niklas/proseminar_algebra
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sections/01_ldgls_matrixexponential.tex
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Das Ergebnis von $\e^{t A} \in \RR^{n \times n}$ ist eine Matrix.
Demnach ist $\e^{t A} \vec{u}(t) \in \RR^{n \times 1}$ ein Matrix-Vektor-Produkt, deren Komponenten sich durch
\begin{equation*}
(\e^{t A} \vec{u}(t))_i = \sum^n_{j=1} \e^{t A}_{ij} \cdot u_j(t)
(\e^{t A} \vec{u}(t))_i = \sum^n_{j=1} \left( \e^{t A} \right)_{ij} \cdot u_j(t)
\end{equation*}
ergeben.
Differenzieren der Komponenten, zusammen mit Linearität des Differentialoperators und der üblichen Produktregel, liefert
\begin{align*}
\dfdx{}{t}(\e^{t A} \vec{u}(t))_i
&= \dfdx{}{t} \left( \sum^n_{j=1} \e^{t A}_{ij} \cdot u_j(t) \right)\\
&= \dfdx{}{t} \left( \e^{t A}_{i1} \cdot u_j(t) + \dots + \e^{t A}_{in} \cdot u_j(t) \right)\\
&= \dfdx{}{t} \left( \e^{t A}_{i1} \cdot u_j(t) \right) + \dots + \dfdx{}{t} \left( \e^{t A}_{in} \cdot u_j(t) \right)\\
&= \left( \e^{t A}_{i1} \cdot \dfdx{u_j(t)}{t} + \dfdx{\e^{t A}_{i1}}{t} \cdot u_j(t) \right)
+ \dots + \left( \e^{t A}_{in} \cdot \dfdx{u_j(t)}{t} + \dfdx{\e^{t A}_{in}}{t} \cdot u_j(t) \right)\\
&= \sum^n_{j=1} \left( \e^{t A}_{ij} \cdot \dfdx{u_j(t)}{t} + \dfdx{\e^{t A}_{ij}}{t} \cdot u_j(t) \right)\\
&= \sum^n_{j=1} \left( \e^{t A}_{ij} \cdot \dfdx{u_j(t)}{t} \right)
+ \sum^n_{j=1} \left( \dfdx{\e^{t A}_{ij}}{t} \cdot u_j(t) \right).
&= \dfdx{}{t} \left( \sum^n_{j=1} \left( \e^{t A} \right)_{ij} \cdot u_j(t) \right)
= \sum^n_{j=1} \left( \left( \e^{t A} \right)_{ij} \cdot \dfdx{u_j(t)}{t} + \dfdx{\left( \e^{t A} \right)_{ij}}{t} \cdot u_j(t) \right)\\
&= \sum^n_{j=1} \left( \left( \e^{t A} \right)_{ij} \cdot \dfdx{u_j(t)}{t} \right)
+ \sum^n_{j=1} \left( \dfdx{\left( \e^{t A} \right)_{ij}}{t} \cdot u_j(t) \right).
\end{align*}
Das ist ganzheitlich betrachtet gerade
\begin{equation*}