Add content how to operate with sets.

docs/mathematik/mengenlehre/2_mengen.md

@@ -85,10 +85,6 @@ Weitere Beispiele sind:
 - Menge der ganzzahligen Lösungen einer Gleichung: $M = \{ x\ |\ x \in \mathbb{Z} \wedge x^2 + 2 = 4x - 1 \}$
 - Menge aller ganzen Quadratzahlen: $M = \{ x\ |\ \exists y \in \mathbb{Z}:\ x = y^2 \}$
 
-[^1]: Benannt nach *Ernst __Z__ermelo* und *Abraham __F__raenkel*. 
-Das *C* steht für *choice* und steht für das *Auswahlaxiom*.
-Je nachdem, ob man das Auswahlaxiom mit zu den Axiomen hinzunimmt kürzt man mit *ZF* oder eben *ZFC* ab.
-
 :::note Extensionalitätsaxiom (ZF) / Gleichheit von Mengen
 
 Zwei Mengen sind gleich, wenn sie die gleichen Elemente besitzen:
@@ -101,4 +97,311 @@ $$
 :::
 
 ## Mengenalgebra
-*tbc*
+Auf Mengen kann verschiedene Operationen durchführen.
+Man stelle sich vor, man möchte zwei Mengen zusammenfassen zu einer oder man möchte eine Menge erzeugen, 
+die nur die Elemente enthält, die zwei Mengen gemeinsam haben.
+Diese Mengenoperationen werden im folgenden vorgestellt.
+
+### Mengenoperationen
+Charakteristisch für Mengenoperationen ist, dass sie direkt auf den logischen Operatoren basieren und das auch in ihren
+Operationssymbolen wiederspiegeln.
+Zwischen den Mengen- und den Logikoperatoren besteht also eine enge Verbindung, 
+weshalb man die Mengenlehre als Teilgebiet der *mathematischen Logik* zählen kann.
+
+Zu jeder Operation ist ein Bild.
+Dieses Bild veranschaulicht die Auswirkung der Operation.
+Mengen werden dabei als Ovale bzw. Kreise dargestellt.
+Diese Ovale können überlappen, um zu zeigen, dass sie Elemente gemeinsam haben.
+Der in lila eingefärbte Bereich ist dann die neue Menge, die entsteht, wenn man eine Mengenoperation auf den vorhanden Mengen ausführt.
+Eine solche Darstellung nennt man *Venn-Diagramm*[^2].
+
+#### Durchschnitt
+Die Menge die entsteht, wenn man nur die Elemente aus zwei gegebenen Mengen nimmt, die sie gemeinsam haben nennt man *Durchschnitt*
+oder *Schnittmenge*.
+
+:::note Durchschnitt
+
+$$
+    A \cap B := \{ x\ |\ x \in A \wedge x \in B \}
+$$
+
+gesprochen: "A geschnitten B"
+
+:::
+Zugehöriges Venn-Diagramm:
+
+![Venn Diagramm zum Mengen-Durchschnitt](/img/mathematik/mengenlehre/durchschnitt.png)
+
+##### Beispiele
+Gegeben seien $A = \{ a, b, c \}$ und $B = \{ b, c, d \}$.
+Dann ist $A \cap B = \{ b, c \}$.
+
+Gegeben seien  $A = \{ a, b, c \}$ und $B = \{ e, f, g \}$.
+Dann ist $A \cap B = \{ \} = \emptyset$ leer. 
+Das Symbol $\emptyset$ steht dabei in der Mathematik für die *leere Menge*, also eine Menge, die keine Elemente enthält.
+
+Gegeben seien $A = \{ a, b, c \}$ und $B = \{ a, b, c \}$.
+Dann ist $A \cap B = \{ a, b, c \} = A = B$.
+Die beiden Mengen $A$ und $B$ sind gleich - entsprechend auch deren Durchschnitt.
+
+Gegeben seien $A = \{ x\ |\ x \in \mathbb{N} \wedge x \text{ ist gerade} \}$ und $B = \{ 2, 8, 1001, 4088, 9999 \}$.
+Dann ist $A \cap B = \{2, 8, 4088 \}$.
+
+#### Vereinigung
+Die Menge die entsteht, wenn man die Elemente aus zwei gegebenen Mengen nimmt, und sie in einer Menge *vereinigt*
+nennt man *Vereinigung* oder *Vereinigungsmenge*.
+Elemente, die in beiden vorkommen, werden dabei nur einmal gezählt.
+
+:::note Vereinigung
+
+$$
+    A \cup B := \{ x\ |\ x \in A \vee x \in B \}
+$$
+
+gesprochen: "A vereinigt B"
+
+:::
+Zugehöriges Venn-Diagramm:
+
+![Venn Diagramm zum Mengen-Durchschnitt](/img/mathematik/mengenlehre/vereinigung.png)
+
+##### Beispiele
+Gegeben seien $A = \{ a, b, c \}$ und $B = \{ b, c, d \}$.
+Dann ist $A \cup B = \{ a, b, c, d \}$.
+
+Gegeben seien  $A = \{ a, b, c \}$ und $B = \{ e, f, g \}$.
+Dann ist $A \cup B = \{ a, b, c, e, f, g\}$.
+
+Gegeben seien $A = \{ a, b, c \}$ und $B = \{ a, b, c \}$.
+Dann ist $A \cup B = \{ a, b, c \} = A = B$.
+Die beiden Mengen $A$ und $B$ sind gleich - entsprechend auch deren Vereinigung.
+
+#### Komplement
+Das *Komplement* einer Menge besteht gerade aus den Elementen, die nicht in der Menge $A$ liegen, also alles andere außer die Menge $A$.
+
+:::note Komplement
+
+$$
+    \overline{A} = A^\complement := \{ x\ |\ \neg (x \in A) \} = \{ x\ |\ x \notin A \}
+$$
+
+gesprochen: "Komplement von A"
+
+:::
+Zugehöriges Venn-Diagramm:
+
+![Venn Diagramm zum Mengen-Durchschnitt](/img/mathematik/mengenlehre/komplement.png)
+
+##### Beispiele
+Gegeben seien $M = \{ a, b, c, d, e \}$ und $A = \{ b, c, d \}$.
+Dann ist $\overline{A} = \{ a, e \}$.
+Hier ist es wichtig, dass wir $A$ in einen Bezug zu einer anderen "Übermenge" $M$ setzen.
+So eine Menge nennt man *Universum* oder *Grundmenge*.
+Die Menge $A$ ist ein Teil des Universums $M$.
+
+Gegeben sei das Universum $A = \{ b, c, d \}$.
+Dann ist $\overline{A} = \emptyset$.
+
+#### Differenz
+Wenn man zwei Mengen hat und man möchte eine Menge bilden, die nur die Elemente enthält, die in einer Menge vorkommen, 
+aber ohne die Elemente, die auch in der anderen liegen, dann ist das die *Differenzmenge* oder *Mengendifferenz*.
+
+:::note Differenz
+
+$$
+    A \setminus B := \{ x\ |\ x \in A \wedge x \notin B \}
+
+$$
+
+gesprochen: "A ohne B"
+
+:::
+Zugehöriges Venn-Diagramm:
+
+![Venn Diagramm zum Mengen-Durchschnitt](/img/mathematik/mengenlehre/differenz.png)
+
+Für die Differenz und das Komplement gilt eine besondere Beziehung:
+Sei $M$ das Universum und $A$ Teil des Universums, dann gilt: $M \setminus A = \overline{A}$.
+
+##### Beispiele
+Gegeben seien $A = \{ a, b, c, d \}$ und $B = \{ b, c, d, e \}$.
+Dann ist $A \setminus B = \{ a \}$.
+
+Gegeben seien $A = \{ a, b, c, d \}$ und $B = \{ d, e \}$.
+Dann ist $A \setminus B = \{ a, b, c \}$.
+
+Gegeben seien $M = \{ a, b, c, d \}$ und $A = \{ b, c \}$.
+Dann ist $M \setminus A = \{ a, d \} = \overline{A}$.
+
+Die Mengenoperationen wurden anhand Mengen 1. Stufe eingeführt, wie es die Symboliken erahnen lassen.
+Jedoch gelten diese auch für Mengen höherer Stufen.
+
+### Rechenregeln für Mengenoperationen
+Für die Mengenoperationen gibt es gewisse Rechenregeln, die hier nun vorgestellt werden sollen.
+
+:::tip Rechenregeln für Mengenoperationen
+
+1. $$
+   \begin{align*}
+       \begin{aligned}
+           (A \cap B) \cap C &= A \cap (B \cap C)\\
+           (A \cup B) \cup C &= A \cup (B \cup C)
+       \end{aligned}
+       &&\text{Assoziativität}
+   \end{align*}
+$$
+2. $$
+   \begin{align*}
+      \begin{aligned}
+         A \cap B = B \cap A\\
+         A \cup B = B \cup A
+      \end{aligned}
+      &&\text{Kommutativität}
+   \end{align*}
+$$
+3. $$
+   \begin{align*}
+      \begin{aligned}
+         A \cap (A \cup B) = A\\
+         A \cup (A \cap B) = A
+      \end{aligned}
+      &&\text{Absorption}
+   \end{align*}
+$$
+4. $$
+   \begin{align*}
+      \begin{aligned}
+         A \cup (B \cap C &= (A \cup B) \cap (A \cup C)\\
+         A \cap (B \cup C &= (A \cap B) \cup (A \cap C)
+      \end{aligned}
+      &&\text{Distributivität}
+   \end{align*}
+$$
+5. $$
+   \begin{align*}
+      \begin{aligned}
+         A \cap \overline{A} &= \emptyset\\
+         A \cup \overline{A} &= U\quad \text{($U$ Universum)}
+      \end{aligned}
+      &&\text{Komplementgesetze}
+   \end{align*}
+$$
+
+:::
+
+Auch wenn einem manches davon vielleicht schon bekannt ist oder es als offensichtlich erscheint,
+so ist es keineswegs sicher, dass es im Allgemeinen gilt.
+In der Mathematik muss man auch solche Kleinigkeiten beweisen.
+Also folgt an dieser Stelle ein erster Beweis für die Assoziativität des Durchschnitts:
+
+#### Beweis
+Zu zeigen ist: $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$
+$$
+\begin{alignat*}{2}
+    \quad && &(A \cap B) \cap C\\
+    \overset{\text{Def. } \cap}{=}\quad && &\{ x\ |\ x \in A \cap B \wedge x \in C \}\\
+    \overset{\text{Def. } \cap}{=}\quad && &\{ x\ |\ (x \in A \wedge x \in B) \wedge x \in C \}\\
+    \overset{\text{Ass. } \wedge}{=}\quad && &\{ x\ |\ x \in A \wedge (x \in B \wedge x \in C) \}\\
+    \overset{\text{Def. } \cap}{=}\quad && &\{ x\ |\ x \in A \wedge x \in B \cap C \}\\
+    \overset{\text{Def. } \cap}{=}\quad && &A \cap (B \cap C) \qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare
+\end{alignat*}
+$$
+Im Beweis stützen wir uns auf unsere Definition der Durchschnitts mittels der direkten Mengenschreibweise und des definierenden Ausdrucks.
+Der definierende Ausdruck ist eine Aussagenform und kann daher mittels den Rechenregeln der logischen Operatoren manipuliert werden.
+In diesem Fall haben wir die Assoziativität der Konjunktion ("und", $\wedge$) ausgenutzt.
+Das $\blacksquare$ markiert schließlich das Ende des Beweises.
+
+Nach ähnlichem Schema können nun auch die anderen Regeln bewiesen werden.
+
+### Teilmenge
+In den Beispielen beim [Komplement](#beispiele-5) tauchte folgender Satz auf:
+> Die Menge $A$ ist ein Teil des Universums $M$.
+
+Dieses Wort "Teil" lässt sich wie folgt definieren:
+
+:::note Inklusion
+
+Seien $M, A$ Mengen.
+- $A \subseteq M := \forall x:\ x \in A \rightarrow x \in M$
+- $A \subset M := A \subseteq M \wedge A \ne M$
+
+Für $A \subseteq M$ spricht man "$A$ ist *Teilmenge* von $M$" und
+für $A \subset M$ spricht man "$A$ ist *echte Teilmenge* von $M$"
+
+:::
+Eine Teilmenge $A$ ist also mit ihren Elementen ganz und gar in ihrer *Obermenge* $M$ enthalten.
+Man bezeichnet diese Teilmengenbeziehung auch als *Inklusion*.
+
+#### Beispiele
+Gegeben seien $M = \{ a, b, c, d \}$ und $A = \{ a, b \}$.
+Dann gilt $A \subseteq M$. 
+Es gilt sogar $A \subset M$.
+
+Gegeben seien $M = \{ a, b, c, d \}$ und $A = \{ a, b, c, d \}$.
+Dann gilt $A \subseteq M$, aber nicht $A \subset M$.
+
+Gegeben seien $M = \{ a, b, c, d \}$ und $A = \{ e, f, g \}$.
+Dann gilt $A \not\subseteq M$.
+
+### Verband
+In der Mathematik untersucht man viele Strukturen.
+Strukturen sind dabei meist eine Menge mit zusätzlichen Dingen, wie Operationen.
+Die formale Definition einer ($n$-stelligen) Operation erfolgt später.
+Hier sei nur gesagt, dass $\cap$ und $\cup$ *zweistellige Operationen* sind.
+
+:::note Verband
+
+Seien $\mathfrak{M}$ Menge und $\cap, \cup$ zweistellige Operationen in $\mathfrak{M}$.
+
+Ein Tripel $(\mathfrak{M}, \cap, \cup)$ heißt
+- *Verband*, falls Assoziativität, Kommutativität und Absorption für alle $A, B, C \in \mathfrak{M}$ gelten.
+- *distributiver Verband*, falls Verband und zusätzlich Distributivität für alle $A, B, C \in \mathfrak{M}$ gelten.
+- *Boolesche Algebra*[^3], falls distributiver Verband und zusätzlich Komplementgesetze für alle $A, B, C \in \mathfrak{M}$ gelten.
+  (auch *komplementärer, distributiver Verband*)
+
+:::
+
+Die Mengenoperationen bilden eine boolesche Algebra, aber auch die logischen Ausdrücke in der Aussagenlogik können als eine aufgefasst werden.
+$\cap$ und $\cup$ stehen dort dann für $\wedge$ und $\vee$.
+
+Hier findet eine Abstraktion statt:
+Statt sich nur auf die oben eingeführten Mengenoperationen zu beschränken, wird in der Definition nur verlangt, 
+dass die genannten Rechenregeln gelten.
+Wie diese Operation aussieht ist egal.
+Es kann also auch eine völlig andere Operation gewählt werden, solange sie die Rechenregeln erfüllt ist es ein Verband.
+$\cap$ und $\cup$ stehen also lediglich für ein Symbol, das gegen ein anderes Symbol und entsprechender Bedeutung ausgetauscht werden kann.
+
+### Potenzmenge
+Eine wichtige Menge (mindestens) zweiter Stufe ist die *Potenzmenge*.
+Die *Menge aller Teilmengen*.
+
+:::note Potenzmenge
+
+Sei $M$ Menge, dann heißt $2^M = \mathcal{P}(M) = \{ A\ |\ A \subseteq M \}$ *Potenzmenge* von $M$.
+
+:::
+Die Bezeichnung $2^M$ kommt daher, da die Anzahl der Elemente in der Potenzmenge "2 hoch der Anzahl der Elemente in M" entspricht.
+Wenn also $M$ drei Elemente enthält, dann hat $\mathcal{P}(M)$ $2^3 = 8$ Elemente.
+Über die Anzahl der Elemente einer Menge wird im Abschnitt [Endlichkeit und Kardinalzahlen] weiter thematisiert.
+
+#### Beispiele
+Gegeben sei $M = \{ a, b, c \}$.
+Dann ist $\mathcal{P}(M) = \{ \emptyset, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\}, M \}$ Potenzmenge von $M$.
+Man beachte, dass insbesondere auch die leere Menge $\emptyset$ und die Menge $M$ selbst Teilmengen von $M$ sind.
+Man mache sich auch zusätzlich klar, dass $\emptyset \ne \{\emptyset\}$ ist.
+
+Gegeben sei $M = \{ \{a\}, \{b\} \}$.
+Dann ist $\mathcal{P}(M) = \{ \emptyset, \{\{a\}\}, \{\{b\}\}, \{\{a\}, \{b\}\}, M \}$ Potenzmenge von $M$.
+
+Gegeben sei $M = \{ \{a\} \}$.
+Dann ist $\mathcal{P}(M) = \{ \emptyset, M \}$ Potenzmenge von $M$. 
+Außerdem ist $\mathcal{P}(\mathcal{P}(M)) = \{ \emptyset, \{\emptyset\}, M, \mathcal{P}(M) \}$ Potenzmenge von $\mathcal{P}(M)$.
+
+Die Potenzmenge mit den üblichen Mengenoperationen $\cap$ und $\cup$ ist eine boolesche Algebra.
+
+[^1]: Benannt nach *Ernst __Z__ermelo* und *Abraham __F__raenkel*.
+    Das *C* steht für *choice* und steht für das *Auswahlaxiom*.
+    Je nachdem, ob man das Auswahlaxiom mit zu den Axiomen hinzunimmt kürzt man mit *ZF* oder eben *ZFC* ab.
+[^2]: Benannt nach *John __Venn__*.
+[^3]: Benannt nach *George __Boole__*. 
+    Einer der Begründer der mathematischen Logik

static/img/mathematik/mengenlehre/mengenoperationen.tex

@@ -0,0 +1,36 @@
+\documentclass[convert]{standalone}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{tikz}
+
+\definecolor{draculaPurple}{RGB}{189,147,249}
+\definecolor{draculaCyan}{RGB}{139,233,253}
+\definecolor{draculaForeground}{RGB}{248,248,248}
+
+\def\firstcircle{(0,0) circle (1)}
+\def\secondcircle{(1,0) circle (1)}
+
+\tikzset{reverseclip/.style={overlay,insert path={(-16383.99999pt,-16383.99999pt) rectangle (16383.99999pt,16383.99999pt)}}}
+
+\begin{document}
+	\begin{tikzpicture}[fill=draculaCyan, text=draculaForeground, draw=draculaForeground]
+		\fill[opacity=0.7] \firstcircle;
+%		\fill[opacity=0.7] \secondcircle;
+		
+		\begin{scope}
+			\clip[reverseclip] \secondcircle;
+			\fill[draculaPurple] \firstcircle;
+		\end{scope}
+	
+		\begin{scope}
+			\clip[reverseclip] \firstcircle;
+			\fill[opacity=0.7] \secondcircle;
+%			\fill[draculaPurple] \secondcircle;
+		\end{scope}
+	
+		\draw \firstcircle node [left] {$A$};
+		\draw \secondcircle node [right] {$B$};
+	\end{tikzpicture}
+\end{document}