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Niklas Birk 2025-01-29 23:05:06 +01:00
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docs/mathematik/mengenlehre/2_mengen.mdx
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@ -90,7 +90,7 @@ Weitere Beispiele sind:
Zwei Mengen sind gleich, wenn sie die gleichen Elemente besitzen: Zwei Mengen sind gleich, wenn sie die gleichen Elemente besitzen:
$$ $$
\begin{equation*} \begin{equation*}
A = B\ \coloneqq\ \forall x \colon x \in A \leftrightarrow x \in B A = B \coloneqq \forall x \colon x \in A \leftrightarrow x \in B
\end{equation*} \end{equation*}
$$ $$

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docs/mathematik/mengenlehre/relationen/1_kartesisches_produkt_relationen.mdx
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@ -14,7 +14,7 @@ möchte Mengen miteinander in eine gewisse Verbindung bringen, ohne sie einfach
Ein *geordnetes Paar* (*2-Tupel*) mit den Elementen $a$ und $b$ ist wie folgt als Menge definiert: Ein *geordnetes Paar* (*2-Tupel*) mit den Elementen $a$ und $b$ ist wie folgt als Menge definiert:
$$ $$
(a, b)\ \coloneqq\ \{ \overbrace{\{a, b\}}^{\text{Elemente des Tupels}}, \underbrace{\{a\}}_{\text{Erstes Element}} \} (a, b) \coloneqq \{ \overbrace{\{a, b\}}^{\text{Elemente des Tupels}}, \underbrace{\{a\}}_{\text{Erstes Element}} \}
$$ $$
::: :::
@ -58,7 +58,7 @@ Die Menge aller Tupel von Mengen nennt man *kartesisches Produkt*:
Seien $A$ und $B$ Mengen, dann ist das *kartesische Produkt* der Mengen $A$ und $B$ definiert als Seien $A$ und $B$ Mengen, dann ist das *kartesische Produkt* der Mengen $A$ und $B$ definiert als
$$ $$
A \times B\ \coloneqq\ \{ (a,b)\ |\ a \in A \wedge b \in B \} A \times B \coloneqq \{ (a,b)\ |\ a \in A \wedge b \in B \}
$$ $$
Mit Mit
@ -117,12 +117,12 @@ Es ist sinnvoll Mengen zu definieren, die nur die Elemente ersten oder die zweit
- *Definitionsbereich* von $R$: - *Definitionsbereich* von $R$:
$$ $$
D(R)\ \coloneqq\ \{ x\ |\ x \in A \wedge \exists y \in B \colon (x,y) \in R \} D(R) \coloneqq \{ x\ |\ x \in A \wedge \exists y \in B \colon (x,y) \in R \}
$$ $$
Der Definitionsbereich von $R$ umfasst also alle Elemente $x$ aus $A$, für die es ein $y$ aus $B$ gibt. Der Definitionsbereich von $R$ umfasst also alle Elemente $x$ aus $A$, für die es ein $y$ aus $B$ gibt.
- *Wertebereich* oder *Bild* von $R$: - *Wertebereich* oder *Bild* von $R$:
$$ $$
W(R)\ \coloneqq\ \{ y\ |\ y \in B \wedge \exists x \in A \colon (x,y) \in R \} W(R) \coloneqq \{ y\ |\ y \in B \wedge \exists x \in A \colon (x,y) \in R \}
$$ $$
Der Wertebereich oder das Bild von $R$ umfasst also alle Elemente $y$ aus $B$, für die es ein $x$ aus $A$ gibt. Der Wertebereich oder das Bild von $R$ umfasst also alle Elemente $y$ aus $B$, für die es ein $x$ aus $A$ gibt.
@ -172,7 +172,7 @@ und möchte dies formal ausdrücken bzw. aufschreiben, ohne dabei immer die Tupe
Sei $R$ Relation. Sei $R$ Relation.
$$ $$
R(x)\ \coloneqq\ \{ y\ |\ y \in B \wedge (x,y) \in R \} R(x) \coloneqq \{ y\ |\ y \in B \wedge (x,y) \in R \}
$$ $$
::: :::
@ -201,7 +201,7 @@ Relationsbezeichnung in die Mitte:
Sei $R$ Relation. Sei $R$ Relation.
$$ $$
x R y\ \coloneqq\ (x,y) \in R x R y \coloneqq (x,y) \in R
$$ $$
::: :::
@ -227,7 +227,7 @@ Man kann auch zwei Relationen kombinieren, sofern diese *in* und *aus* den gleic
Seien $R \subseteq A \times B$ und $K \subseteq B \times C$ Relationen. Seien $R \subseteq A \times B$ und $K \subseteq B \times C$ Relationen.
Dann ist die Verkettung von $R$ mit $K$ definiert als: Dann ist die Verkettung von $R$ mit $K$ definiert als:
$$ $$
R \circ K\ \coloneqq\ \{ (x,z)\ |\ \exists y \in B \colon (x,y) \in R \wedge (y,z) \in K \} R \circ K \coloneqq \{ (x,z)\ |\ \exists y \in B \colon (x,y) \in R \wedge (y,z) \in K \}
$$ $$
Also ist $R \circ K \subseteq A \times C$. Also ist $R \circ K \subseteq A \times C$.
@ -260,7 +260,7 @@ Das heißt, wenn $x$ mit $y$ in Relation steht, also $(x,y) \in R$, dann ist das
Gegeben sei $R \subseteq A \times B$ Gegeben sei $R \subseteq A \times B$
$$ $$
R^{-1}\ \coloneqq\ \{(y,x)\ |\ (x,y) \in R \} \subset B \times A R^{-1} \coloneqq \{(y,x)\ |\ (x,y) \in R \} \subset B \times A
$$ $$
ist die *inverse Relation* zu $R$. ist die *inverse Relation* zu $R$.

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docs/mathematik/mengenlehre/relationen/2_abbildungen.mdx
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@ -32,7 +32,7 @@ Bei der Eindeutigkeit ist es egal, wie viele Pfeile rechts auf ein Element zugeh
:::note Abbildung / Funktion :::note Abbildung / Funktion
$f$ ist *Abbildung* oder *Funktion* von $A$ in $B$ $\coloneqq$ $f$ ist *Abbildung* oder *Funktion* von $A$ in $B$ $:\Leftrightarrow$
- $f$ ist Relation, also $f \subseteq A \times B$ - $f$ ist Relation, also $f \subseteq A \times B$
- $D(f) = A$, also $f$ ist Relation *__von__ $A$ in $B$* - $D(f) = A$, also $f$ ist Relation *__von__ $A$ in $B$*
- $f$ ist eindeutig - $f$ ist eindeutig
@ -75,7 +75,7 @@ dann schreibt man Abbildungen so:
$$ $$
f \colon A \rightarrow B,\ x \mapsto f(x) f \colon A \rightarrow B,\ x \mapsto f(x)
\qquad\qquad\text{oder}\qquad\qquad \qquad\qquad\text{oder}\qquad\qquad
f: \begin{cases} f \colon \begin{cases}
A \rightarrow B\\ A \rightarrow B\\
x \mapsto f(x) x \mapsto f(x)
\end{cases} \end{cases}
@ -86,7 +86,7 @@ wobei anstelle $f(x)$ dann z.B. eine *Funktionsgleichung* tritt.
#### Beispiele #### Beispiele
- $f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},\ x \mapsto x^2 \quad$ für eine Parabel - $f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},\ x \mapsto x^2 \quad$ für eine Parabel
- $f: \begin{cases} - $f \colon \begin{cases}
\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}\\ \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}\\
x \mapsto \sqrt{x} x \mapsto \sqrt{x}
\end{cases} \quad$ für Wurzeln von natürlichen Zahlen \end{cases} \quad$ für Wurzeln von natürlichen Zahlen
@ -95,7 +95,7 @@ Es werden noch mehr unterschiedliche Darstellungsformen für Funktionen auftauch
Bis dahin sollten einem die Begriffe allerdings so vertraut vorkommen, dass eine genaue Definition oder Einführung nicht notwendig ist. Bis dahin sollten einem die Begriffe allerdings so vertraut vorkommen, dass eine genaue Definition oder Einführung nicht notwendig ist.
## Grundlegende Eigenschaften von Funktionen ## Grundlegende Eigenschaften von Funktionen
Die *Verkettung*, oder auch *Komposition*, $f \circ g: A \rightarrow C$ von Funktionen $f \colon A \rightarrow B$ und $g \colon B \rightarrow C$ ist wieder eine Funktion. Die *Verkettung*, oder auch *Komposition*, $f \circ g \colon A \rightarrow C$ von Funktionen $f \colon A \rightarrow B$ und $g \colon B \rightarrow C$ ist wieder eine Funktion.
Für die Komposition gilt $f \circ g = g(f(x))$. Für die Komposition gilt $f \circ g = g(f(x))$.
In anderer Literatur kann es sein, dass die Komposition anders definiert ist und dann $f \circ g = f(g(x))$ gilt. In anderer Literatur kann es sein, dass die Komposition anders definiert ist und dann $f \circ g = f(g(x))$ gilt.
@ -135,10 +135,10 @@ Welche Rolle bijektive Abbildungen bei der *Kardinalität* ("Größe") von Menge
#### Beispiele #### Beispiele
Gegeben sei $f \colon \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N},\ n \mapsto f(n)$. Gegeben sei $f \colon \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N},\ n \mapsto f(n)$.
Betrachten verschiedene Funktionsgleichungen für $f(n)$: Betrachten verschiedene Funktionsgleichungen für $f(n)$:
- $f(n)\ \coloneqq\ n+1 \quad$ (*Nachfolgerfunktion*) ist injektiv, aber nicht surjektiv, da $0 \notin W(f)$ - $f(n) \coloneqq n+1 \quad$ (*Nachfolgerfunktion*) ist injektiv, aber nicht surjektiv, da $0 \notin W(f)$
- $f(n)\ \coloneqq \begin{cases} \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor & n \text{ gerade}\\ 0 & n \text{ ungerade} \end{cases} \quad$ ist surjektiv, - $f(n)\ \coloneqq \begin{cases} \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor & n \text{ gerade}\\ 0 & n \text{ ungerade} \end{cases} \quad$ ist surjektiv,
aber nicht injektiv, da z.B. $f(1) = f(3) = 0$ aber nicht injektiv, da z.B. $f(1) = f(3) = 0$
- $f(n)\ \coloneqq\ n \quad$ (*identische Abbildung*) ist injektiv, surjektiv und damit auch bijektiv - $f(n) \coloneqq n \quad$ (*identische Abbildung*) ist injektiv, surjektiv und damit auch bijektiv
Gegeben sei $f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},\ x \mapsto x^2$, also eine Parabelfunktion. Gegeben sei $f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},\ x \mapsto x^2$, also eine Parabelfunktion.
$f$ ist weder injektiv, noch surjektiv. $f$ ist weder injektiv, noch surjektiv.
@ -196,10 +196,10 @@ Formal lässt sich das so auffassen:
Gegeben seien eine Abbildung $f \colon A \rightarrow B$ und die Teilmengen $X \subseteq A$ und $Y \subseteq B$. Gegeben seien eine Abbildung $f \colon A \rightarrow B$ und die Teilmengen $X \subseteq A$ und $Y \subseteq B$.
$\widehat{f}(X)\ \coloneqq\ \{ y\ |\ y \in B \wedge \exists x \in X \colon f(x) = y \}$ $\widehat{f}(X) \coloneqq \{ y\ |\ y \in B \wedge \exists x \in X \colon f(x) = y \}$
heißt *Erweiterung* von $f$ auf $\mathcal{P}(A)$. heißt *Erweiterung* von $f$ auf $\mathcal{P}(A)$.
$\widehat{f^{-1}}(Y)\ \coloneqq\ \{ x\ |\ x \in A \wedge f(x) \in Y \}$ $\widehat{f^{-1}}(Y) \coloneqq \{ x\ |\ x \in A \wedge f(x) \in Y \}$
heißt *Erweiterung* von $\underbrace{f^{-1}}_{\substack{\text{Inverse Relation}\\\text{i.A. keine Abbildung}}}$ auf $\mathcal{P}(B)$. heißt *Erweiterung* von $\underbrace{f^{-1}}_{\substack{\text{Inverse Relation}\\\text{i.A. keine Abbildung}}}$ auf $\mathcal{P}(B)$.
::: :::