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docs/mathematik/mengenlehre/1_logik.md

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-title: Elemente der Logik
+title: Logik
 tags: [mathematik, mengenlehre, logik]
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-WIP
+# Logik
+Die Mathematik ist wie eine eigene Sprache.
+Wer sich mathematische Texte angeschaut hat, der wird sich vielleicht gewundert haben, was das alles für Symbole sind.
+Die Symbole der Mengenlehre und auch der Logik werden dazu verwendet, um mathematische Sätze, Definitionen und Beweise kurz zu formulieren.
+Doch nur Symbole an sich haben erst einmal wenig Bedeutung.
+Erst durch die Regeln der Logik selbst, haben die Symbole eine Bedeutung.
+Die Symbole und Schreibweisen selbst nennt man *Syntax*.
+Syntax regelt das gültige Zusammensetzen von Zeichen.
+Die *Semantik* wiederum gibt nun den syntaktisch korrekten Formeln eine Bedeutung, also wie sie zu interpretieren sind.
+Die Syntax und die Semantik hängen in der Logik durchaus eng zusammen, da sie nach ähnlichen Regeln definiert sind, doch sollte man diese nicht verwechseln.
+
+## Aussagenlogik (PL 0)
+Die *Aussagenlogik* oder auch *Prädikatenlogik 0. Stufe* (*PL0*) beschäftigt sich mit *Aussagen*.
+
+:::note Aussagen
+
+*Aussagen* sind Sachverhalte in sprachlicher Form, die in der objektiven Realität vorliegen oder denkbar sind.
+
+:::
+
+Diese Definition wirkt etwas sperrig.
+Eine andere Definition wäre:
+
+:::note Aussagen
+
+Eine *Aussage* ist ein sprachliches Gebilde, dem eindeutig ein
+*Wahrheitswert* (*wahr* oder *falsch*) zugeordnet werden kann.
+
+:::
+
+Diese Definition verknüpft allerdings schon ein bisschen die Syntax (sprachliches Gebilde) mit Semantik (Wahrheitswert).
+Sowohl die Syntax, als auch die Semantik werden nachfolgend gesondert eingeführt.
+Nur wenden wir uns dann nicht mehr dem Begriff Aussage selbst zu, sondern nutzen Variablen.
+
+#### Beispiele
+Folgendes sind Beispiele für Aussagen:
+- "Berlin ist die Hauptstadt von Deutschland"
+- "Kein Auto ist Minzgrün"
+- $3 + 4 = 0$
+- $3 - 7 > -5$
+
+Jede dieser Aussagen ist ein sprachliches Gebilde.
+Die ersten Beiden sind deutsche Sätze. 
+Deutsch ist eine *natürliche Sprache*.
+Die anderen Beiden nutzen eine *formale Sprache*. 
+Solche Formeln und andere Schreibweisen mit Symbolen können eine formale Sprache bilden.
+Formale Sprachen werden im Teil [Informatik](/docs/informatik) näher behandelt.
+
+### Syntax
+Aussagenlogische *Formeln* beinhalten verschiedene Symbole und werden rekursiv definiert:
+
+:::note Aussagenlogische Formeln
+
+Sei $O = \{ \neg, \wedge, \vee, \rightarrow, \leftrightarrow, (, ) \}$ die Menge der *logischen Operatoren*
+und $\Sigma$ eine Menge von Symbolen, die *Aussagevariablen* genannt werden.
+Neben den Aussagenvariablen existieren noch die "Grundaussagen-Symbole" $\{ w, f \}$.
+Um Verwechslungen zu vermeiden sollen alle drei Mengen keine gemeinsamen Elemente enthalten.
+
+Formeln sind nun rekursiv definiert:
+- $w$ und $f$ sind (atomare) Formeln
+- Alle Aussagenvariablen aus $\Sigma$ sind (atomare) Formeln
+- Sind $A$ und $B$ Formeln, dann sind auch $\neg A,\ (A),\ A \wedge B,\ A \vee B,\ A \rightarrow B,\ A \leftrightarrow B$ Formeln.
+
+:::
+
+Das letzte ist der oben erwähnte rekursive Teil der Definition.
+Jede gültige Zusammensetzung der Symbole nach diesen Regeln ist wieder eine Formel.
+Es erscheinen also keine Operatoren, außer die Klammern, nebeneinander, sondern es liegen am Ende immer eine Aussagenvariable oder ein "Grundaussagen-Symbol" dazwischen.
+
+Durch das Ersetzen der Aussagenvariablen durch konkrete Aussagen, erhält man eine konkrete (zusammengesetzte) Aussage.
+Es sind auch andere Symbole in Verwendung, je nach Person oder je nach Wissenschaft oder Fachgebiet.
+
+Die Operatoren haben einen Namen und eine Sprechweise:
+
+:::note Name und Sprechweise der Operatoren
+
+$$
+\begin{align*}
+    w &: \text{"wahr"}\\
+    f &: \text{"falsch"}\\
+    \neg A &: \text{"nicht A" (Negation)}\\
+    A \wedge B &: \text{"A und B" (Konjunktion)}\\
+    A \vee B &: \text{"A oder B" (Disjunktion)}\\
+    A \rightarrow B &: \text{"wenn A, dann B" ((materiale) Implikation)}\\
+    A \leftrightarrow B &: \text{"A genau dann, wenn B" (Äquivalenz)}
+\end{align*}
+$$
+
+:::
+
+Bisher war es nur Syntax, d.h. rein syntaktische Gebilde ohne Bedeutung.
+Einfach eine korrekte Aneinanderreihung von Symbolen.
+Auch $w$ und $f$ sind erstmal nur Symbole, die allerdings wenig überraschend mit der den Worten entsprechenden Semantik belegt werden.
+
+### Semantik
+In der Aussagenlogik gilt das *Zweiwertigkeitsprinzip*:
+
+:::note Zweiwertigkeitsprinzip
+
+Alle Aussagen sind entweder *wahr* ($w$ oder $1$) oder *falsch* ($f$ oder $0$)
+
+> Tertium non datur (dt.: Ein Drittes gibt es nicht)
+> 
+> — Satz vom ausgeschlossenem Dritten
+
+:::
+
+Nehmen wir eine Formel $A \vee B$ und möchten diese untersuchen, ob sie wahr oder falsch ist, so können wir dies nicht ohne weiteres tun.
+Ersetzen wir die Aussagenvariablen $A$ und $B$ durch konkrete Aussagen, so können wir immerhin diesen Aussagen einen Wahrheitswert zuordnen.
+Aber nach welchen Regeln soll das $\wedge$, also das *und*, behandelt werden?
+
+Dafür müssen wir diesen syntaktischen Symbolen nun eine Bedeutung mittels einer Wahrheitstabelle eine Semantik geben.
+
+:::note Semantik der Operatoren
+
+$$
+\begin{array}{c|c||c|c|c|c|c|c}
+    A & B & \neg A & A \wedge B & A \vee B & A \rightarrow B & A \leftrightarrow B\\
+    \hline\hline
+    f & f & w & f & f & w & w\\
+    f & w & w & f & w & w & f\\
+    w & f & f & f & w & f & f\\
+    w & w & f & w & w & w & w
+\end{array}
+$$
+
+:::
+
+Um Klammern zu sparen, vereinbaren wir eine Priorität von Operatoren, ähnlich wie "Punkt vor Strich".
+Die Priorität der Operatoren in absteigender Reihenfolge: $\neg, \wedge, \vee, \rightarrow, \leftrightarrow$.
+
+Eine Zeile dieser Wahrheitstabelle nennt man auch *Interpretation* oder *Belegung*.
+
+#### Beispiele
+Wählen wir folgende Aussagen $A = "3 < 5"$ und $B = "3 + 2 = 1"$.
+$A$ ist eine wahre Aussage, während $B$ eine falsche Aussage ist.
+Wir bilden nun die neue Aussage $A \wedge B$. 
+Ist die neue Aussage wahr oder falsch?
+Dazu schauen wir in die Wahrheitstafel bei der Interpretation $w, f$ und sehen, dass $f$ gilt - also ist $A \wedge B$ eine falsche Aussage.
+
+#### Weitere Anmerkungen
+Bei $\vee$ (gesprochen *oder*) ist anzumerken, dass es sich um ein *Inklusiv-Oder* handelt, d.h. die Gesamtaussage ist genau dann wahr,
+wenn mindestens eine Teilaussage wahr ist.
+Das Inklusiv-Oder ist wie ein "Milch *oder* Zucker" beim Kaffee zu verstehen - man kann auch beides nehmen.
+Im Gegensatz dazu steht das *Exklusiv-Oder* (*Antivalenz* genannt, $\not\leftrightarrow$ geschrieben, 
+"entweder $A$ oder $B$" gesprochen), das nur dann wahr wird, wenn genau eine der beiden Teilaussagen wahr ist. 
+Die Antivalenz ist auch ein wichtiger Operator, der hier aber nicht näher eingeführt wird.
+
+Die Implikation bereitet vielen am Anfang Bauchschmerzen, da sie dem umgangssprachlichen "wenn ..., dann ..." auf den ersten Blick nicht vollkommen entspricht.
+Hierfür findet man im Web viele weitere Erklärungen und Beispiele, die vielleicht Abhilfe schaffen können.
+
+*tbc*
+
+## Prädikatenlogik (PL 1)
+*tbc*