0} \frac{A^k}{k!} \right)
+    \end{equation*}
+\end{proof}
+
 \begin{theorem}[Existenz und Eindeutigkeit]\label{thm:existenz-eindeutigkeit}
     Vorgelegt sei ein C\textc{auchy}-Problem
     \begin{equation}\tag{CP}\label{eq:cp}
@@ -95,8 +112,7 @@
                 \begin{equation*}
                     A \vec{u}(t) = A \e^{(t - t_0) A} \vec{u}_0.
                 \end{equation*}
-                Zusammen mit~\hyperref[thm:matrixexp-derivative]{Lemma~\ref*{thm:matrixexp-derivative}}
-                bzw.~\hyperref[thm:matrixexp-derivative-corollary]{Folgerung~\ref*{thm:matrixexp-derivative-corollary}}
+                Zusammen mit~\hyperref[thm:matrixexp-derivative-corollary]{Folgerung~\ref*{thm:matrixexp-derivative-corollary}}
                 folgt direkt, dass~\eqref{eq:solution} das C\textc{auchy}-Problem löst.
 
         \item   \underline{Eindeutigkeit:}\\
@@ -104,8 +120,10 @@
                 Dann ist
                 \begin{align*}
                     \dfdx{}{t} \left( \e^{-(t - t_0) A} \vec{v}(t) \right)
-                    \overset{\ref{thm:matrixexp-derivative}}&{=} \e^{-(t - t_0) A} \dfdx{\vec{v}(t)}{t} - A \e^{-(t - t_0) A} \vec{v}(t)\\
-                    &= \e^{-(t - t_0) A} A \vec{v}(t) - \e^{-(t - t_0) A} A \vec{v}(t)\\
+                    \overset{\hyperref[thm:matrixexp-derivative]{\text{L\ref*{thm:matrixexp-derivative}}}}&{=} 
+                        \e^{-(t - t_0) A} \dfdx{\vec{v}(t)}{t} - A \e^{-(t - t_0) A} \vec{v}(t)\\
+                    \overset{\hyperref[thm:matrixexp-commute]{\text{L\ref*{thm:matrixexp-commute}}}}&{=} 
+                        \e^{-(t - t_0) A} A \vec{v}(t) - \e^{-(t - t_0) A} A \vec{v}(t)\\
                     &= \vec{0}. % TODO: e^{-tA} kommutiert mit A, weil A mit sich selbst kommutiert; Minh? oder selsbt sagen?
                 \end{align*}
                 Da die Ableitung die Nullmatrix ist, ist $\e^{-(t - t_0) A} \vec{v}(t)$ konstant, d.h.