niklas/proseminar_algebra
1
0
Fork 0
Code Releases Activity

add missing proof part; add todo

Browse Source
This commit is contained in:
Niklas Birk 2023-06-02 12:24:24 +02:00
parent fe9e152255
commit 51190ca83b
1 changed files with 10 additions and 3 deletions
Show Stats Download Patch File Download Diff File Expand all files Collapse all files

13
sections/01_ldgls_matrixexponential.tex
View File

@ -106,7 +106,7 @@
\dfdx{}{t} \left( \e^{-(t - t_0) A} \vec{v}(t) \right)
\overset{\ref{thm:matrixexp-derivative}}&{=} \e^{-(t - t_0) A} \dfdx{\vec{v}(t)}{t} - A \e^{-(t - t_0) A} \vec{v}(t)\\
&= \e^{-(t - t_0) A} A \vec{v}(t) - \e^{-(t - t_0) A} A \vec{v}(t)\\
&= \vec{0}
&= \vec{0}. % TODO: e^{-tA} kommutiert mit A, weil A mit sich selbst kommutiert; Minh? oder selsbt sagen?
\end{align*}
Da die Ableitung die Nullmatrix ist, ist $\e^{-(t - t_0) A} \vec{v}(t)$ konstant, d.h.
\begin{equation*}
@ -116,7 +116,14 @@
\begin{equation*}
\vec{v}(t) = \e^{(t - t_0) A} \vec{c}
\end{equation*}
folgt.\\\\
tbc.
folgt.
Mit Voraussetzung $\vec{v}(t_0) = \vec{u}_0$ gilt dann für die Konstante $\vec{c}$
\begin{equation*}
\vec{v}(t_0) = \e^{(t_0 - t_0) A} \vec{c} = E \vec{c} = \vec{c} = \vec{u}_0.
\end{equation*}
Insgesamt ergibt sich also
\begin{equation*}
\vec{v}(t) = \e^{(t - t_0) A} \vec{u}_0 = \vec{u}(t)
\end{equation*}
\end{itemize}
\end{proof}