Replaced := with \coloneqq and : with \colon in math
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f1c1dfa968
@ -476,12 +476,12 @@ Aussagenformen wurden bereits in der [Aussagenlogik](#syntax)) oben eingeführt,
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Das Zusammensetzen von Aussagen(-formen) mit den entsprechenden Junktoren ist analog zur Aussagenlogik.
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#### Beispiele
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Sei $G = \mathbb{N}$ Grundbereich und $A(n) := ``n + 1 = 3''$ Aussagenform.
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Sei $G = \mathbb{N}$ Grundbereich und $A(n) \coloneqq ``n + 1 = 3''$ Aussagenform.
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Durch Ersetzen der Variable $n$ durch ein Objekt aus $G$, hier also einer natürlichen Zahl, wird $A(x)$ zu einer Aussage:
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- Für $n = 1$ ist $A(1) := ``1 + 1 = 3''$ eine falsche Aussage.
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- Für $n = 2$ ist $A(2) := ``2 + 1 = 3''$ eine wahre Aussage.
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- Für $n = 1$ ist $A(1) \coloneqq ``1 + 1 = 3''$ eine falsche Aussage.
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- Für $n = 2$ ist $A(2) \coloneqq ``2 + 1 = 3''$ eine wahre Aussage.
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Sei $G$ die Menge aller Lebewesen und $Mensch(x) := ``x \text{ ist ein Mensch}''$ eine Aussagenform.
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Sei $G$ die Menge aller Lebewesen und $Mensch(x) \coloneqq ``x \text{ ist ein Mensch}''$ eine Aussagenform.
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In der Prädikatenlogik nennt man solche Aussagenformen ein *Prädikat*.
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$Mensch(AngelaMerkel)$, sprich "Angela Merkel ist ein Mensch", ist eine wahre Aussage,
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während $Mensch(Grumpy Cat)$, sprich "Grumpy Cat ist ein Mensch" eine falsche Aussage ist.
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@ -507,12 +507,12 @@ Eine Aussagenform wurde erst zu einer Aussage, wenn wir die Variablen durch ein
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Durch ein Quantor ist eine Aussagenform direkt eine Aussage:
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#### Beispiele
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Sei $G = \mathbb{N}$ Grundbereich und $H(x) := ``x + 1 = 3''$ Aussagenform.
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Sei $G = \mathbb{N}$ Grundbereich und $H(x) \coloneqq ``x + 1 = 3''$ Aussagenform.
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Durch Quantifizierung entstehen folgende Aussagen:
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- $\forall x (x + 1 = 3)$ - "Für alle $x$ aus $G$ gilt $x + 1 = 3$" ist eine falsche Aussage.
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- $\exists x (x + 1 = 3)$ - "Es existiert ein $x$ aus $G$ mit $x + 1 = 3$" ist eine wahre Aussage.
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Sei $G = \mathbb{N}$ und $H(x) := ``2x \ge x''$.
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Sei $G = \mathbb{N}$ und $H(x) \coloneqq ``2x \ge x''$.
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Durch Quantifizierung entstehen folgende Aussagen:
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- $\forall x (2x \ge x)$ - "Für alle $x$ aus $G$ gilt $2x \ge x$" ist eine wahre Aussage.
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- $\exists x (2x \ge x)$ - "Es existiert ein $x$ aus $G$ mit $2x \ge x$" ist eine wahre Aussage.
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@ -522,13 +522,13 @@ Im Beispiel sieht man, dass mehrere $x$ die letzte Aussage erfüllen.
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Möchte man dagegen deutlich machen, dass **genau** ein $x$ existiert, dann schreibt man das $\exists ! x (H(x))$.
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Damit wäre $\exists ! x (2x \ge x)$ eine falsche Aussage, da jedes $x$ das oben definierte $H(x)$ erfüllt.
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Sei $G = \mathbb{Z}$ und $H(x) := ``2x \ge x''$.
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Sei $G = \mathbb{Z}$ und $H(x) \coloneqq ``2x \ge x''$.
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$\forall x (2x \ge x)$ ist nun eine falsche Aussage, da sich der Grundbereich geändert hat.
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Dagegen ist $\forall x (x \in \mathbb{N} \rightarrow 2x \ge x)$ wieder wahr.
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Statt dieser Schreibweise findet man häufig folgende unexakte Schreibweisen für solche Aussagen:
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$$
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\begin{equation*}
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\forall x \in \mathbb{N}:\ 2x \ge x
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\forall x \in \mathbb{N} \colon 2x \ge x
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\end{equation*}
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$$
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@ -537,12 +537,12 @@ diese durch eine konkrete Aussage ersetzt wurden.
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Folgende Beispiele sind nur Aussagenformen, da nicht alle Variablen gebunden vorkommen.
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Sei $G = \mathbb{Z}$.
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- $x + y = 0$
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- $\forall x:\ x + y = 0$
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- $\forall x \colon x + y = 0$
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Dagegen sind sie quantifiziert oder ersetzt bspw. folgende Aussagen:
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- $\forall x:\ x + 1 = 0$ ist falsch.
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- $\forall x\ \exists y:\ x + y = 0$ ist wahr.
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- $\exists y\ \forall x:\ x + y = 0$ ist falsch.
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- $\forall x \colon x + 1 = 0$ ist falsch.
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- $\forall x\ \exists y \colon x + y = 0$ ist wahr.
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- $\exists y\ \forall x \colon x + y = 0$ ist falsch.
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Am letzten Beispiel erkennt man, dass die Reihenfolge der Quantoren eine wichtige Rolle spielt:
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Die Aussage "Für alle $x$ gibt es ein $y$ \[...\]" ist eine grundlegend andere Aussage als "Es gibt ein y für alle x \[...\]".
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@ -48,7 +48,7 @@ Folgendes Axiom bildet eine Brücke zur Logik:
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Sei $H(M^n)$ Aussage über Mengen $n$-ter Stufe.
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$$
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\begin{equation*}
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\exists M^{n+1}\ \forall M^n:\ M^n \in M^{n+1} \leftrightarrow H(M^n),
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||||
\exists M^{n+1}\ \forall M^n \colon M^n \in M^{n+1} \leftrightarrow H(M^n),
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\end{equation*}
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$$
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wobei $M^{n+1}$ nicht in $H(M^n)$ vorkommt.
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@ -60,11 +60,11 @@ Das Mengenbildungsaxiom sagt aus, dass es eine Menge $M^{n+1}$ gibt, die aus den
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Sei $n = 0$, dann können wir die Aussage im Satz mit den üblichen Benennungen wie folgt schreiben:
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$$
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\begin{equation*}
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\exists A\ \forall x:\ x \in M \leftrightarrow H(x).
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\exists A\ \forall x \colon x \in M \leftrightarrow H(x).
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||||
\end{equation*}
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$$
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"$M^{n+1}$ kommt nicht in $H(M^n)$ vor" bedeutet, dass in $H(M^n)$ nirgends das Symbol $M^{n+1}$ auftauchen darf.
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Deswegen ist $\exists A\ \forall x:\ x \in M \leftrightarrow x \notin M$, also ein Widerspruch, ausgeschlossen.
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Deswegen ist $\exists A\ \forall x \colon x \in M \leftrightarrow x \notin M$, also ein Widerspruch, ausgeschlossen.
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Denn in $H(x) = \text{"}x \notin M\text{"}$ taucht ja $M$ auf und das ist nicht erlaubt
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Sei $n = 0$ und $H(x) = \text{"} x \text{ ist eine gerade natürliche Zahl"}$.
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@ -83,14 +83,14 @@ Weitere Beispiele sind:
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- Menge aller deutschen Bundesländer: $M = \{ x\ |\ x \text{ ist deutsches Bundesland} \}$
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- Menge aller reellen Zahlen von 0 bis 2: $M = \{ x\ |\ x \in \mathbb{R} \wedge 0 \le x \le 2 \}$
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- Menge der ganzzahligen Lösungen einer Gleichung: $M = \{ x\ |\ x \in \mathbb{Z} \wedge x^2 + 2 = 4x - 1 \}$
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||||
- Menge aller ganzen Quadratzahlen: $M = \{ x\ |\ \exists y \in \mathbb{Z}:\ x = y^2 \}$
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||||
- Menge aller ganzen Quadratzahlen: $M = \{ x\ |\ \exists y \in \mathbb{Z} \colon x = y^2 \}$
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:::note Extensionalitätsaxiom (ZF) / Gleichheit von Mengen
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Zwei Mengen sind gleich, wenn sie die gleichen Elemente besitzen:
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$$
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\begin{equation*}
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A = B\ :=\ \forall x:\ x \in A \leftrightarrow x \in B
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A = B\ \coloneqq\ \forall x \colon x \in A \leftrightarrow x \in B
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\end{equation*}
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$$
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@ -122,7 +122,7 @@ oder *Schnittmenge*.
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:::note Durchschnitt
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$$
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A \cap B := \{ x\ |\ x \in A \wedge x \in B \}
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A \cap B \coloneqq \{ x\ |\ x \in A \wedge x \in B \}
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$$
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gesprochen: "A geschnitten B"
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@ -155,7 +155,7 @@ Elemente, die in beiden vorkommen, werden dabei nur einmal gezählt.
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:::note Vereinigung
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$$
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||||
A \cup B := \{ x\ |\ x \in A \vee x \in B \}
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A \cup B \coloneqq \{ x\ |\ x \in A \vee x \in B \}
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$$
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gesprochen: "A vereinigt B"
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@ -182,7 +182,7 @@ Das *Komplement* einer Menge besteht gerade aus den Elementen, die nicht in der
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:::note Komplement
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$$
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||||
\overline{A} = A^\complement := \{ x\ |\ \neg (x \in A) \} = \{ x\ |\ x \notin A \}
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||||
\overline{A} = A^\complement \coloneqq \{ x\ |\ \neg (x \in A) \} = \{ x\ |\ x \notin A \}
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$$
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||||
gesprochen: "Komplement von A"
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@ -209,7 +209,7 @@ aber ohne die Elemente, die auch in der anderen liegen, dann ist das die *Differ
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:::note Differenz
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$$
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||||
A \setminus B := \{ x\ |\ x \in A \wedge x \notin B \}
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A \setminus B \coloneqq \{ x\ |\ x \in A \wedge x \notin B \}
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$$
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@ -322,8 +322,8 @@ Dieses Wort "Teil" lässt sich wie folgt definieren:
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:::note Inklusion
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Seien $M, A$ Mengen.
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- $A \subseteq M := \forall x:\ x \in A \rightarrow x \in M$
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- $A \subset M := A \subseteq M \wedge A \ne M$
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- $A \subseteq M \coloneqq \forall x \colon x \in A \rightarrow x \in M$
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- $A \subset M \coloneqq A \subseteq M \wedge A \ne M$
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Für $A \subseteq M$ spricht man "$A$ ist *Teilmenge* von $M$" und
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für $A \subset M$ spricht man "$A$ ist *echte Teilmenge* von $M$"
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@ -79,7 +79,7 @@ $$$
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:::danger Aber gilt nun $X \in X$?
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Für $A := X$ erhält man den Widerspruch
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Für $A \coloneqq X$ erhält man den Widerspruch
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$$
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X \in X \text{ genau dann, wenn } X \notin X
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$$
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@ -110,7 +110,7 @@ $$$
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:::danger Rasiert der Barbier sich selbst?
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Für $M := B$ erhält man den Widerspruch
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Für $M \coloneqq B$ erhält man den Widerspruch
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$$
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B \in B \text{ genau dann, wenn } B \notin B
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$$
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@ -14,7 +14,7 @@ möchte Mengen miteinander in eine gewisse Verbindung bringen, ohne sie einfach
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Ein *geordnetes Paar* (*2-Tupel*) mit den Elementen $a$ und $b$ ist wie folgt als Menge definiert:
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$$
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(a, b)\ :=\ \{ \overbrace{\{a, b\}}^{\text{Elemente des Tupels}}, \underbrace{\{a\}}_{\text{Erstes Element}} \}
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(a, b)\ \coloneqq\ \{ \overbrace{\{a, b\}}^{\text{Elemente des Tupels}}, \underbrace{\{a\}}_{\text{Erstes Element}} \}
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$$
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:::
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@ -58,13 +58,13 @@ Die Menge aller Tupel von Mengen nennt man *kartesisches Produkt*:
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Seien $A$ und $B$ Mengen, dann ist das *kartesische Produkt* der Mengen $A$ und $B$ definiert als
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$$
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A \times B\ :=\ \{ (a,b)\ |\ a \in A \wedge b \in B \}
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||||
A \times B\ \coloneqq\ \{ (a,b)\ |\ a \in A \wedge b \in B \}
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$$
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Mit
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- $A^0 := \{ \emptyset \}$
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- $A^1 := A$
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- $A^{n+1} := A^n \times A$
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- $A^0 \coloneqq \{ \emptyset \}$
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- $A^1 \coloneqq A$
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- $A^{n+1} \coloneqq A^n \times A$
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erhalten wir die *n-fache kartesische Potenz*.
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@ -77,7 +77,7 @@ Daraus können wir nun eine Teilmenge betrachten.
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:::note Relation
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Seien $A$, $B$ Mengen.
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Man nennt $R$ *Relation* oder *Korrespondenz* __aus__ $A$ __in__ $B$ $:=\ R \subseteq A \times B$
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Man nennt $R$ *Relation* oder *Korrespondenz* __aus__ $A$ __in__ $B$ $\coloneqq\ R \subseteq A \times B$
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:::
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@ -117,12 +117,12 @@ Es ist sinnvoll Mengen zu definieren, die nur die Elemente ersten oder die zweit
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- *Definitionsbereich* von $R$:
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$$
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D(R)\ :=\ \{ x\ |\ x \in A \wedge \exists y \in B:\ (x,y) \in R \}
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D(R)\ \coloneqq\ \{ x\ |\ x \in A \wedge \exists y \in B \colon (x,y) \in R \}
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$$
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||||
Der Definitionsbereich von $R$ umfasst also alle Elemente $x$ aus $A$, für die es ein $y$ aus $B$ gibt.
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- *Wertebereich* oder *Bild* von $R$:
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$$
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W(R)\ :=\ \{ y\ |\ y \in B \wedge \exists x \in A:\ (x,y) \in R \}
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||||
W(R)\ \coloneqq\ \{ y\ |\ y \in B \wedge \exists x \in A \colon (x,y) \in R \}
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$$
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||||
Der Wertebereich oder das Bild von $R$ umfasst also alle Elemente $y$ aus $B$, für die es ein $x$ aus $A$ gibt.
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@ -159,9 +159,9 @@ Je nachdem, ob der Definitions- oder Wertebereich die gesamte Menge $A$ bzw. $B$
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:::note Sprechweisen
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$R$ ist Relation
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- "*__von__* $A$ *in* $B$" $:=\ D(R) = A$
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- "*aus* $A$ *__auf__* $B$" $:=\ W(R) = B$
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- "*__von__* $A$ *__auf__* $B$" $:=\ D(R) = A \wedge W(R) = B$
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||||
- "*__von__* $A$ *in* $B$" $\coloneqq\ D(R) = A$
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||||
- "*aus* $A$ *__auf__* $B$" $\coloneqq\ W(R) = B$
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- "*__von__* $A$ *__auf__* $B$" $\coloneqq\ D(R) = A \wedge W(R) = B$
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:::
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@ -172,7 +172,7 @@ und möchte dies formal ausdrücken bzw. aufschreiben, ohne dabei immer die Tupe
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Sei $R$ Relation.
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$$
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R(x)\ :=\ \{ y\ |\ y \in B \wedge (x,y) \in R \}
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||||
R(x)\ \coloneqq\ \{ y\ |\ y \in B \wedge (x,y) \in R \}
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$$
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:::
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@ -201,7 +201,7 @@ Relationsbezeichnung in die Mitte:
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Sei $R$ Relation.
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$$
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x R y\ :=\ (x,y) \in R
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x R y\ \coloneqq\ (x,y) \in R
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$$
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:::
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@ -227,7 +227,7 @@ Man kann auch zwei Relationen kombinieren, sofern diese *in* und *aus* den gleic
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Seien $R \subseteq A \times B$ und $K \subseteq B \times C$ Relationen.
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Dann ist die Verkettung von $R$ mit $K$ definiert als:
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$$
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||||
R \circ K\ :=\ \{ (x,z)\ |\ \exists y \in B:\ (x,y) \in R \wedge (y,z) \in K \}
|
||||
R \circ K\ \coloneqq\ \{ (x,z)\ |\ \exists y \in B \colon (x,y) \in R \wedge (y,z) \in K \}
|
||||
$$
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||||
Also ist $R \circ K \subseteq A \times C$.
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@ -260,7 +260,7 @@ Das heißt, wenn $x$ mit $y$ in Relation steht, also $(x,y) \in R$, dann ist das
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||||
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||||
Gegeben sei $R \subseteq A \times B$
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||||
$$
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||||
R^{-1}\ :=\ \{(y,x)\ |\ (x,y) \in R \} \subset B \times A
|
||||
R^{-1}\ \coloneqq\ \{(y,x)\ |\ (x,y) \in R \} \subset B \times A
|
||||
$$
|
||||
ist die *inverse Relation* zu $R$.
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||||
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@ -301,9 +301,9 @@ $$
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\begin{alignat*}{2}
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||||
\quad && &(z,x) \in (R \circ K)^{-1}\\
|
||||
\overset{\text{Def. } \square^{-1}}{\Longleftrightarrow}\quad && &(x,z) \in R \circ K\\
|
||||
\overset{\text{Def. } \circ}{\Longleftrightarrow}\quad && &\exists y:\ (x,y) \in R \wedge (y,z) \in K\\
|
||||
\overset{\text{Def. } \square^{-1}}{\Longleftrightarrow}\quad && &\exists y:\ (y,x) \in R^{-1} \wedge (z,y) \in K^{-1}\\
|
||||
\overset{\text{Kom. } \wedge}{\Longleftrightarrow}\quad && &\exists y:\ (z,y) \in K^{-1} \wedge (y,x) \in R^{-1}\\
|
||||
\overset{\text{Def. } \circ}{\Longleftrightarrow}\quad && &\exists y \colon (x,y) \in R \wedge (y,z) \in K\\
|
||||
\overset{\text{Def. } \square^{-1}}{\Longleftrightarrow}\quad && &\exists y \colon (y,x) \in R^{-1} \wedge (z,y) \in K^{-1}\\
|
||||
\overset{\text{Kom. } \wedge}{\Longleftrightarrow}\quad && &\exists y \colon (z,y) \in K^{-1} \wedge (y,x) \in R^{-1}\\
|
||||
\overset{\text{Def. } \circ}{\Longleftrightarrow}\quad && &(z,x) \in K^{-1} \circ R^{-1}
|
||||
\qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
|
||||
@ -15,7 +15,7 @@ Bevor wir uns den Abbildungen widmen, definieren wir die Eindeutigkeit:
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Eine Relation $R \subseteq A \times B$ ist *eindeutig*, wenn
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$$
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||||
\forall x \in A\ \forall y, y' \in B:\ (x,y) \in R \wedge (x,y') \in R \rightarrow y = y'
|
||||
\forall x \in A\ \forall y, y' \in B \colon (x,y) \in R \wedge (x,y') \in R \rightarrow y = y'
|
||||
$$
|
||||
|
||||
:::
|
||||
@ -32,18 +32,18 @@ Bei der Eindeutigkeit ist es egal, wie viele Pfeile rechts auf ein Element zugeh
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||||
:::note Abbildung / Funktion
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||||
$f$ ist *Abbildung* oder *Funktion* von $A$ in $B$ $:=$
|
||||
$f$ ist *Abbildung* oder *Funktion* von $A$ in $B$ $\coloneqq$
|
||||
- $f$ ist Relation, also $f \subseteq A \times B$
|
||||
- $D(f) = A$, also $f$ ist Relation *__von__ $A$ in $B$*
|
||||
- $f$ ist eindeutig
|
||||
|
||||
Mathematisch-logisch aufgeschrieben:
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||||
$$
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||||
\forall x \in A\ \exists ! y \in B:\ (x,y) \in A \times B
|
||||
\forall x \in A\ \exists ! y \in B \colon (x,y) \in A \times B
|
||||
$$
|
||||
|
||||
:::
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||||
Man schreibt dafür: $f:\ A \rightarrow B$.
|
||||
Man schreibt dafür: $f \colon A \rightarrow B$.
|
||||
Statt $R(x) = \{y\}$ wie bei normalen Relationen, schreibt man verkürzt $f(x) = y$, da das $y$ ja nun eindeutig ist.
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||||
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||||
Eine Funktion ordnet also jedem Element aus $A$ genau ein $y$ aus $B$ zu.
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||||
@ -56,12 +56,12 @@ Eine Abbildung oder eine Funktion einer Menge $A$ in eine Menge $B$ ordnet jedem
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||||
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||||
:::
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Bei dieser Definition wird komplett auf die mengentheoretische Begriffe wie *geordnetes Paar* oder auch *Relation* verzichtet.
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||||
Erst aufbauend darauf wird dann mengentheoretisch der *Graph der Funktion* definiert als $G_f := \{(x,f(x))\ |\ x \in A \wedge f(x) \in B\} \subseteq A \times B$.
|
||||
Erst aufbauend darauf wird dann mengentheoretisch der *Graph der Funktion* definiert als $G_f \coloneqq \{(x,f(x))\ |\ x \in A \wedge f(x) \in B\} \subseteq A \times B$.
|
||||
Aus mengentheoretischer Sicht stimmen in diesen Fällen die Begriffe "Funktion" und "Graph der Funktion" überein.
|
||||
|
||||
#### Beispiele
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||||
Gegeben seien $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ und $B = \{a, b, c, d\}$.
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||||
Eine Abbildung $f:\ A \rightarrow B$ können dann sein:
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||||
Eine Abbildung $f \colon A \rightarrow B$ können dann sein:
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||||
- $f = \{(1,b)\}$
|
||||
- $f = \{(1,a), (2,b), (3,b), (4,d)\}$
|
||||
- $f = \{(1,b), (2,c), (3,d), (4,a), (5,b)\}$
|
||||
@ -73,7 +73,7 @@ dann schreibt man Abbildungen so:
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||||
:::note Schreibweisen
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||||
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||||
$$
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||||
f:\ A \rightarrow B,\ x \mapsto f(x)
|
||||
f \colon A \rightarrow B,\ x \mapsto f(x)
|
||||
\qquad\qquad\text{oder}\qquad\qquad
|
||||
f: \begin{cases}
|
||||
A \rightarrow B\\
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@ -85,7 +85,7 @@ wobei anstelle $f(x)$ dann z.B. eine *Funktionsgleichung* tritt.
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#### Beispiele
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- $f:\ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},\ x \mapsto x^2 \quad$ für eine Parabel
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- $f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},\ x \mapsto x^2 \quad$ für eine Parabel
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- $f: \begin{cases}
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\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}\\
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x \mapsto \sqrt{x}
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@ -95,7 +95,7 @@ Es werden noch mehr unterschiedliche Darstellungsformen für Funktionen auftauch
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Bis dahin sollten einem die Begriffe allerdings so vertraut vorkommen, dass eine genaue Definition oder Einführung nicht notwendig ist.
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## Grundlegende Eigenschaften von Funktionen
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Die *Verkettung*, oder auch *Komposition*, $f \circ g: A \rightarrow C$ von Funktionen $f:\ A \rightarrow B$ und $g:\ B \rightarrow C$ ist wieder eine Funktion.
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Die *Verkettung*, oder auch *Komposition*, $f \circ g: A \rightarrow C$ von Funktionen $f \colon A \rightarrow B$ und $g \colon B \rightarrow C$ ist wieder eine Funktion.
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Für die Komposition gilt $f \circ g = g(f(x))$.
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In anderer Literatur kann es sein, dass die Komposition anders definiert ist und dann $f \circ g = f(g(x))$ gilt.
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@ -106,9 +106,9 @@ Zwei Funktionen $f$ und $g$ sind gleich $f=g$, wenn für alle $x$ gilt $f(x) = g
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:::note Injektivität, Surjektivität, Bijektivität
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Sei $f: A \rightarrow B$ eine Funktion.
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- $f$ heißt *injektiv* (*eineindeutig*) $:=\ \forall x,x' \in A:\ f(x) = f(x') \rightarrow x = x'$
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- $f$ heißt *surjektiv* (*Abbildung auf $B$*) $:=\ \forall y \in B\ \exists x \in A:\ f(x) = y$
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- $f$ heißt *bijektiv* (*eineindeutige Abbildung auf $B$*) $:=\ f$ ist injektiv und surjektiv
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- $f$ heißt *injektiv* (*eineindeutig*) $\coloneqq\ \forall x,x' \in A \colon f(x) = f(x') \rightarrow x = x'$
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- $f$ heißt *surjektiv* (*Abbildung auf $B$*) $\coloneqq\ \forall y \in B\ \exists x \in A \colon f(x) = y$
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- $f$ heißt *bijektiv* (*eineindeutige Abbildung auf $B$*) $\coloneqq\ f$ ist injektiv und surjektiv
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*Injektivität* bedeutet, dass jedes $y$ aus der Bildmenge *höchstens einmal* abgebildet wird.
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@ -133,21 +133,21 @@ Dass dabei $A$ und $B$ gleich viele Elemente haben müssen ist kein Zufall.
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Welche Rolle bijektive Abbildungen bei der *Kardinalität* ("Größe") von Mengen haben, wird im Kapitel [Endlichkeit und Kardinalzahlen](../endlichkeit) erklärt.
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#### Beispiele
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Gegeben sei $f:\ \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N},\ n \mapsto f(n)$.
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Gegeben sei $f \colon \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N},\ n \mapsto f(n)$.
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Betrachten verschiedene Funktionsgleichungen für $f(n)$:
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- $f(n)\ :=\ n+1 \quad$ (*Nachfolgerfunktion*) ist injektiv, aber nicht surjektiv, da $0 \notin W(f)$
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- $f(n)\ := \begin{cases} \lfloor \frac{n}{2} \rfloor & n \text{ gerade}\\ 0 & n \text{ ungerade} \end{cases} \quad$ ist surjektiv,
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- $f(n)\ \coloneqq\ n+1 \quad$ (*Nachfolgerfunktion*) ist injektiv, aber nicht surjektiv, da $0 \notin W(f)$
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- $f(n)\ \coloneqq \begin{cases} \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor & n \text{ gerade}\\ 0 & n \text{ ungerade} \end{cases} \quad$ ist surjektiv,
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aber nicht injektiv, da z.B. $f(1) = f(3) = 0$
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- $f(n)\ :=\ n \quad$ (*identische Abbildung*) ist injektiv, surjektiv und damit auch bijektiv
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- $f(n)\ \coloneqq\ n \quad$ (*identische Abbildung*) ist injektiv, surjektiv und damit auch bijektiv
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Gegeben sei $f:\ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},\ x \mapsto x^2$, also eine Parabelfunktion.
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Gegeben sei $f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},\ x \mapsto x^2$, also eine Parabelfunktion.
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$f$ ist weder injektiv, noch surjektiv.
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Wenn man allerdings die Abbildungsmengen einschränkt, kann man eine injektive, surjektive oder bijektive Abbildung erhalten.
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Im Folgenden bezeichnen wir $\mathbb{R}_{\ge 0}$ als die Menge der nicht-negativen reellen Zahlen, also reelle Zahlen $\ge 0$.
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Am einfachsten ist es, sich die folgenden Fälle zu skizzieren:
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- $f:\ \mathbb{R}_{\ge 0} \rightarrow \mathbb{R},\ x \mapsto x^2 \quad$ ist injektiv, aber nicht surjektiv
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- $f:\ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_{\ge 0},\ x \mapsto x^2 \quad$ ist surjektiv, aber nicht injektiv
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- $f:\ \mathbb{R}_{\ge 0} \rightarrow \mathbb{R}_{\ge 0},\ x \mapsto x^2 \quad$ ist injektiv und surjektiv und damit auch bijektiv
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- $f \colon \mathbb{R}_{\ge 0} \rightarrow \mathbb{R},\ x \mapsto x^2 \quad$ ist injektiv, aber nicht surjektiv
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- $f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_{\ge 0},\ x \mapsto x^2 \quad$ ist surjektiv, aber nicht injektiv
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- $f \colon \mathbb{R}_{\ge 0} \rightarrow \mathbb{R}_{\ge 0},\ x \mapsto x^2 \quad$ ist injektiv und surjektiv und damit auch bijektiv
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Zu bijektiven Funktion sagt man auch, sie bilden "*umkehrbar eindeutig*" ab.
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Eingangs wurde erwähnt:
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@ -160,12 +160,12 @@ Bei einer bijektiven Abbildung, die durch eine Funktionsgleichung $y = f(x)$ geg
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dass man die Funktionsgleichung nach $x$ umstellt.
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Man hat dann einen Ausdruck der Form $x = g(y) = f^{-1}(y)$.
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Gegeben sei die Abbildung $f:\ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+$ mit der Funktionsgleichung $f(x) = e^x$.
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Gegeben sei die Abbildung $f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+$ mit der Funktionsgleichung $f(x) = e^x$.
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Die Exponentialfunktion ist surjektiv, wenn man diese auf die positiven reellen Zahlen abbildet, also die nicht-negativen reellen Zahlen ohne die $0$:
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$\mathbb{R}^+ := \mathbb{R}_{>0} = \mathbb{R}_{\ge 0} \setminus \{0\}$.
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$\mathbb{R}^+ \coloneqq \mathbb{R}_{>0} = \mathbb{R}_{\ge 0} \setminus \{0\}$.
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Der ganze Beweis der Bijektivität sei an dieser allerdings weggelassen.
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Die Umkehrfunktion $f^{-1}:\ \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}$ kann man nun durch Umstellen nach $y$ berechnen:
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Die Umkehrfunktion $f^{-1} \colon \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}$ kann man nun durch Umstellen nach $y$ berechnen:
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$$
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\begin{alignat*}{2}
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&& y &= f(x)\\
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@ -194,26 +194,26 @@ Formal lässt sich das so auffassen:
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:::note Erweiterung
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Gegeben seien eine Abbildung $f:\ A \rightarrow B$ und die Teilmengen $X \subseteq A$ und $Y \subseteq B$.
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Gegeben seien eine Abbildung $f \colon A \rightarrow B$ und die Teilmengen $X \subseteq A$ und $Y \subseteq B$.
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$\widehat{f}(X)\ :=\ \{ y\ |\ y \in B \wedge \exists x \in X:\ f(x) = y \}$
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$\widehat{f}(X)\ \coloneqq\ \{ y\ |\ y \in B \wedge \exists x \in X \colon f(x) = y \}$
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heißt *Erweiterung* von $f$ auf $\mathcal{P}(A)$.
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$\widehat{f^{-1}}(Y)\ :=\ \{ x\ |\ x \in A \wedge f(x) \in Y \}$
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$\widehat{f^{-1}}(Y)\ \coloneqq\ \{ x\ |\ x \in A \wedge f(x) \in Y \}$
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heißt *Erweiterung* von $\underbrace{f^{-1}}_{\substack{\text{Inverse Relation}\\\text{i.A. keine Abbildung}}}$ auf $\mathcal{P}(B)$.
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$\widehat{f}:\ \mathcal{P}(A) \rightarrow \mathcal{P}(B)$ ist wie $f$ wieder eine Abbildung.
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$\widehat{f} \colon \mathcal{P}(A) \rightarrow \mathcal{P}(B)$ ist wie $f$ wieder eine Abbildung.
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Während $f^{-1}$ hier allgemein die inverse Relation ist und damit keine (Umkehr-)Abbildung,
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ist $\widehat{f^{-1}}:\ \mathcal{P}(B) \rightarrow \mathcal{P}(A)$ allerdings immer eine Abbildung.
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ist $\widehat{f^{-1}} \colon \mathcal{P}(B) \rightarrow \mathcal{P}(A)$ allerdings immer eine Abbildung.
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Häufig schreibt man statt $\widehat{f}$ auch wieder nur $f$ bzw. für $\widehat{f^{-1}}$ auch wieder $f^{-1}$.
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Eine Verwechslung ist ausgeschlossen, da die Abbildung $f$ ein Element entgegennimmt,
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während die Erweiterung von $f$ eine Menge entgegennimmt.
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#### Beispiele
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Gegeben sei $f:\ \{1, 2, 3\} \rightarrow \{a, b, c, d\}$ mit $f(1) = a,\ f(2) = c,\ f(3) = a$.
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Gegeben sei $f \colon \{1, 2, 3\} \rightarrow \{a, b, c, d\}$ mit $f(1) = a,\ f(2) = c,\ f(3) = a$.
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Dann sind bspw.:
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- $\widehat{f}(\emptyset) = f(\emptyset) = \emptyset$
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- $\widehat{f}(\{1, 2\}) = f(\{1, 2\}) = \{ a, c \}$
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@ -234,7 +234,7 @@ Diese spielen in der Algebra eine wichtige Rolle.
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:::note Operation oder Verknüpfung
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$f$ heißt *innere $n$-stellige algebraische Operation* $:=\ f:\ A^n \rightarrow A$.
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$f$ heißt *innere $n$-stellige algebraische Operation* $\coloneqq\ f \colon A^n \rightarrow A$.
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:::
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@ -249,17 +249,17 @@ Bereits im Kapitel [Verband](../mengen#verband) wurden zweistellige Operationen
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#### Beispiele
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Aus dem Kapitel [Verband](../mengen#verband) wissen wir, dass $\cap$ und $\cup$ zweistellige Operationen für eine Menge $A$ sind:
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- $\cap:\ \mathcal{P}^2(A) \rightarrow \mathcal{P}(A)$
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- $\cup:\ \mathcal{P}^2(A) \rightarrow \mathcal{P}(A)$
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- $\cap \colon \mathcal{P}^2(A) \rightarrow \mathcal{P}(A)$
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- $\cup \colon \mathcal{P}^2(A) \rightarrow \mathcal{P}(A)$
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Weitere Beispiele:
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- $+:\ \mathbb{N}^2 \rightarrow \mathbb{N}$ als Addition in den natürlichen Zahlen: $+(a, b) = a+b \quad = \quad c$
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- $+ \colon \mathbb{N}^2 \rightarrow \mathbb{N}$ als Addition in den natürlichen Zahlen: $+(a, b) = a+b \quad = \quad c$
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- $+(2,3) = 2 + 3 \quad = \quad 5$
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- $100 + 1 = 101$
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- $\hat{\ }:\ \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ als Potenz: $\hat{\ }(a,b) = a^b \quad = \quad c$
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- $\hat{\ } \colon \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ als Potenz: $\hat{\ }(a,b) = a^b \quad = \quad c$
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- $\hat{\ }(2,2) = 2^2 \quad = \quad 4$
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- $3^4 = 81$
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- $\circ:\ \text{Abb}(A,A)^2 \rightarrow \text{Abb}(A,A)$ als Komposition: $\circ(f,g) = f \circ g = g(f(x)) \quad = \quad h$
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- $\circ \colon \text{Abb}(A,A)^2 \rightarrow \text{Abb}(A,A)$ als Komposition: $\circ(f,g) = f \circ g = g(f(x)) \quad = \quad h$.
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$\text{Abb}(A,A)$ ist dabei die Menge aller Abbildungen von $A$ in $A$.
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- Mit $f(x) = x^2,\ g(x) = x+2$ ist $\circ(f,g) = f \circ g = g(f(x)) \quad = \quad g(x^2) = x^2+2$
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- Mit $f(x) = \ln(x) + \frac{\pi}{2},\ g(x) = \sin x$ ist
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