From a5e8eb83ec4d25f6d0af4e7ec255aa757fb95ed8 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Niklas Birk <niklas.birk@niklas-birk.de>
Date: Tue, 30 May 2023 20:03:14 +0200
Subject: [PATCH] Refactor sth

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 README.md                                    |  6 ++++-
 proseminar.sty                               |  5 ++--
 sections/01_ldgls_matrixexponential.tex      | 24 +++++++++++++++++++-
 sections/02_berechnung_matrixexponential.tex |  2 +-
 4 files changed, 32 insertions(+), 5 deletions(-)

diff --git a/README.md b/README.md
index 6dda48a..cdd7a14 100644
--- a/README.md
+++ b/README.md
@@ -1,2 +1,6 @@
-# proseminar_algebra
+# Proseminar Algebra
+Titel des Vortrags:
+<p style="text-align: center; font-weight: bold">
+    Berechnung der Matrixexponentialfunktion und Anwendung auf homogene lineare Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten
+</p>
 
diff --git a/proseminar.sty b/proseminar.sty
index ee2c508..1a5a1b0 100644
--- a/proseminar.sty
+++ b/proseminar.sty
@@ -48,7 +48,8 @@
 \RequirePackage{hyperref}                  % hyperref package for refs
 \hypersetup{
     pdftitle={
-        tbd % TODO
+        Berechnung der Matrixexponentialfunktion und
+        Anwendung auf homogene lineare Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten
     },
     pdfsubject={Skript zum Vortrag im Proseminar Algebra},
     pdfauthor={Niklas Birk},
@@ -102,7 +103,7 @@
 % style for theorems, lemmata, propositions, corollary: "<counter> Theorem ([additional name]) \newline"
 \newtheoremstyle{break}{}{}{\itshape}{}{\bfseries}{}{\newline}{\thmname{#1}~\thmnumber{#2}~\thmnote{(#3)}}
 \theoremstyle{break}
-\newtheorem{theorem}{Satz}[subsection]
+\newtheorem{theorem}{Satz}[section]
 \newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
 \newtheorem{corollary}[theorem]{Folgerung}
 
diff --git a/sections/01_ldgls_matrixexponential.tex b/sections/01_ldgls_matrixexponential.tex
index f0276fd..2e90759 100644
--- a/sections/01_ldgls_matrixexponential.tex
+++ b/sections/01_ldgls_matrixexponential.tex
@@ -26,6 +26,26 @@
     an einer Stelle $t_0 \in \RR$ nennt man ein \emph{C\textc{auchy}-Problem} oder \emph{Anfangswertproblem}.
 \end{definition}
 
+\begin{lemma}\label{thm:matrixexp-derivative}
+    Sei $\vec{y}: \RR \to \RR^{n}$ eine vektorwertige Funktion und $A$ eine konstante Matrix.
+    Dann gilt
+    \begin{equation*}
+        \dfdx{}{t} \left( \e^{t A} \vec{y}(t) \right) = \e^{t A} \dfdx{\vec{y}(t)}{t} + A \e^{t A} \vec{y}(t).
+    \end{equation*}
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    % TODO: komponentenweise
+\end{proof}
+
+\begin{corollary}\label{thm:matrixexp-derivative-corollary}
+    Sei $\vec{y}_0 \in \RR^n$ konstant.
+    Dann gilt
+    \begin{equation*}
+        \dfdx{}{t} \left( \e^{t A} \vec{y}_0 \right) = A \e^{t A} \vec{y}_0.
+    \end{equation*}
+\end{corollary}
+
 \begin{theorem}[Existenz und Eindeutigkeit]\label{thm:existenz-eindeutigkeit}
     Vorgelegt sei ein C\textc{auchy}-Problem
     \begin{equation}\tag{CP}\label{eq:cp}
@@ -44,7 +64,9 @@
                 \begin{equation*}
                     A \vec{y}(t) = A e^{(t - t_0) A} \vec{y}_0.
                 \end{equation*}
-                Zusammen mit~\eqref{*} folgt direkt, dass~\eqref{eq:solution} das C\textc{auchy}-Problem löst.
+                Zusammen mit~\hyperref[thm:matrixexp-derivative]{Lemma~\ref*{thm:matrixexp-derivative}}
+                bzw.~\hyperref[thm:matrixexp-derivative-corollary]{Folgerung~\ref*{thm:matrixexp-derivative-corollary}}
+                folgt direkt, dass~\eqref{eq:solution} das C\textc{auchy}-Problem löst.
 
         \item   \underline{Eindeutigkeit:}\\
                 Angenommen $\vec{u}(t)$ sei eine weitere Lösung, d.h.~es gilt $\vec{u}' = A \vec{u},\ \vec{u}(t_0) = \vec{y}_0$.
diff --git a/sections/02_berechnung_matrixexponential.tex b/sections/02_berechnung_matrixexponential.tex
index 8d764aa..9b570aa 100644
--- a/sections/02_berechnung_matrixexponential.tex
+++ b/sections/02_berechnung_matrixexponential.tex
@@ -188,7 +188,7 @@ Ein J\textc{ordan}-Block $J_i$ lässt sich weiter zerlegen zu
 \end{corollary}
 
 Betrachtet man den Vorgang des Potenzierens von $N$ ausführlicher, erkennt man,
-dass die Nebendiagonale auf denen die $1$en stehen sich \enquote{nach oben-rechts hinaus schiebt}:
+dass die Nebendiagonalen auf denen die $1$en stehen \enquote{nach oben-rechts hinaus} geschoben werden:
 \begin{equation*}
     N = \begin{pmatrix}
              0 & 1      &        & \\