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 title: Abbildungen
-tags: [mathematik, mengenlehre, relation, abbildung, funktion]
+tags: [mathematik, mengenlehre, relation, abbildung, funktion, umkehrabbildung, umkehrfunktion, operation]
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@@ -96,6 +96,9 @@ Bis dahin sollten einem die Begriffe allerdings so vertraut vorkommen, dass eine
 
 ## Grundlegende Eigenschaften von Funktionen
 Die *Verkettung*, oder auch *Komposition*, $f \circ g: A \rightarrow C$ von Funktionen $f:\ A \rightarrow B$ und $g:\ B \rightarrow C$ ist wieder eine Funktion.
+Für die Komposition gilt $f \circ g = g(f(x))$.
+In anderer Literatur kann es sein, dass die Komposition anders definiert ist und dann $f \circ g = f(g(x))$ gilt.
+
 Jedoch ist das *Inverse* $f^{-1}$ einer Funktion $f$ im Allgemeinen keine Funktion mehr.
 
 Zwei Funktionen $f$ und $g$ sind gleich $f=g$, wenn für alle $x$ gilt $f(x) = g(x)$.
@@ -140,11 +143,11 @@ Betrachten verschiedene Funktionsgleichungen für $f(n)$:
 Gegeben sei $f:\ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},\ x \mapsto x^2$, also eine Parabelfunktion.
 $f$ ist weder injektiv, noch surjektiv.
 Wenn man allerdings die Abbildungsmengen einschränkt, kann man eine injektive, surjektive oder bijektive Abbildung erhalten.
-Im Folgenden bezeichnen wir $\mathbb{R}^+$ als die Menge der nicht-negativen reellen Zahlen, also reelle Zahlen $\ge 0$.
+Im Folgenden bezeichnen wir $\mathbb{R}_{\ge 0}$ als die Menge der nicht-negativen reellen Zahlen, also reelle Zahlen $\ge 0$.
 Am einfachsten ist es, sich die folgenden Fälle zu skizzieren:
-- $f:\ \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R},\ x \mapsto x^2 \quad$ ist injektiv, aber nicht surjektiv
+- $f:\ \mathbb{R}_{\ge 0} \rightarrow \mathbb{R},\ x \mapsto x^2 \quad$ ist injektiv, aber nicht surjektiv
-- $f:\ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+,\ x \mapsto x^2 \quad$ ist surjektiv, aber nicht injektiv
+- $f:\ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_{\ge 0},\ x \mapsto x^2 \quad$ ist surjektiv, aber nicht injektiv
-- $f:\ \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+,\ x \mapsto x^2 \quad$ ist injektiv und surjektiv und damit auch bijektiv
+- $f:\ \mathbb{R}_{\ge 0} \rightarrow \mathbb{R}_{\ge 0},\ x \mapsto x^2 \quad$ ist injektiv und surjektiv und damit auch bijektiv
 
 Zu bijektiven Funktion sagt man auch, sie bilden "*umkehrbar eindeutig*" ab.
 Eingangs wurde erwähnt:
@@ -152,5 +155,119 @@ Eingangs wurde erwähnt:
 
 Im Falle einer bijektiven Abbildung $f$ ist $f^{-1}$ allerdings eine Abbildung und man nennt diese dann *Umkehrabbildung* oder *Umkehrfunktion*.
 
+#### Beispiele
+Bei einer bijektiven Abbildung, die durch eine Funktionsgleichung $y = f(x)$ gegeben ist, kann man die Umkehrabbildung einfach dadurch berechnen,
+dass man die Funktionsgleichung nach $x$ umstellt.
+Man hat dann einen Ausdruck der Form $x = g(y) = f^{-1}(y)$.
+
+Gegeben sei die Abbildung $f:\ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+$ mit der Funktionsgleichung $f(x) = e^x$.
+Die Exponentialfunktion ist surjektiv, wenn man diese auf die positiven reellen Zahlen abbildet, also die nicht-negativen reellen Zahlen ohne die $0$:
+$\mathbb{R}^+ := \mathbb{R}_{>0} = \mathbb{R}_{\ge 0} \setminus \{0\}$.
+Der ganze Beweis der Bijektivität sei an dieser allerdings weggelassen.
+
+Die Umkehrfunktion $f^{-1}:\ \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}$ kann man nun durch Umstellen nach $y$ berechnen:
+$$
+\begin{alignat*}{2}
+    && y &= f(x)\\
+    && y &= e^x\\
+    && \ln y &= \ln e^x\\
+    && \ln y &= x\\
+    \Longrightarrow \quad && f^{-1}(y) &= \ln y
+\end{alignat*}
+$$
+
+## Erweiterung von Abbildungen
+Gegeben seien $S$ als die Menge aller Schulkinder und $K$ als die Menge aller Klassen einer Schule.
+Als Abbildung definieren $k: S \rightarrow K$, die jedem Schulkind die eigene Klasse zuordnet.
+Der Direktor hat nun eine Liste von Schulkindern, mit denen er zusammen sprechen möchte.
+Doch möchte er nicht in jede einzelne Klasse gehen, um ein Schulkind abzuholen, sondern nur in die Klassen,
+in denen auch ein Schulkind von der Liste ist.
+In diesem Beispiel nehmen wir an, der Direktor kann die Liste in einem Computer eintippen und dieser gibt dann die Klassen aus,
+in denen sich die Schulkinder befinden.
+Wir haben also eine *Teilmenge von Schulkindern* und bilden diese auf eine *Teilmenge der Klassen* ab.
+Durch diese Fragestellung haben wir die Abbildung $k$ auf ihre Potenzmenge *erweitert*.
+
+Die Umkehrung der Fragestellung ist auch möglich:
+Der Direktor hat eine Liste von Klassen und möchte nun wissen, welche Schulkinder zu diesen Klassen gehören.
+
+Formal lässt sich das so auffassen:
+
+:::note Erweiterung
+
+Gegeben seien eine Abbildung $f:\ A \rightarrow B$ und die Teilmengen $X \subseteq A$ und $Y \subseteq B$.
+
+$\widehat{f}(X)\ :=\ \{ y\ |\ y \in B \wedge \exists x \in X:\ f(x) = y \}$
+heißt *Erweiterung* von $f$ auf $\mathcal{P}(A)$.
+
+$\widehat{f^{-1}}(Y)\ :=\ \{ x\ |\ x \in A \wedge f(x) \in Y \}$
+heißt *Erweiterung* von $\underbrace{f^{-1}}_{\substack{\text{Inverse Relation}\\\text{i.A. keine Abbildung}}}$ auf $\mathcal{P}(B)$.
+
+:::
+
+$\widehat{f}:\ \mathcal{P}(A) \rightarrow \mathcal{P}(B)$ ist wie $f$ wieder eine Abbildung.
+Während $f^{-1}$ hier allgemein die inverse Relation ist und damit keine (Umkehr-)Abbildung,
+ist $\widehat{f^{-1}}:\ \mathcal{P}(B) \rightarrow \mathcal{P}(A)$ allerdings immer eine Abbildung.
+
+Häufig schreibt man statt $\widehat{f}$ auch wieder nur $f$ bzw. für $\widehat{f^{-1}}$ auch wieder $f^{-1}$.
+Eine Verwechslung ist ausgeschlossen, da die Abbildung $f$ ein Element entgegennimmt, 
+während die Erweiterung von $f$ eine Menge entgegennimmt.
+
+#### Beispiele
+Gegeben sei $f:\ \{1, 2, 3\} \rightarrow \{a, b, c, d\}$ mit $f(1) = a,\ f(2) = c,\ f(3) = a$.
+Dann sind bspw.:
+- $\widehat{f}(\emptyset) = f(\emptyset) = \emptyset$
+- $\widehat{f}(\{1, 2\}) = f(\{1, 2\}) = \{ a, c \}$
+- $f(\{3\}) = \{ a \}$
+- $f(\{1, 2, 3\}) = f(D(f)) = \{ a, b, c, d \} = W(f)$
+
+und
+
+- $\widehat{f^{-1}}(\emptyset) = f^{-1}(\emptyset) = \emptyset$
+- $\widehat{f^{-1}}(\{a\}) = f^{-1}(\{a\}) = \{ 1 \}$
+- $\widehat{f^{-1}}(\{b, d\}) = f^{-1}(\{b, d\}) = \emptyset$
+- $f^{-1}(\{a, b, c, d\}) = f^{-1}(D(f^{-1})) = \{ 1, 2, 3 \} = W(f^{-1})$
+
 ## Operationen
-tbc
+Im Kapitel [Kartesisches Produkt](kartesisches_produkt_relationen#kartesisches-produkt) wurde bereits die *kartesische Potenz* eingeführt.
+Mit den kartesischen Potenzen führen wir nun eine weitere wichtige Klasse von Abbildungen ein, die *Operationen* oder *Verknüpfungen*.
+Diese spielen in der Algebra eine wichtige Rolle.
+
+:::note Operation oder Verknüpfung
+
+$f$ heißt *innere $n$-stellige algebraische Operation* $:=\ f:\ A^n \rightarrow A$.
+
+:::
+
+Eine Operation ist also eine $A^{n+1}$-Relation.
+
+Es gibt auch *äußere* Verknüpfungen, davon gibt es aber zwei unterschiedliche Arten.
+Diese werden zu späteren Zeitpunkten sinnvoll eingeführt.
+
+$2$-stellige Relationen heißen auch *binäre Relationen*.
+Entsprechend heißen $2$-stellige Operationen auch binäre Operation.
+Bereits im Kapitel [Verband](../mengen#verband) wurden zweistellige Operationen das erste Mal genannt.
+
+#### Beispiele
+Aus dem Kapitel [Verband](../mengen#verband) wissen wir, dass $\cap$ und $\cup$ zweistellige Operationen für eine Menge $A$ sind:
+- $\cap:\ \mathcal{P}^2(A) \rightarrow \mathcal{P}(A)$
+- $\cup:\ \mathcal{P}^2(A) \rightarrow \mathcal{P}(A)$
+
+Weitere Beispiele:
+- $+:\ \mathbb{N}^2 \rightarrow \mathbb{N}$ als Addition in den natürlichen Zahlen: $+(a, b) = a+b \quad = \quad c$
+  - $+(2,3) = 2 + 3 \quad = \quad 5$
+  - $100 + 1 = 101$
+- $\hat{\ }:\ \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ als Potenz: $\hat{\ }(a,b) = a^b \quad = \quad c$
+  - $\hat{\ }(2,2) = 2^2 \quad = \quad 4$
+  - $3^4 = 81$
+- $\circ:\ \text{Abb}(A,A)^2 \rightarrow \text{Abb}(A,A)$ als Komposition: $\circ(f,g) = f \circ g = g(f(x)) \quad = \quad h$  
+  $\text{Abb}(A,A)$ ist dabei die Menge aller Abbildungen von $A$ in $A$.
+  - Mit $f(x) = x^2,\ g(x) = x+2$ ist $\circ(f,g) = f \circ g = g(f(x)) \quad = \quad g(x^2) = x^2+2
+  - Mit $f(x) = \ln(x) + \frac{\pi}{2},\ g(x) = \sin x$ ist 
+    $$
+    \begin{align*}
+       \circ(f,g) = f \circ g = g(f(x)) 
+       &= g(\ln(x) + \frac{\pi}{2})\\
+       &= \sin\left( \ln(x) + \frac{\pi}{2} \right)\\
+       &= \cos(\ln(x))
+    \end{align*}
+    $$