niklas/proseminar_algebra
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Niklas Birk 2023-05-30 14:08:57 +02:00
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sections/03_anwendung_auf_jnf.tex
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@ -112,7 +112,7 @@ dargestellt.
\end{equation*} \end{equation*}
\subsection{Nicht-diagonalisierbare Matrizen}\label{subsec:03-03} \subsection{Nicht-diagonalisierbare Matrizen}\label{subsec:03-03}
Jede Matrix $A$ lässt sich auf eine \emph{J\textc{ordan}-Normalform} $J = V^{-1} A V$ bringen. Jede Matrix $A$ lässt sich auf eine \emph{J\textc{ordan}-Normalform} $J = V^{-1} L V$ bringen.
Eine J\textc{ordan}-Normalform $J$ ist eine Blockdiagonalmatrix der Form Eine J\textc{ordan}-Normalform $J$ ist eine Blockdiagonalmatrix der Form
\begin{gather*} \begin{gather*}
J = \begin{pmatrix} J = \begin{pmatrix}
@ -122,10 +122,10 @@ Eine J\textc{ordan}-Normalform $J$ ist eine Blockdiagonalmatrix der Form
\end{pmatrix}\\ \end{pmatrix}\\
\intertext{mit J\textc{ordan}-Block} \intertext{mit J\textc{ordan}-Block}
J_i = \begin{pmatrix} J_i = \begin{pmatrix}
\lambda & 1 & & \\ \lambda_i & 1 & & \\
& \lambda & \ddots & \\ & \lambda_i & \ddots & \\
& & \ddots & 1 \\ & & \ddots & 1 \\
& & & \lambda & & & \lambda_i
\end{pmatrix} \end{pmatrix}
\qquad (i = 1,\dots,n). \qquad (i = 1,\dots,n).
\end{gather*} \end{gather*}
@ -199,33 +199,33 @@ dass sich die Berechnung von $\e^J$ auf die einzelnen $\e^{J_i}$ für $i = 1,\do
Ein J\textc{ordan}-Block $J_i$ lässt sich weiter zerlegen zu Ein J\textc{ordan}-Block $J_i$ lässt sich weiter zerlegen zu
\begin{equation*} \begin{equation*}
J_i = \begin{pmatrix} J_i = \begin{pmatrix}
\lambda & 1 & & \\ \lambda_i & 1 & & \\
& \lambda & \ddots & \\ & \lambda_i & \ddots & \\
& & \ddots & 1 \\ & & \ddots & 1 \\
& & & \lambda & & & \lambda_i
\end{pmatrix} \end{pmatrix}
= \underbrace{\begin{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix}
\lambda & & \\ \lambda & & \\
& \ddots & \\ & \ddots & \\
& & \lambda & & \lambda
\end{pmatrix}}_{= L} \end{pmatrix}}_{= L_i}
+ \underbrace{\begin{pmatrix} + \underbrace{\begin{pmatrix}
0 & 1 & & \\ 0 & 1 & & \\
& 0 & \ddots & \\ & 0 & \ddots & \\
& & \ddots & 1 \\ & & \ddots & 1 \\
& & & 0 & & & 0
\end{pmatrix}}_{\eqqcolon N} \end{pmatrix}}_{\eqqcolon N}
= L + N. = L_i + N.
\end{equation*} \end{equation*}
Dabei ist $N$ eine \emph{nilpotente} Matrix, d.h.\ es existiert ein $l \in \NN$ so, dass $N^l = 0$. Dabei ist $N$ eine \emph{nilpotente} Matrix, d.h.\ es existiert ein $l \in \NN$ so, dass $N^l = 0$.
Zudem kommutieren die Matrizen $L$ und $N$, da Zudem kommutieren die Matrizen $L_i$ und $N$, da
\begin{gather*} \begin{gather*}
L N = (\lambda E) N = \lambda (EN) = \lambda (NE) = N (\lambda E) = N L,\\ L_i N = (\lambda_i E) N = \lambda (EN) = \lambda (NE) = N (\lambda_i E) = N L_i,\\
\intertext{weshalb} \intertext{weshalb}
\e^{L + N} = \e^L \e^N \e^{L_i + N} = \e^{L_i} \e^N
\end{gather*} \end{gather*}
gilt. gilt.
Da $L$ eine Diagonalmatrix ist, ist die Lösung von $\e^L$ bereits aus~\autoref{subsec:03-01} bekannt. Da $L_i$ eine Diagonalmatrix ist, ist die Lösung von $\e^L$ bereits aus~\autoref{subsec:03-01} bekannt.
Für $N$ als nilpotente Matrix ergibt sich zudem eine endliche Summe bei der Berechnung von $\e^N$, Für $N$ als nilpotente Matrix ergibt sich zudem eine endliche Summe bei der Berechnung von $\e^N$,
da ab einem $l \in \NN$ gilt, dass $N^l = N^{l+1} = \dots = 0$, d.h. da ab einem $l \in \NN$ gilt, dass $N^l = N^{l+1} = \dots = 0$, d.h.
\begin{align*} \begin{align*}
@ -255,11 +255,11 @@ da ab einem $l \in \NN$ gilt, dass $N^l = N^{l+1} = \dots = 0$, d.h.
\end{align*} \end{align*}
Werden nun alle Erkenntnisse kombiniert, gilt für $\e^{J_i t}$ schließlich Werden nun alle Erkenntnisse kombiniert, gilt für $\e^{J_i t}$ schließlich
\begin{align*} \begin{align*}
\e^{J_i t} &= \e^{(L + N) t} = \e^{Lt + Nt} = \e^{Lt} \e^{Nt}\\ \e^{J_i t} &= \e^{(L_i + N) t} = \e^{L_i t + Nt} = \e^{L_i t} \e^{Nt}\\
&= \begin{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
\e^{\lambda t} & & \\ \e^{\lambda_i t} & & \\
& \ddots & \\ & \ddots & \\
& & \e^{\lambda t} & & \e^{\lambda_i t}
\end{pmatrix} \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \begin{pmatrix}
1 & t & \frac{t^2}{2} & \frac{t^3}{3!} & \dots & \frac{t^{l-1}}{(l-1)!}\\ 1 & t & \frac{t^2}{2} & \frac{t^3}{3!} & \dots & \frac{t^{l-1}}{(l-1)!}\\