Replaced := with \coloneqq and : with \colon in math

docs/mathematik/mengenlehre/1_logik.mdx

@@ -476,12 +476,12 @@ Aussagenformen wurden bereits in der [Aussagenlogik](#syntax)) oben eingeführt,
 Das Zusammensetzen von Aussagen(-formen) mit den entsprechenden Junktoren ist analog zur Aussagenlogik.
 
 #### Beispiele
-Sei $G = \mathbb{N}$ Grundbereich und $A(n) := ``n + 1 = 3''$ Aussagenform.
+Sei $G = \mathbb{N}$ Grundbereich und $A(n) \coloneqq ``n + 1 = 3''$ Aussagenform.
 Durch Ersetzen der Variable $n$ durch ein Objekt aus $G$, hier also einer natürlichen Zahl, wird $A(x)$ zu einer Aussage:
-- Für $n = 1$ ist $A(1) := ``1 + 1 = 3''$ eine falsche Aussage.
-- Für $n = 2$ ist $A(2) := ``2 + 1 = 3''$ eine wahre Aussage.
+- Für $n = 1$ ist $A(1) \coloneqq ``1 + 1 = 3''$ eine falsche Aussage.
+- Für $n = 2$ ist $A(2) \coloneqq ``2 + 1 = 3''$ eine wahre Aussage.
 
-Sei $G$ die Menge aller Lebewesen und $Mensch(x) := ``x \text{ ist ein Mensch}''$ eine Aussagenform.
+Sei $G$ die Menge aller Lebewesen und $Mensch(x) \coloneqq ``x \text{ ist ein Mensch}''$ eine Aussagenform.
 In der Prädikatenlogik nennt man solche Aussagenformen ein *Prädikat*.
 $Mensch(AngelaMerkel)$, sprich "Angela Merkel ist ein Mensch", ist eine wahre Aussage,
 während $Mensch(Grumpy Cat)$, sprich "Grumpy Cat ist ein Mensch" eine falsche Aussage ist.
@@ -507,12 +507,12 @@ Eine Aussagenform wurde erst zu einer Aussage, wenn wir die Variablen durch ein
 Durch ein Quantor ist eine Aussagenform direkt eine Aussage:
 
 #### Beispiele
-Sei $G = \mathbb{N}$ Grundbereich und $H(x) := ``x + 1 = 3''$ Aussagenform.
+Sei $G = \mathbb{N}$ Grundbereich und $H(x) \coloneqq ``x + 1 = 3''$ Aussagenform.
 Durch Quantifizierung entstehen folgende Aussagen:
 - $\forall x (x + 1 = 3)$ - "Für alle $x$ aus $G$ gilt $x + 1 = 3$" ist eine falsche Aussage.
 - $\exists x (x + 1 = 3)$ - "Es existiert ein $x$ aus $G$ mit $x + 1 = 3$" ist eine wahre Aussage.
 
-Sei $G = \mathbb{N}$ und $H(x) := ``2x \ge x''$.
+Sei $G = \mathbb{N}$ und $H(x) \coloneqq ``2x \ge x''$.
 Durch Quantifizierung entstehen folgende Aussagen:
 - $\forall x (2x \ge x)$ - "Für alle $x$ aus $G$ gilt $2x \ge x$" ist eine wahre Aussage.
 - $\exists x (2x \ge x)$ - "Es existiert ein $x$ aus $G$ mit $2x \ge x$" ist eine wahre Aussage.
@@ -522,13 +522,13 @@ Im Beispiel sieht man, dass mehrere $x$ die letzte Aussage erfüllen.
 Möchte man dagegen deutlich machen, dass **genau** ein $x$ existiert, dann schreibt man das $\exists ! x (H(x))$.
 Damit wäre $\exists ! x (2x \ge x)$ eine falsche Aussage, da jedes $x$ das oben definierte $H(x)$ erfüllt.
 
-Sei $G = \mathbb{Z}$ und $H(x) := ``2x \ge x''$.
+Sei $G = \mathbb{Z}$ und $H(x) \coloneqq ``2x \ge x''$.
 $\forall x (2x \ge x)$ ist nun eine falsche Aussage, da sich der Grundbereich geändert hat.
 Dagegen ist $\forall x (x \in \mathbb{N} \rightarrow 2x \ge x)$ wieder wahr.
 Statt dieser Schreibweise findet man häufig folgende unexakte Schreibweisen für solche Aussagen:
 $$
 \begin{equation*}
-    \forall x \in \mathbb{N}:\ 2x \ge x
+    \forall x \in \mathbb{N} \colon 2x \ge x
 \end{equation*}
 $$
 
@@ -537,12 +537,12 @@ diese durch eine konkrete Aussage ersetzt wurden.
 Folgende Beispiele sind nur Aussagenformen, da nicht alle Variablen gebunden vorkommen.
 Sei $G = \mathbb{Z}$.
 - $x + y = 0$
-- $\forall x:\ x + y = 0$
+- $\forall x \colon x + y = 0$
 
 Dagegen sind sie quantifiziert oder ersetzt bspw. folgende Aussagen:
-- $\forall x:\ x + 1 = 0$ ist falsch.
-- $\forall x\ \exists y:\ x + y = 0$ ist wahr.
-- $\exists y\ \forall x:\ x + y = 0$ ist falsch.
+- $\forall x \colon x + 1 = 0$ ist falsch.
+- $\forall x\ \exists y \colon x + y = 0$ ist wahr.
+- $\exists y\ \forall x \colon x + y = 0$ ist falsch.
 
 Am letzten Beispiel erkennt man, dass die Reihenfolge der Quantoren eine wichtige Rolle spielt:
 Die Aussage "Für alle $x$ gibt es ein $y$ \[...\]" ist eine grundlegend andere Aussage als "Es gibt ein y für alle x \[...\]".