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\begin{definition}
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Seien $y_1,\dots,y_n: \RR \to \RR$ differenzierbar und $a_{jk} \in \RR$ für $j,k = 1,\dots,n$.
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Dann heißt
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\begin{equation*}
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\begin{aligned}
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y'_1(t) &= a_{11} y_1(t) + \dots + a_{1n} y_n(t)\\
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y'_2(t) &= a_{21} y_1(t) + \dots + a_{2n} y_n(t)\\
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&\vdots\\
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y'_n(t) &= a_{n1} y_1(t) + \dots + a_{nn} y_n(t)
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\end{aligned}
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\end{equation*}
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ein \emph{homogenes lineares Differentialgleichungssystem} (DGLS) (1. Ordnung).\\
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Das obige System lässt sich auch kompakt in der Form
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\begin{equation}\tag{DGLS}\label{eq:dgls}
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\vec{y}'(t) = A \vec{y}(t)
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\end{equation}
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schreiben, wobei $\vec{y}(t) = \begin{pmatrix} y_1(t)\\ \vdots\\ y_n(t) \end{pmatrix}, \vec{y}'(t) = \begin{pmatrix} y'_1(t)\\ \vdots\\ y'_n(t) \end{pmatrix}$
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und $A \in \RR^{n \times n}$
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\end{definition}
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\begin{definition}
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Ein~\ref{eq:dgls} zusammen mit einer Anfangsbedingung
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\begin{equation*}
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\vec{y}(t_0) = \vec{y}_0 \coloneqq \begin{pmatrix} y_{1_0}\\ \vdots\\ y_{n_0} \end{pmatrix} \in \RR^n
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\end{equation*}
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an einer Stelle $t_0 \in \RR$ nennt man ein \emph{C\textc{auchy}-Problem} oder \emph{Anfangswertproblem}.
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\end{definition}
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\begin{theorem}[Existenz und Eindeutigkeit]\label{thm:existenz-eindeutigkeit}
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Vorgelegt sei ein C\textc{auchy}-Problem
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\begin{equation}\tag{CP}\label{eq:cp}
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\vec{y}'(t) = A \vec{y}(t), \qquad \vec{y}(t_0) = \vec{y}_0 \coloneqq \begin{pmatrix} y_{1_0}\\ \vdots\\ y_{n_0} \end{pmatrix}.
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\end{equation}
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Dann besitzt~\eqref{eq:cp} eine eindeutig bestimmte Lösung $\vec{y}$ auf $\RR$ mit der Form
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\begin{equation}\tag{$\ast$}\label{eq:solution}
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\vec{y}(t) = e^{(t - t_0) A} \vec{y}_0.
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\end{equation}
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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\begin{itemize}
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\item \underline{Existenz:}\\
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Einsetzen von~\eqref{eq:solution} in die rechte Seite von~\eqref{eq:cp} liefert
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\begin{equation*}
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A \vec{y}(t) = A e^{(t - t_0) A} \vec{y}_0.
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\end{equation*}
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Zusammen mit~\eqref{*} folgt direkt, dass~\eqref{eq:solution} das C\textc{auchy}-Problem löst.
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\item \underline{Eindeutigkeit:}\\
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Angenommen $\vec{u}(t)$ sei eine weitere Lösung, d.h.~es gilt $\vec{u}' = A \vec{u},\ \vec{u}(t_0) = \vec{y}_0$.
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Dann ist
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\begin{align*}
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\dfdx{}{x} \left( \text{tbc.} \right)
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\end{align*}
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\end{itemize}
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\end{proof} |