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Die gewonnenen Erkenntnisse können nun dazu genutzt werden, um Lösungen für homogene lineare Differentialgleichungssysteme zu finden.
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\subsection{Diagonale Matrizen}\label{subsec:03-01}
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Zunächst werden diagonale Matrizen $A = \diag\{a_1,\dots,a_n\}$ betrachtet.
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Vorgegeben sei also eine Diagonalmatrix
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\begin{equation*}
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A = \diag\{a_1,\dots,a_n\}
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= \begin{pmatrix}
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a_1 & & \\
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& \ddots & \\
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& & a_3
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\end{pmatrix}.
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\end{equation*}
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Für ein~\ref{eq:dgls} liegen dann die $n$ unabhängigen Differentialgleichungen
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\begin{equation*}
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y'_i(x) = a_i y_i(x) \qquad (i = 1,\dots,n)
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\end{equation*}
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vor, deren Lösungen zu einem gegebenen Anfangswert $\vec{y}_0 = (y_{0_1},\dots,y_{0_n})^T$ durch
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\begin{equation*}
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y_i(x) = \e^{(x - x_0) a_i} y_{0_i} \qquad (i = 1,\dots,n)
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\end{equation*}
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gegeben sind.
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Mittels Matrixexponentialfunktion lässt sich die Lösung also durch
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\begin{equation*}
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\vec{y}(x) = \e^{(x - x_0) A}
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= \begin{pmatrix}
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\e^{(x - x_0) a_1} & & \\
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& \ddots & \\
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& & \e^{(x - x_0) a_n}
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\end{pmatrix}
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\end{equation*}
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angeben.
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\subsection{Diagonalisierbare Matrizen}\label{subsec:03-02}
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Das Lösen eines~\ref{eq:dgls} mit einer diagonalisierbaren Koeffizientenmatrix $A$ kann auf den obigen Fall der~\nameref{subsec:03-01}
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zurückgeführt werden.
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Dazu wird $A$ durch eine Diagonalmatrix $L = \diag\{\lambda_1,\dots,\lambda_n\}$ aus den Eigenwerten $\lambda_i$ ($i = 1,\dots,n$)
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und durch die Matrix $V$ der zugehörigen Eigenvektoren mit
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\begin{equation*}
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A = V L V^{-1}
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\end{equation*}
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dargestellt.
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\begin{theorem}\label{thm:diagbar-cp-solution}
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Sei $A = V L V^{-1}$ eine diagonalisierbare Matrix mit $L = \diag\{\lambda_1,\dots,\lambda_n\}$,
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wobei $\lambda_i$ ($i = 1,\dots,n$) die Eigenwerte und $V$ die Matrix mit den zugehörigen Eigenvektoren von $A$ sind.
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Dann ist die Lösung eines~\hyperref[eq:cp]{C\textc{auchy}-Problems}
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\begin{gather*}
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\vec{y}'(x) = A \vec{y}(x) = V L V^{-1} \vec{y}(x), \qquad \vec{y}_0 = (y_{1_0},\dots,y_{n_0})^T\\
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\intertext{durch}
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\begin{aligned}
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\vec{y}(x)
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&= V \e^{(x - x_0) L} V^{-1} \vec{y}_0\\
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\big( &= \left. V \diag\left\{\e^{(x - x_0) \lambda_1}, \dots,\e^{(x - x_0) \lambda_n}\right\} V^{-1} \right)
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\end{aligned}
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\end{gather*}
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gegeben.
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Das~\ref{eq:dgls}
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\begin{gather*}
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\vec{y}'(x) = V L V^{-1} \vec{y}(x)\\
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\intertext{lässt sich zu}
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V^{-1} \vec{y}'(x) = L V^{-1} \vec{y}(x).
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\end{gather*}
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umformen.
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Durch Substitution von $\vec{u} = V^{-1} \vec{y}$ ergibt sich das~\ref{eq:dgls}
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\begin{equation}\tag{$\triangle$}\label{eq:03-02-01}
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\vec{u}'(x) = L \vec{u}(x), \qquad \vec{u}_0 \coloneqq \vec{u}(x_0) = V^{-1} \vec{y}(x_0) = V^{-1} \vec{y}_0.
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\end{equation}
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Da $L$ eine Diagonalmatrix ist, folgt mit~\autoref{subsec:03-01}, dass
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\begin{equation*}
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\vec{u}(x) = \e^{(x - x_0) L} \vec{u}_0
|
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\end{equation*}
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die Lösung von~\eqref{eq:03-02-01} ist.
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Rücksubstitution ergibt schließlich die Lösung
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\begin{alignat*}{2}
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&& \vec{u}(x) &= \e^{(x - x_0) L} \vec{u}_0\\
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\Leftrightarrow\quad && V^{-1} \vec{y} &= \e^{(x - x_0) L} V^{-1} \vec{y}_0\\
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|
\Leftrightarrow\quad && \vec{y} &= V \e^{(x - x_0) L} V^{-1} \vec{y}_0.
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\end{alignat*}
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\end{proof}
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\begin{corollary}
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Sei $A$ diagonalisierbar mit $A = V L V^{-1}$.
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Dann gilt für die Matrixexponentialfunktion
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\begin{equation*}
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\e^{A} = V \e^{L} V^{-1}.
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\end{equation*}
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\end{corollary}
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\begin{proof}
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Zuerst wird gezeigt, dass $A^k = V L^k V^{-1}$ für $k \in \NN$:
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\begin{alignat*}{2}
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A^k &= (V L V^{-1})^k &&= \underbrace{(V L V^{-1}) (V L V^{-1}) (V L V^{-1}) \dots (V L V^{-1})}_{k \text{-mal}}\\
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|
&= V L \underbrace{(V^{-1} V)}_{E} L \underbrace{(V^{-1} V)}_{E} \dots \underbrace{(V^{-1} V)}_{E} L V^{-1} &&= V \underbrace{L \cdots L}_{k \text{-mal}} V^{-1}\\
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|
&= V L^k V^{-1}
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|
\end{alignat*}
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Damit folgt dann für die Matrixexponentialfunktion
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\begin{alignat*}{2}
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\e^{A} &= \e^{V L V^{-1}} &&= \sum^\infty_{k=0} \frac{(V L V^{-1})^k}{k!}\\
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|
&= \sum^\infty_{k=0} \frac{V L^k V^{-1}}{k!} &&= V \left( \sum^\infty_{k=0} \frac{L^k}{k!} \right) V^{-1}\\
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&= V e^L V^{-1}
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|
\end{alignat*}
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\end{proof}
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\emph{Bemerkung:} \hyperref[thm:diagbar-cp-solution]{Folgerung~\ref*{thm:diagbar-cp-solution}} lässt sich leicht ersichtlich auf einen allgemeinen Fall von ähnlichen Matrizen $A = S B S^{-1}$ übertragen, d.h.
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\begin{equation*}
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\e^A = \e^{S B S^{-1}} = S \e^B S^{-1}.
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\end{equation*}
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\subsection{Nicht-diagonalisierbare Matrizen}\label{subsec:03-03}
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Jede Matrix $A$ lässt sich auf eine \emph{J\textc{ordan}-Normalform} $J = V^{-1} A V$ bringen.
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Eine J\textc{ordan}-Normalform $J$ ist eine Blockdiagonalmatrix der Form
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\begin{gather*}
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J = \begin{pmatrix}
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J_1 & & \\
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|
& \ddots & \\
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|
& & J_n
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|
\end{pmatrix}\\
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\intertext{mit J\textc{ordan}-Kästchen}
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J_i = \begin{pmatrix}
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\lambda & 1 & & \\
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|
& \lambda & \ddots & \\
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|
& & \ddots & 1 \\
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|
& & & \lambda
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|
\end{pmatrix}
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|
\qquad (i = 1,\dots,n).
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\end{gather*}
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Das folgende \hyperref[thm:blockdiag-exp]{Lemma~\ref*{thm:blockdiag-exp}} lässt vermuten,
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dass die gewonnenen Erkenntnisse aus~\autoref{subsec:03-02} anwendbar sein könnten.
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\begin{lemma}\label{thm:blockdiag-exp}
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Sei $A \in \RR^{nd \times nd}$ eine Blockdiagonalmatrix
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\begin{equation*}
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A = \begin{pmatrix}
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|
A_1 & & \\
|
|
& \ddots & \\
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|
& & A_n
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|
\end{pmatrix},
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\end{equation*}
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mit quadratische Matrizen $A_1, \dots, A_n \in \RR^{d \times d}$.
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Dann gilt
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\begin{equation*}
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\e^A = \begin{pmatrix}
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|
\e^{A_1} & & \\
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|
& \ddots & \\
|
|
& & \e^{A_n}
|
|
\end{pmatrix}.
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|
\end{equation*}
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Es gilt
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\begin{equation*}
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|
A^k = \begin{pmatrix}
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|
A^k_1 & & \\
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|
& \ddots & \\
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|
& & A^k_n
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|
\end{pmatrix}.
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|
\end{equation*}
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|
Damit folgt dann
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\begin{alignat*}{2}
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\e^A
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|
&= \sum^\infty_{k=0} \frac{A^k}{k!}
|
|
&&= \sum^\infty_{k=0}
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|
\begin{pmatrix}
|
|
\frac{A^k_1}{k!} & & \\
|
|
& \ddots & \\
|
|
& & \frac{A^k_n}{k!}
|
|
\end{pmatrix}\\
|
|
&= \sum^\infty_{k=0}
|
|
\begin{pmatrix}
|
|
\frac{A^k_1}{k!} & & \\
|
|
& \ddots & \\
|
|
& & \frac{A^k_n}{k!}
|
|
\end{pmatrix}
|
|
&&= \begin{pmatrix}
|
|
\sum^\infty_{k=0} \frac{A^k_1}{k!} & & \\
|
|
& \ddots & \\
|
|
& & \sum^\infty_{k=0} \frac{A^k_n}{k!}
|
|
\end{pmatrix}\\
|
|
&= \begin{pmatrix}
|
|
\e^{A_1} & & \\
|
|
& \ddots & \\
|
|
& & \e^{A_n}
|
|
\end{pmatrix}
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|
\end{alignat*}
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\end{proof}
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Es ergeben sich also Lösungen eines gegebenen~\hyperref[eq:cp]{C\textc{auchy}-Problems} mit einer nicht-diagonalisierbaren Matrix $A = V J V^{-1}$ durch
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\begin{equation*}
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\vec{y}(x) = V \e^{(x - x_0) J} V^{-1} \vec{y}_0.
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\end{equation*}
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Zudem zeigt~\hyperref[thm:blockdiag-exp]{Lemma~\ref*{thm:blockdiag-exp}},
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dass sich die Berechnung von $\e^J$ auf die einzelnen $\e^{J_i}$ für $i = 1,\dots,n$ reduzieren lässt.\\
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Ein J\textc{ordan}-Kästchen $J_i$ lässt sich weiter zerlegen zu
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\begin{equation*}
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J_i = \begin{pmatrix}
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\lambda & 1 & & \\
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& \lambda & \ddots & \\
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& & \ddots & 1 \\
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|
& & & \lambda
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|
\end{pmatrix}
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= \underbrace{\begin{pmatrix}
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|
\lambda & & \\
|
|
& \ddots & \\
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|
& & \lambda
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\end{pmatrix}}_{= L}
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+ \underbrace{\begin{pmatrix}
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|
0 & 1 & & \\
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|
& 0 & \ddots & \\
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|
& & \ddots & 1 \\
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|
& & & 0
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\end{pmatrix}}_{\eqqcolon N}
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= L + N.
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\end{equation*}
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Dabei ist $N$ eine \emph{nilpotente} Matrix, d.h.\ es existiert ein $l \in \NN$ so, dass $N^l = 0$.
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Zudem kommutieren die Matrizen $L$ und $N$, da
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\begin{gather*}
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L N = (\lambda E) N = \lambda (EN) = \lambda (NE) = N (\lambda E) = N L,\\
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\intertext{weshalb}
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\e^{L + N} = \e^L \e^N
|
|
\end{gather*}
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|
gilt.
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Da $L$ eine Diagonalmatrix ist, ist die Lösung von $\e^L$ bereits aus~\autoref{subsec:03-01} bekannt.
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Für $N$ als nilpotente Matrix ergibt sich zudem eine endliche Summe bei der Berechnung von $\e^N$,
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da ab einem $l \in \NN$ gilt, dass $N^l = N^{l+1} = \dots = 0$, d.h.
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\begin{align*}
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\e^N &= \sum^\infty_{k=0} \frac{N^k}{k!}
|
|
= \sum^{l-1}_{k=0} \frac{N^k}{k!}
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= E + N + \frac{1}{2} N^2 + \dots + \frac{1}{(l-1)!} N^{l-1}\\
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|
&= E + N + \frac{1}{2} \begin{pmatrix}
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|
0 & 0 & 1 & & \\
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& \ddots & \ddots & \ddots & \\
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|
& & \ddots & \ddots & 1\\
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|
& & & \ddots & 0\\
|
|
& & & & 0
|
|
\end{pmatrix}
|
|
+ \dots + \frac{1}{(l-1)!} \begin{pmatrix}
|
|
0 & & 1\\
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|
& \ddots & \\
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|
& & 0
|
|
\end{pmatrix}\\
|
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&= \begin{pmatrix}
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1 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3!} & \dots & \frac{1}{(l-1)!}\\
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|
& 1 & 1 & \frac{1}{2} & \dots & \frac{1}{(l-2)!}\\
|
|
& & 1 & 1 & \dots & \vdots\\
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|
& & & 1 & \ddots & \frac{1}{2}\\
|
|
& & & & \ddots & 1\\
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& & & & & 1
|
|
\end{pmatrix}.
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|
\end{align*}
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Werden nun alle Erkenntnisse kombiniert, gilt für $\e^{J_i t}$ schließlich
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\begin{align*}
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\e^{J_i t} &= \e^{(L + N) t} = \e^{Lt + Nt} = \e^{Lt} \e^{Nt}\\
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&= \begin{pmatrix}
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\e^{\lambda t} & & \\
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|
& \ddots & \\
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|
& & \e^{\lambda t}
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|
\end{pmatrix}
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|
\begin{pmatrix}
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1 & t & \frac{t^2}{2} & \frac{t^3}{3!} & \dots & \frac{t^{l-1}}{(l-1)!}\\
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& 1 & t & \frac{t^2}{2} & \dots & \frac{t^{l-2}}{(l-2)!}\\
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& & 1 & x & \dots & \vdots\\
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& & & 1 & \ddots & \frac{t^2}{2}\\
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& & & & \ddots & t\\
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& & & & & 1
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|
\end{pmatrix}.
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\end{align*}
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Für die Lösung eines~\hyperref[eq:cp]{C\textc{auchy}-Problems} mit einer nicht-diagonalisierbaren Matrix $A = V J V^{-1}$,
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gilt insgesamt also
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\begin{align*}
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\vec{y}(x) &= V \e^{(x - x_0) J} V^{-1} \vec{y}_0\\
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&= V \begin{pmatrix}
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\e^{(x - x_0) J_1} & & \\
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& \ddots & \\
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& & \e^{(x - x_0) J_n}
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|
\end{pmatrix} V^{-1} \vec{y}_0\\
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&= V \begin{pmatrix}
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\e^{(x - x_0) L_1} \e^{(x - x_0) N} & & \\
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& \ddots & \\
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& & \e^{(x - x_0) L_n} \e^{(x - x_0) N}
|
|
\end{pmatrix} V^{-1} \vec{y}_0.
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\end{align*} |