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@@ -1,4 +1,5 @@
-Die gewonnenen Erkenntnisse können nun dazu genutzt werden, um Lösungen für homogene lineare Differentialgleichungssysteme zu finden.
+Die gewonnenen Erkenntnisse können nun dazu genutzt werden,
+um Lösungen für homogene lineare Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten zu finden.
 
 \subsection{Diagonale Matrizen}\label{subsec:03-01}
 Zunächst werden diagonale Matrizen $A = \diag\{a_1,\dots,a_n\}$ betrachtet.
@@ -32,7 +33,7 @@ Mittels Matrixexponentialfunktion lässt sich die Lösung also durch
 angeben.
 
 \subsection{Diagonalisierbare Matrizen}\label{subsec:03-02}
-Das Lösen eines~\ref{eq:dgls} mit einer diagonalisierbaren Koeffizientenmatrix $A$ kann auf den obigen Fall der~\nameref{subsec:03-01}
+Das Lösen eines~\ref{eq:dgls}s mit einer diagonalisierbaren Koeffizientenmatrix $A$ kann auf den obigen Fall der~\nameref{subsec:03-01}
 zurückgeführt werden.
 Dazu wird $A$ durch eine Diagonalmatrix $L = \diag\{\lambda_1,\dots,\lambda_n\}$ aus den Eigenwerten $\lambda_i$ ($i = 1,\dots,n$)
 und durch die Matrix $V$ der zugehörigen Eigenvektoren mit
@@ -65,7 +66,7 @@ dargestellt.
         V^{-1} \vec{y}'(x) = L V^{-1} \vec{y}(x).
     \end{gather*}
     umformen.
-    Durch Substitution von $\vec{u} = V^{-1} \vec{y}$ ergibt sich das~\ref{eq:dgls}
+    Durch Substitution von $\vec{u} = V^{-1} \vec{y}$ ergibt sich das~\ref{eq:cp}
     \begin{equation}\tag{$\triangle$}\label{eq:03-02-01}
         \vec{u}'(x) = L \vec{u}(x), \qquad \vec{u}_0 \coloneqq \vec{u}(x_0) = V^{-1} \vec{y}(x_0) = V^{-1} \vec{y}_0.
     \end{equation}
@@ -119,7 +120,7 @@ Eine J\textc{ordan}-Normalform $J$ ist eine Blockdiagonalmatrix der Form
                 & \ddots & \\
                 &        & J_n
     \end{pmatrix}\\
-    \intertext{mit J\textc{ordan}-Kästchen}
+    \intertext{mit J\textc{ordan}-Block}
     J_i = \begin{pmatrix}
               \lambda & 1       &        & \\
                       & \lambda & \ddots & \\
@@ -140,7 +141,7 @@ dass die gewonnenen Erkenntnisse aus~\autoref{subsec:03-02} anwendbar sein könn
                     &        & A_n
         \end{pmatrix},
     \end{equation*}
-    mit quadratische Matrizen $A_1, \dots, A_n \in \RR^{d \times d}$.
+    mit quadratischen Matrizen $A_1, \dots, A_n \in \RR^{d \times d}$.
     Dann gilt
     \begin{equation*}
         \e^A = \begin{pmatrix}
@@ -164,11 +165,11 @@ dass die gewonnenen Erkenntnisse aus~\autoref{subsec:03-02} anwendbar sein könn
     \begin{alignat*}{2}
         \e^A
         &= \sum^\infty_{k=0} \frac{A^k}{k!}
-            &&= \sum^\infty_{k=0}
+            &&= \sum^\infty_{k=0} \frac{1}{k!}
             \begin{pmatrix}
-                \frac{A^k_1}{k!} &        & \\
-                                 & \ddots & \\
-                                 &        & \frac{A^k_n}{k!}
+                A^k_1 &        & \\
+                      & \ddots & \\
+                      &        & A^k_n
             \end{pmatrix}\\
         &= \sum^\infty_{k=0}
             \begin{pmatrix}
@@ -195,7 +196,7 @@ Es ergeben sich also Lösungen eines gegebenen~\hyperref[eq:cp]{C\textc{auchy}-P
 \end{equation*}
 Zudem zeigt~\hyperref[thm:blockdiag-exp]{Lemma~\ref*{thm:blockdiag-exp}},
 dass sich die Berechnung von $\e^J$ auf die einzelnen $\e^{J_i}$ für $i = 1,\dots,n$ reduzieren lässt.\\
-Ein J\textc{ordan}-Kästchen $J_i$ lässt sich weiter zerlegen zu
+Ein J\textc{ordan}-Block $J_i$ lässt sich weiter zerlegen zu
 \begin{equation*}
     J_i = \begin{pmatrix}
               \lambda & 1       &        & \\