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e6b231c1d4
commit
f7ecdeb4ce
@ -59,7 +59,7 @@
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\DeclareTextFontCommand{\emph}{\boldmath\bfseries}
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\allowdisplaybreaks
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%\allowdisplaybreaks
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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% new commands and math operatos %
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@ -38,20 +38,16 @@
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Das Ergebnis von $\e^{t A} \in \RR^{n \times n}$ ist eine Matrix.
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Demnach ist $\e^{t A} \vec{u}(t) \in \RR^{n \times 1}$ ein Matrix-Vektor-Produkt, deren Komponenten sich durch
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\begin{equation*}
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(\e^{t A} \vec{u}(t))_i = \sum^n_{j=1} \e^{t A}_{ij} \cdot u_j(t)
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||||
(\e^{t A} \vec{u}(t))_i = \sum^n_{j=1} \left( \e^{t A} \right)_{ij} \cdot u_j(t)
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||||
\end{equation*}
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ergeben.
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Differenzieren der Komponenten, zusammen mit Linearität des Differentialoperators und der üblichen Produktregel, liefert
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\begin{align*}
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\dfdx{}{t}(\e^{t A} \vec{u}(t))_i
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||||
&= \dfdx{}{t} \left( \sum^n_{j=1} \e^{t A}_{ij} \cdot u_j(t) \right)\\
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||||
&= \dfdx{}{t} \left( \e^{t A}_{i1} \cdot u_j(t) + \dots + \e^{t A}_{in} \cdot u_j(t) \right)\\
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||||
&= \dfdx{}{t} \left( \e^{t A}_{i1} \cdot u_j(t) \right) + \dots + \dfdx{}{t} \left( \e^{t A}_{in} \cdot u_j(t) \right)\\
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||||
&= \left( \e^{t A}_{i1} \cdot \dfdx{u_j(t)}{t} + \dfdx{\e^{t A}_{i1}}{t} \cdot u_j(t) \right)
|
||||
+ \dots + \left( \e^{t A}_{in} \cdot \dfdx{u_j(t)}{t} + \dfdx{\e^{t A}_{in}}{t} \cdot u_j(t) \right)\\
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||||
&= \sum^n_{j=1} \left( \e^{t A}_{ij} \cdot \dfdx{u_j(t)}{t} + \dfdx{\e^{t A}_{ij}}{t} \cdot u_j(t) \right)\\
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||||
&= \sum^n_{j=1} \left( \e^{t A}_{ij} \cdot \dfdx{u_j(t)}{t} \right)
|
||||
+ \sum^n_{j=1} \left( \dfdx{\e^{t A}_{ij}}{t} \cdot u_j(t) \right).
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||||
&= \dfdx{}{t} \left( \sum^n_{j=1} \left( \e^{t A} \right)_{ij} \cdot u_j(t) \right)
|
||||
= \sum^n_{j=1} \left( \left( \e^{t A} \right)_{ij} \cdot \dfdx{u_j(t)}{t} + \dfdx{\left( \e^{t A} \right)_{ij}}{t} \cdot u_j(t) \right)\\
|
||||
&= \sum^n_{j=1} \left( \left( \e^{t A} \right)_{ij} \cdot \dfdx{u_j(t)}{t} \right)
|
||||
+ \sum^n_{j=1} \left( \dfdx{\left( \e^{t A} \right)_{ij}}{t} \cdot u_j(t) \right).
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||||
\end{align*}
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Das ist ganzheitlich betrachtet gerade
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\begin{equation*}
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@ -9,8 +9,8 @@ Zunächst werden diagonale Matrizen
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= \begin{pmatrix}
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a_1 & & \\
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& \ddots & \\
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& & a_3
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\end{pmatrix}
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||||
& & a_n
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\end{pmatrix} \in \CC^{n \times n}
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||||
\end{equation*}
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betrachtet.
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@ -67,7 +67,7 @@ Das Berechnen einer Matrixexponentialfunktion mit einer diagonalisierbaren Matri
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kann auf den obigen Fall der~\hyperref[subsec:diagonale-matrizen]{diagonalen Matrizen} zurückgeführt werden.
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||||
\begin{definition}[Wiederholung]
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||||
Eine Matrix $A$ heißt \emph{diagonalisierbar}, falls eine Diagonalmatrix $D$ und eine reguläre Matrix $A$ so existieren, dass
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||||
Eine Matrix $A \in \CC^{n \times n}$ heißt \emph{diagonalisierbar}, falls eine Diagonalmatrix $D$ und eine reguläre Matrix $S$ so existieren, dass
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||||
\begin{equation*}
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||||
A = S D S^{-1}
|
||||
\end{equation*}
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||||
@ -87,7 +87,7 @@ kann auf den obigen Fall der~\hyperref[subsec:diagonale-matrizen]{diagonalen Mat
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||||
\begin{alignat*}{2}
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||||
A^k &= (S B S^{-1})^k &&= \underbrace{(S B S^{-1}) (S B S^{-1}) (S B S^{-1}) \dots (S B S^{-1})}_{k \text{-mal}}\\
|
||||
&= SB\underbrace{(S^{-1} S)}_{E} B \underbrace{(S^{-1} S)}_{E} \dots \underbrace{(S^{-1} S)}_{E} B S^{-1}
|
||||
&&= S \underbrace{L \cdots L}_{k \text{-mal}} S^{-1}\\
|
||||
&&= S \underbrace{B \cdots B}_{k \text{-mal}} S^{-1}\\
|
||||
&= S B^k S^{-1}
|
||||
\end{alignat*}
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||||
Damit folgt dann für die Matrixexponentialfunktion
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@ -113,13 +113,13 @@ kann auf den obigen Fall der~\hyperref[subsec:diagonale-matrizen]{diagonalen Mat
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\end{proof}
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||||
\subsection{Nicht-diagonalisierbare Matrizen}\label{subsec:nichtdiagonalisierbare-matrizen}
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||||
Jede quadratische Matrix $A$ lässt sich auf eine \emph{J\textc{ordan}-Normalform} $J = V^{-1} A V$ bringen.
|
||||
Jede quadratische Matrix $A$ lässt sich auf eine \emph{J\textc{ordan}-Normalform} $J = S^{-1} A S$ bringen.
|
||||
Eine J\textc{ordan}-Normalform $J$ ist eine Blockdiagonalmatrix der Form
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||||
\begin{gather*}
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||||
J = \begin{pmatrix}
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||||
J_1 & & \\
|
||||
& \ddots & \\
|
||||
& & J_n
|
||||
& & J_k
|
||||
\end{pmatrix}\\
|
||||
\intertext{mit J\textc{ordan}-Block}
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||||
J_i = \begin{pmatrix}
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||||
@ -128,26 +128,26 @@ Eine J\textc{ordan}-Normalform $J$ ist eine Blockdiagonalmatrix der Form
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||||
& & \ddots & 1 \\
|
||||
& & & \lambda_i
|
||||
\end{pmatrix}
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||||
\qquad (i = 1,\dots,n).
|
||||
\qquad (i = 1,\dots,k).
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||||
\end{gather*}
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||||
Das folgende \hyperref[thm:blockdiag-exp]{Lemma~\ref*{thm:blockdiag-exp}} lässt vermuten,
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dass die gewonnenen Erkenntnisse aus~\autoref{subsec:diagonalisierbare-matrizen} zur Berechnung der
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Matrixexponentialfunktion $\e^{A} = \e^{V J V^{-1}}$ anwendbar sein könnten.
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||||
Matrixexponentialfunktion $\e^{A} = \e^{S J S^{-1}}$ anwendbar sein könnten.
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||||
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||||
\begin{lemma}\label{thm:blockdiag-exp}
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||||
Sei $A \in \RR^{n \times n}$ eine Blockdiagonalmatrix
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||||
Sei $A \in \CC^{n \times n}$ eine Blockdiagonalmatrix
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||||
\begin{equation*}
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||||
A = \diag\left\{A_1,\dots,A_m\right\}
|
||||
A = \diag\left\{A_1,\dots,A_k\right\}
|
||||
= \begin{pmatrix}
|
||||
A_1 & & \\
|
||||
& \ddots & \\
|
||||
& & A_m
|
||||
& & A_k
|
||||
\end{pmatrix},
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||||
\end{equation*}
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||||
mit quadratischen Matrizen $A_1, \dots, A_m$.
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||||
mit quadratischen Matrizen $A_1, \dots, A_k$.
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||||
Dann gilt
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\begin{equation*}
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||||
\e^{t A} = \diag\left\{ \e^{t A_1}, \dots,\e^{t A_m} \right\}.
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||||
\e^{t A} = \diag\left\{ \e^{t A_1}, \dots,\e^{t A_k} \right\}.
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\end{lemma}
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||||
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||||
@ -156,7 +156,7 @@ Matrixexponentialfunktion $\e^{A} = \e^{V J V^{-1}}$ anwendbar sein könnten.
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||||
\end{proof}
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||||
Zudem zeigt~\hyperref[thm:blockdiag-exp]{Lemma~\ref*{thm:blockdiag-exp}},
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dass sich die Berechnung von $\e^J$ auf die einzelnen $\e^{J_i}$ für $i = 1,\dots,n$ reduzieren lässt.
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||||
dass sich die Berechnung von $\e^J$ auf die einzelnen $\e^{J_i}$ für $i = 1,\dots,k$ reduzieren lässt.
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||||
Dafür werden im Folgenden die J\textc{ordan}-Blöcke $J_i$ betrachtet,
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denn ein J\textc{ordan}-Block $J_i$ lässt sich weiter zerlegen in
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\begin{equation*}
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||||
@ -170,26 +170,26 @@ denn ein J\textc{ordan}-Block $J_i$ lässt sich weiter zerlegen in
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||||
\lambda_i & & \\
|
||||
& \ddots & \\
|
||||
& & \lambda_i
|
||||
\end{pmatrix}}_{= L_i}
|
||||
\end{pmatrix}}_{= D_i}
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||||
+ \underbrace{\begin{pmatrix}
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||||
0 & 1 & & \\
|
||||
& 0 & \ddots & \\
|
||||
& & \ddots & 1 \\
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||||
& & & 0
|
||||
\end{pmatrix}}_{\eqqcolon N}
|
||||
= L_i + N.
|
||||
= D_i + N.
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||||
\end{equation*}
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\begin{definition}[Wiederholung]
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||||
Eine Matrix $N$ heißt \emph{nilpotent}, falls ein $l \in \NN$ so existiert, dass $N^l = 0$.
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||||
Eine Matrix $N$ heißt \emph{nilpotent}, falls ein $m \in \NN$ so existiert, dass $N^m = 0$.
|
||||
\end{definition}
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\begin{corollary}
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||||
Die Matrix $N \in \NN^{l \times l}$ aus der Zerlegung $J_i = L_i + N$ ist eine nilpotente Matrix mit $N^l = 0$.
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||||
Die $(m \times m)$-Matrix $N$ aus der Zerlegung $J_i = D_i + N$ ist eine nilpotente Matrix mit $N^m = 0$.
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||||
\end{corollary}
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||||
Betrachtet man den Vorgang des Potenzierens von $N$ ausführlicher, erkennt man,
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dass die Nebendiagonalen auf denen die $1$en stehen \enquote{nach oben-rechts hinaus} geschoben werden:
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dass die Nebendiagonalen auf denen die $1$en stehen \enquote{nach oben-rechts hinaus} geschoben werden und ab der $m$-ten Potenz die Nullmatrix ist:
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\begin{equation*}
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||||
N = \begin{pmatrix}
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0 & 1 & & \\
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@ -205,36 +205,36 @@ dass die Nebendiagonalen auf denen die $1$en stehen \enquote{nach oben-rechts hi
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||||
& & & & 0
|
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\end{pmatrix},
|
||||
\dots,
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||||
N^{l-1} = \begin{pmatrix}
|
||||
N^{m-1} = \begin{pmatrix}
|
||||
0 & & 1\\
|
||||
& \ddots & \\
|
||||
& & 0
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||||
\end{pmatrix},
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||||
N^l = \vec{0}_l
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||||
N^m = \vec{0}
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||||
\end{equation*}
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||||
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\begin{lemma}
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||||
Die Matrizen $L_i$ und $N$ aus der Zerlegung $J_i = L_i + N$ kommutieren bzgl.\ der Matrixmultiplikation.
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||||
Die Matrizen $D_i$ und $N$ aus der Zerlegung $J_i = D_i + N$ kommutieren bzgl.\ der Matrixmultiplikation.
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||||
\end{lemma}
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||||
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||||
\begin{proof}
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\begin{equation*}
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L_i N = (\lambda_i E) N = \lambda_i (EN) = \lambda_i (NE) = N (\lambda_i E) = N L_i,
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||||
D_i N = (\lambda_i E) N = \lambda_i (EN) = \lambda_i (NE) = N (\lambda_i E) = N D_i,
|
||||
\end{equation*}
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||||
\end{proof}
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||||
Damit gilt
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\begin{equation*}
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\e^{t (L_i + N)} = \e^{t L_i + t N} = \e^{t L_i} \e^{t N}.
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||||
\e^{t (D_i + N)} = \e^{t D_i + t N} = \e^{t D_i} \e^{t N}.
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||||
\end{equation*}
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||||
|
||||
Da $L_i$ eine Diagonalmatrix ist, ist die Lösung von $\e^{t L_i}$ bereits aus~\autoref{subsec:diagonale-matrizen} bekannt.
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||||
Da $D_i$ eine Diagonalmatrix ist, ist die Lösung von $\e^{t D_i}$ bereits aus~\autoref{subsec:diagonale-matrizen} bekannt.
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||||
Für $N$ als nilpotente Matrix ergibt sich zudem eine endliche Summe bei der Berechnung von $\e^{t N}$,
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||||
da ab einem $l \in \NN$ gilt, dass $N^l = N^{l+1} = \dots = 0$, d.h.
|
||||
da ab einem $m \in \NN$ gilt, dass $N^m = N^{m+1} = \dots = 0$, d.h.
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||||
\begin{align*}
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||||
\e^ {tN } &= \sum^\infty_{k=0} \frac{(t N)^k}{k!}
|
||||
= \sum^{l-1}_{k=0} \frac{(t N)^k}{k!}
|
||||
= E + t N + \frac{t^2}{2} N^2 + \dots + \frac{t^{l-1}}{(l-1)!} N^{l-1}\\
|
||||
= E + t N + \frac{t^2}{2} N^2 + \dots + \frac{t^{m-1}}{(m-1)!} N^{m-1}\\
|
||||
&= E + t N + \frac{t^2}{2} \begin{pmatrix}
|
||||
0 & 0 & 1 & & \\
|
||||
& \ddots & \ddots & \ddots & \\
|
||||
@ -242,14 +242,14 @@ da ab einem $l \in \NN$ gilt, dass $N^l = N^{l+1} = \dots = 0$, d.h.
|
||||
& & & \ddots & 0\\
|
||||
& & & & 0
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
+ \dots + \frac{t^{l-1}}{(l-1)!} \begin{pmatrix}
|
||||
+ \dots + \frac{t^{m-1}}{(m-1)!} \begin{pmatrix}
|
||||
0 & & 1\\
|
||||
& \ddots & \\
|
||||
& & 0
|
||||
\end{pmatrix}\\
|
||||
&= \begin{pmatrix}
|
||||
1 & t & \frac{t^2}{2} & \frac{t^3}{3!} & \dots & \frac{t^{l-1}}{(l-1)!}\\
|
||||
& 1 & t & \frac{t^2}{2} & \dots & \frac{t^{l-2}}{(l-2)!}\\
|
||||
1 & t & \frac{t^2}{2} & \frac{t^3}{3!} & \dots & \frac{t^{m-1}}{(m-1)!}\\
|
||||
& 1 & t & \frac{t^2}{2} & \dots & \frac{t^{m-2}}{(m-2)!}\\
|
||||
& & 1 & t & \ddots & \vdots\\
|
||||
& & & 1 & \ddots & \frac{t^2}{2}\\
|
||||
& & & & \ddots & t\\
|
||||
@ -258,28 +258,28 @@ da ab einem $l \in \NN$ gilt, dass $N^l = N^{l+1} = \dots = 0$, d.h.
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\begin{remark*}
|
||||
Für die Lösung eines~\hyperref[eq:cp]{C\textc{auchy}-Problems} mit einer nicht-diagonalisierbaren Matrix $A = V J V^{-1}$
|
||||
Für die Lösung eines~\hyperref[eq:cp]{C\textc{auchy}-Problems} mit einer nicht-diagonalisierbaren Matrix $A = S J S^{-1}$
|
||||
mit J\textc{ordan}-Normalform $J$, gilt also insgesamt
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\vec{u}(t) &= \e^{(t - t_0) A} \vec{u}_0 = \e^{(t - t_0) V L V^{-1}} \vec{u}_0 = V \e^{(t - t_0) J} V^{-1} \vec{u}_0\\
|
||||
&= V \begin{pmatrix}
|
||||
\vec{u}(t) &= \e^{(t - t_0) A} \vec{u}_0 = \e^{(t - t_0) S J S^{-1}} \vec{u}_0 = S \e^{(t - t_0) J} S^{-1} \vec{u}_0\\
|
||||
&= S \begin{pmatrix}
|
||||
\e^{(t - t_0) J_1} & & \\
|
||||
& \ddots & \\
|
||||
& & \e^{(t - t_0) J_n}
|
||||
\end{pmatrix} V^{-1} \vec{u}_0\\
|
||||
&= V \begin{pmatrix}
|
||||
\e^{(t - t_0) L_1} \e^{(t - t_0) N} & & \\
|
||||
& & \e^{(t - t_0) J_k}
|
||||
\end{pmatrix} S^{-1} \vec{u}_0\\
|
||||
&= S \begin{pmatrix}
|
||||
\e^{(t - t_0) D_1} \e^{(t - t_0) N} & & \\
|
||||
& \ddots & \\
|
||||
& & \e^{(t - t_0) L_n} \e^{(t - t_0) N}
|
||||
\end{pmatrix} V^{-1} \vec{u}_0.
|
||||
& & \e^{(t - t_0) D_k} \e^{(t - t_0) N}
|
||||
\end{pmatrix} S^{-1} \vec{u}_0.
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{remark*}
|
||||
|
||||
\begin{example*}
|
||||
Gegeben sei das~\ref{eq:cp}
|
||||
Gegeben sei das~\hyperref[eq:cp]{C\textc{auchy}-Problem}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\vec{u}'(t) = \underbrace{\begin{pmatrix} a & 1\\ 0 & a \end{pmatrix}}_{= A} y(t),\ a \in \RR,
|
||||
\qquad \vec{u}(t_0 = 0) = \vec{u}_0 = \begin{pmatrix}y_1\\ y_2\end{pmatrix}.
|
||||
\vec{u}'(t) = \underbrace{\begin{pmatrix} a & 1\\ 0 & a \end{pmatrix}}_{\eqqcolon A} \vec{u}(t),\ a \in \RR,
|
||||
\qquad \vec{u}_0 \coloneqq \vec{u}(t_0 = 0) = \begin{pmatrix}u_1\\ u_2\end{pmatrix}.
|
||||
\end{equation*}
|
||||
$A$ lässt sich zerlegen in eine Diagonalmatrix $D$ und nilpotente Matrix $N$:
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
@ -293,8 +293,8 @@ da ab einem $l \in \NN$ gilt, dass $N^l = N^{l+1} = \dots = 0$, d.h.
|
||||
&= \e^{t D + t N} \vec{u}_0
|
||||
&&= \e^{t D} \e^{t N} \vec{u}_0\\
|
||||
&= \begin{pmatrix} \e^{t a} & 0\\ 0 & \e^{t a} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & t\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \vec{u}_0
|
||||
&&= \begin{pmatrix} \e^{t a} & t \e^{t a}\\ 0 & \e^{t a} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}y_1\\ y_2\end{pmatrix}\\
|
||||
&= \begin{pmatrix} y_1 \e^{t a} + y_2 t \e^{t a}\\ y_2 \e^{t a} \end{pmatrix}
|
||||
&&= \begin{pmatrix} \e^{t a} (y_1 + y_2 t)\\ y_2 \e^{t a} \end{pmatrix}
|
||||
&&= \begin{pmatrix} \e^{t a} & t \e^{t a}\\ 0 & \e^{t a} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}u_1\\ u_2\end{pmatrix}\\
|
||||
&= \begin{pmatrix} u_1 \e^{t a} + u_2 t \e^{t a}\\ u_2 \e^{t a} \end{pmatrix}
|
||||
&&= \begin{pmatrix} \e^{t a} (u_1 + u_2 t)\\ u_2 \e^{t a} \end{pmatrix}
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
\end{example*}
|
||||
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