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docs/mathematik/mengenlehre/2_mengen.md

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-WIP
+Bereits in der [Einführung zur Mengenlehre](./#über-die-mengenlehre) wurde angemerkt, 
+dass die heute verwendete Mengenlehre nicht mehr die naive Mengenlehre nach Cantor ist,
+sondern eine axiomatisierte Mengenlehre, die man *Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre* (kurz *ZF* oder auch *ZFC*)[^1] nennt, ist.
+Diese Mengenlehre "enthält" die naive Mengenlehre und merzt die gezeigten Widersprüche aus.
+Diese Axiomatisierung wird hier allerdings nicht direkt vorgestellt oder explizit genannt.
+Stattdessen werden manche Axiome beiläufig eingeführt.
+Es können auch Axiome vorkommen, die in anderen Axiomatisierungen der Mengenlehre auftreten.
+
+## Mengenbildung
+*Bertrand Russell* entwickelte die *Typentheorie*, nach der man die Mengenlehre auch stufenweise aufbauen kann.
+Hierbei gibt es eine kleinste Stufe, deren Elemente man *Urelemente* oder *Urmengen* nennt.
+
+:::note Stufenaufbau nach Russell
+
+$$
+    \begin{array}{c|c||c}
+        \text{formale Benennung} & \text{häufige Benennung} & \\
+        \hline\hline
+        X^0, Y^0, \dots & a, b, c, \dots & \text{Mengen 0. Stufe (Urelemente / Urmengen)}\\
+        X^1, Y^1, \dots & A, B, C, \dots & \text{Mengen 1. Stufe}\\
+        X^2, Y^2, \dots & \mathfrak{A}, \mathfrak{B}, \mathfrak{C}, \dots & \text{Mengen 2. Stufe}\\
+        \vdots & & \vdots\\
+        M^n & & \text{Menge n-ter Stufe}
+    \end{array}
+$$
+
+:::
+
+#### Beispiele
+Dabei sind die Elemente der jeweiligen Stufe stets Elemente der vorigen Stufe.
+
+Eine Menge von Urelementen ist also eine Menge erster Stufe: $M^1 = \{ X^0, Y^0 \} = \{ a, b \} = A$.
+
+Eine Menge zweiter Stufe ist also eine *Menge von Mengen*: $M^2 = \{ X^1, Y^1 \} = \{\{ a, b, c \}, \{ x, y \}\} = \{ A, B \} = \mathfrak{A}$.
+*Mengen von Mengen* oder ein *System von Mengen* nennt man auch häufig ein *Mengensystem*.
+Mengensysteme spielen u.a. in der Maßtheorie eine wichtige Rolle, in der auch das Benennungsschema wiederzuerkennen ist.
+
+Folgendes Axiom bildet eine Brücke zur Logik:
+
+:::tip Mengenbildungsaxiom
+
+Sei $H(M^n)$ Aussage über Mengen $n$-ter Stufe.
+$$
+    \begin{equation*}
+        \exists M^{n+1}\ \forall M^n:\ M^n \in M^{n+1} \leftrightarrow H(M^n),
+    \end{equation*}
+$$
+wobei $M^{n+1}$ nicht in $H(M^n)$ vorkommt.
+
+:::
+Das Mengenbildungsaxiom sagt aus, dass es eine Menge $M^{n+1}$ gibt, die aus den Elementen $M^n$ besteht, die eine gewisse Aussage erfüllen. 
+
+#### Beispiele
+Sei $n = 0$, dann können wir die Aussage im Satz mit den üblichen Benennungen wie folgt schreiben:
+$$
+    \begin{equation*}
+        \exists A\ \forall x:\ x \in M \leftrightarrow H(x).
+    \end{equation*}
+$$
+"$M^{n+1}$ kommt nicht in $H(M^n)$ vor" bedeutet, dass in $H(M^n)$ nirgends das Symbol $M^{n+1}$ auftauchen darf.
+Deswegen ist $\exists A\ \forall x:\ x \in M \leftrightarrow x \notin M$, also ein Widerspruch, ausgeschlossen.
+Denn in $H(x) = \text{"}x \notin M\text{"}$ taucht ja $M$ auf und das ist nicht erlaubt
+
+Sei $n = 0$ und $H(x) = \text{"} x \text{ ist eine gerade natürliche Zahl"}$.
+Alle Elemente $x$, die nun $H$ erfüllen liegen in einer Menge $A$:
+$A = \{2, 4, 6, \dots\}$
+
+So eine Aussagenform $H(x)$ nennt man auch *definierenden Ausdruck*. 
+Man schreibt Mengen mit definierenden Ausdrücken häufig so:
+$M = \{ x\ |\ H(x) \}$.
+
+#### Beispiele
+Das obige Beispiel mit den geraden natürlichen Zahlen schreibt man also so:
+$M = \{ x\ |\ x \in \mathbb{N} \wedge x \text{ gerade} \}$
+
+Weitere Beispiele sind:
+- Menge aller deutschen Bundesländer: $M = \{ x\ |\ x \text{ ist deutsches Bundesland} \}$
+- Menge aller reellen Zahlen von 0 bis 2: $M = \{ x\ |\ x \in \mathbb{R} \wedge 0 \le x \le 2 \}$
+- Menge der ganzzahligen Lösungen einer Gleichung: $M = \{ x\ |\ x \in \mathbb{Z} \wedge x^2 + 2 = 4x - 1 \}$
+- Menge aller ganzen Quadratzahlen: $M = \{ x\ |\ \exists y \in \mathbb{Z}:\ x = y^2 \}$
+
+[^1]: Benannt nach *Ernst __Z__ermelo* und *Abraham __F__raenkel*. 
+Das *C* steht für *choice* und steht für das *Auswahlaxiom*.
+Je nachdem, ob man das Auswahlaxiom mit zu den Axiomen hinzunimmt kürzt man mit *ZF* oder eben *ZFC* ab.
+
+:::note Extensionalitätsaxiom (ZF) / Gleichheit von Mengen
+
+Zwei Mengen sind gleich, wenn sie die gleichen Elemente besitzen:
+$$
+    \begin{equation*}
+        A = B\ :=\ \forall x:\ x \in A \leftrightarrow x \in B 
+    \end{equation*}
+$$
+
+:::
+
+## Mengenalgebra
+*tbc*