docs/mathematik/mengenlehre/2_mengen.mdx

@@ -90,7 +90,7 @@ Weitere Beispiele sind:
 Zwei Mengen sind gleich, wenn sie die gleichen Elemente besitzen:
 $$
     \begin{equation*}
-        A = B \coloneqq \forall x \colon x \in A \leftrightarrow x \in B
+        A = B\ \coloneqq\ \forall x \colon x \in A \leftrightarrow x \in B
     \end{equation*}
 $$
 

docs/mathematik/mengenlehre/relationen/1_kartesisches_produkt_relationen.mdx

@@ -14,7 +14,7 @@ möchte Mengen miteinander in eine gewisse Verbindung bringen, ohne sie einfach
 
 Ein *geordnetes Paar* (*2-Tupel*) mit den Elementen $a$ und $b$ ist wie folgt als Menge definiert:
 $$
-    (a, b) \coloneqq \{ \overbrace{\{a, b\}}^{\text{Elemente des Tupels}}, \underbrace{\{a\}}_{\text{Erstes Element}} \}
+    (a, b)\ \coloneqq\ \{ \overbrace{\{a, b\}}^{\text{Elemente des Tupels}}, \underbrace{\{a\}}_{\text{Erstes Element}} \}
 $$ 
 
 :::
@@ -58,7 +58,7 @@ Die Menge aller Tupel von Mengen nennt man *kartesisches Produkt*:
 
 Seien $A$ und $B$ Mengen, dann ist das *kartesische Produkt* der Mengen $A$ und $B$ definiert als
 $$
-    A \times B \coloneqq \{ (a,b)\ |\ a \in A \wedge b \in B \}
+    A \times B\ \coloneqq\ \{ (a,b)\ |\ a \in A \wedge b \in B \}
 $$
 
 Mit 
@@ -117,12 +117,12 @@ Es ist sinnvoll Mengen zu definieren, die nur die Elemente ersten oder die zweit
 
 - *Definitionsbereich* von $R$: 
    $$
-      D(R) \coloneqq \{ x\ |\ x \in A \wedge \exists y \in B \colon (x,y) \in R \}
+      D(R)\ \coloneqq\ \{ x\ |\ x \in A \wedge \exists y \in B \colon (x,y) \in R \}
    $$
    Der Definitionsbereich von $R$ umfasst also alle Elemente $x$ aus $A$, für die es ein $y$ aus $B$ gibt.
 - *Wertebereich* oder *Bild* von $R$:
    $$
-      W(R) \coloneqq \{ y\ |\ y \in B \wedge \exists x \in A \colon (x,y) \in R \}
+      W(R)\ \coloneqq\ \{ y\ |\ y \in B \wedge \exists x \in A \colon (x,y) \in R \}
    $$
    Der Wertebereich oder das Bild von $R$ umfasst also alle Elemente $y$ aus $B$, für die es ein $x$ aus $A$ gibt.
 
@@ -172,7 +172,7 @@ und möchte dies formal ausdrücken bzw. aufschreiben, ohne dabei immer die Tupe
 
 Sei $R$ Relation.
 $$
-   R(x) \coloneqq \{ y\ |\ y \in B \wedge (x,y) \in R \}
+   R(x)\ \coloneqq\ \{ y\ |\ y \in B \wedge (x,y) \in R \}
 $$
 
 :::
@@ -201,7 +201,7 @@ Relationsbezeichnung in die Mitte:
 
 Sei $R$ Relation.
 $$
-    x R y \coloneqq (x,y) \in R
+    x R y\ \coloneqq\ (x,y) \in R
 $$
 
 :::
@@ -227,7 +227,7 @@ Man kann auch zwei Relationen kombinieren, sofern diese *in* und *aus* den gleic
 Seien $R \subseteq A \times B$ und $K \subseteq B \times C$ Relationen.
 Dann ist die Verkettung von $R$ mit $K$ definiert als:
 $$
-   R \circ K \coloneqq \{ (x,z)\ |\ \exists y \in B \colon (x,y) \in R \wedge (y,z) \in K \}
+   R \circ K\ \coloneqq\ \{ (x,z)\ |\ \exists y \in B \colon (x,y) \in R \wedge (y,z) \in K \}
 $$
 Also ist $R \circ K \subseteq A \times C$.
 
@@ -260,7 +260,7 @@ Das heißt, wenn $x$ mit $y$ in Relation steht, also $(x,y) \in R$, dann ist das
 
 Gegeben sei $R \subseteq A \times B$
 $$
-    R^{-1} \coloneqq \{(y,x)\ |\ (x,y) \in R \} \subset B \times A
+    R^{-1}\ \coloneqq\ \{(y,x)\ |\ (x,y) \in R \} \subset B \times A
 $$
 ist die *inverse Relation* zu $R$.
 

docs/mathematik/mengenlehre/relationen/2_abbildungen.mdx

@@ -32,7 +32,7 @@ Bei der Eindeutigkeit ist es egal, wie viele Pfeile rechts auf ein Element zugeh
 
 :::note Abbildung / Funktion
 
-$f$ ist *Abbildung* oder *Funktion* von $A$ in $B$ $:\Leftrightarrow$
+$f$ ist *Abbildung* oder *Funktion* von $A$ in $B$ $\coloneqq$
 - $f$ ist Relation, also $f \subseteq A \times B$
 - $D(f) = A$, also $f$ ist Relation *__von__ $A$ in $B$*
 - $f$ ist eindeutig
@@ -75,7 +75,7 @@ dann schreibt man Abbildungen so:
 $$
     f \colon A \rightarrow B,\ x \mapsto f(x)
     \qquad\qquad\text{oder}\qquad\qquad
-    f \colon \begin{cases}
+    f: \begin{cases}
         A \rightarrow B\\
         x \mapsto f(x)
     \end{cases}
@@ -86,7 +86,7 @@ wobei anstelle $f(x)$ dann z.B. eine *Funktionsgleichung* tritt.
 
 #### Beispiele
 - $f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},\ x \mapsto x^2 \quad$ für eine Parabel
-- $f \colon \begin{cases}
+- $f: \begin{cases}
      \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}\\
      x \mapsto \sqrt{x}
   \end{cases} \quad$ für Wurzeln von natürlichen Zahlen
@@ -95,7 +95,7 @@ Es werden noch mehr unterschiedliche Darstellungsformen für Funktionen auftauch
 Bis dahin sollten einem die Begriffe allerdings so vertraut vorkommen, dass eine genaue Definition oder Einführung nicht notwendig ist.
 
 ## Grundlegende Eigenschaften von Funktionen
-Die *Verkettung*, oder auch *Komposition*, $f \circ g \colon A \rightarrow C$ von Funktionen $f \colon A \rightarrow B$ und $g \colon B \rightarrow C$ ist wieder eine Funktion.
+Die *Verkettung*, oder auch *Komposition*, $f \circ g: A \rightarrow C$ von Funktionen $f \colon A \rightarrow B$ und $g \colon B \rightarrow C$ ist wieder eine Funktion.
 Für die Komposition gilt $f \circ g = g(f(x))$.
 In anderer Literatur kann es sein, dass die Komposition anders definiert ist und dann $f \circ g = f(g(x))$ gilt.
 
@@ -135,10 +135,10 @@ Welche Rolle bijektive Abbildungen bei der *Kardinalität* ("Größe") von Menge
 #### Beispiele
 Gegeben sei $f \colon \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N},\ n \mapsto f(n)$.
 Betrachten verschiedene Funktionsgleichungen für $f(n)$:
-- $f(n) \coloneqq n+1 \quad$ (*Nachfolgerfunktion*) ist injektiv, aber nicht surjektiv, da $0 \notin W(f)$
+- $f(n)\ \coloneqq\ n+1 \quad$ (*Nachfolgerfunktion*) ist injektiv, aber nicht surjektiv, da $0 \notin W(f)$
 - $f(n)\ \coloneqq \begin{cases} \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor & n \text{ gerade}\\ 0 & n \text{ ungerade} \end{cases} \quad$ ist surjektiv,
   aber nicht injektiv, da z.B. $f(1) = f(3) = 0$
-- $f(n) \coloneqq n \quad$ (*identische Abbildung*) ist injektiv, surjektiv und damit auch bijektiv
+- $f(n)\ \coloneqq\ n \quad$ (*identische Abbildung*) ist injektiv, surjektiv und damit auch bijektiv
 
 Gegeben sei $f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},\ x \mapsto x^2$, also eine Parabelfunktion.
 $f$ ist weder injektiv, noch surjektiv.
@@ -196,10 +196,10 @@ Formal lässt sich das so auffassen:
 
 Gegeben seien eine Abbildung $f \colon A \rightarrow B$ und die Teilmengen $X \subseteq A$ und $Y \subseteq B$.
 
-$\widehat{f}(X) \coloneqq \{ y\ |\ y \in B \wedge \exists x \in X \colon f(x) = y \}$
+$\widehat{f}(X)\ \coloneqq\ \{ y\ |\ y \in B \wedge \exists x \in X \colon f(x) = y \}$
 heißt *Erweiterung* von $f$ auf $\mathcal{P}(A)$.
 
-$\widehat{f^{-1}}(Y) \coloneqq \{ x\ |\ x \in A \wedge f(x) \in Y \}$
+$\widehat{f^{-1}}(Y)\ \coloneqq\ \{ x\ |\ x \in A \wedge f(x) \in Y \}$
 heißt *Erweiterung* von $\underbrace{f^{-1}}_{\substack{\text{Inverse Relation}\\\text{i.A. keine Abbildung}}}$ auf $\mathcal{P}(B)$.
 
 :::

docs/mathematik/mengenlehre/relationen/3_aequivalenzrelationen.mdx

@@ -4,44 +4,4 @@ tags: [mathematik, mengenlehre, relation, äquivalenzrelation, äquivalenz]
 sidebar_position: 4
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-Eine weitere wichtige Art der Relationen sind die *Äquivalenzrelationen*.
+WIP
-Die Äquivalenzrelationen und die mit diesen eng zusammenhängenden *Äquivalenzklassen* sind für viele weiterführende Begriffe der Mathematik essentiell.
-
-# Äquivalenzrelationen
-Bevor wir die Äquivalenzrelationen formal einführen, widmen wir uns erst nochmal ein paar wichtige Einordnungen Relationen betreffend.
-
-:::note Reflexivität / Symmetrie / Transitivität
-
-Sei $M$ eine Menge und $\varrho \subseteq M \times M$ eine Relation.
-- $\varrho$ heißt *reflexiv* $:\Leftrightarrow \forall x \in M \colon (x,x) \in \varrho$
-- $\varrho$ heißt *symmetrisch* $:\Leftrightarrow \forall x,y \in M \colon (x,y) \in \varrho \rightarrow (y,x) \in \varrho$
-- $\varrho$ heißt *transitiv* $:\Leftrightarrow \forall x,y,z \in M \colon (x,y) \in \varrho \wedge (y,z) \in \varrho \rightarrow (x,z) \in \varrho$
-
-:::
-
-#### Beispiele
-Gegeben sei die Menge $M = \{a,b,c\}$.
-- $\varrho = \{(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (a,c)\}$ ist reflexiv,
-    da die Paare $(a,a)$, $(b,b)$ und $(c,c)$ in $\varrho$ sind.\
-    $\varrho = \{(a,a), (c,c), (a,b)\}$ dagegen ist nicht reflexiv, da $(b,b)$ fehlt.
-
-- $\varrho = \{(a,a), (a,b), (b,a), (b,c), (c,b)\}$ ist symmetrisch,
-    da zu jedem Paar $(x,y)$ auch das Inverse Paar $(y,x)$ vorkommt.\
-    $\varrho = \{(a,a), (a,c), (b,a)\}$ dagegen ist nicht symmetrisch, da sowohl $(c,a)$ und $(a,b)$ fehlt.
-
-- $\varrho = \{(a,b), (b,c), (a,c)\}$ ist transitiv,
-    da $(a,c)$ vorhanden ist, nachdem schon $(a,b)$ und $(b,c)$ in $\varrho$ sind.\
-    $\varrho = \{(a,b), (b,a), (b,c)\}$ dagegen ist nicht transitiv, da sowohl $(a,a)$ fehlt.
-
-Eine Relation, die nun all diese drei Eigenschaften zugleich erfüllt nennt sich *Äquivalenzrelation*.
-
-:::note Äquivalenzrelation
-
-Sei $M$ eine Menge und $\varrho \subseteq M \times M$ eine Relation.
-$\varrho$ heißt *Äquivalenzrelation*, falls $\varrho$ reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
-
-:::
-
-#### Beispiele
-Die wohl bekannteste Äquivalenzrelation auf jeder Menge $M$ ist die Gleichheit $=$ mit ihren üblichen Eigenschaften.
-Äquivalenz in der Logik ist ebenfalls eine Äquivalenzrelation.