Replaced := with \coloneqq and : with \colon in math
This commit is contained in:
@ -14,7 +14,7 @@ möchte Mengen miteinander in eine gewisse Verbindung bringen, ohne sie einfach
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Ein *geordnetes Paar* (*2-Tupel*) mit den Elementen $a$ und $b$ ist wie folgt als Menge definiert:
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$$
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(a, b)\ :=\ \{ \overbrace{\{a, b\}}^{\text{Elemente des Tupels}}, \underbrace{\{a\}}_{\text{Erstes Element}} \}
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(a, b)\ \coloneqq\ \{ \overbrace{\{a, b\}}^{\text{Elemente des Tupels}}, \underbrace{\{a\}}_{\text{Erstes Element}} \}
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$$
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:::
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@ -58,13 +58,13 @@ Die Menge aller Tupel von Mengen nennt man *kartesisches Produkt*:
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Seien $A$ und $B$ Mengen, dann ist das *kartesische Produkt* der Mengen $A$ und $B$ definiert als
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$$
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A \times B\ :=\ \{ (a,b)\ |\ a \in A \wedge b \in B \}
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A \times B\ \coloneqq\ \{ (a,b)\ |\ a \in A \wedge b \in B \}
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$$
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Mit
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- $A^0 := \{ \emptyset \}$
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- $A^1 := A$
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- $A^{n+1} := A^n \times A$
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- $A^0 \coloneqq \{ \emptyset \}$
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- $A^1 \coloneqq A$
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- $A^{n+1} \coloneqq A^n \times A$
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erhalten wir die *n-fache kartesische Potenz*.
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@ -77,7 +77,7 @@ Daraus können wir nun eine Teilmenge betrachten.
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:::note Relation
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Seien $A$, $B$ Mengen.
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Man nennt $R$ *Relation* oder *Korrespondenz* __aus__ $A$ __in__ $B$ $:=\ R \subseteq A \times B$
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Man nennt $R$ *Relation* oder *Korrespondenz* __aus__ $A$ __in__ $B$ $\coloneqq\ R \subseteq A \times B$
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@ -117,12 +117,12 @@ Es ist sinnvoll Mengen zu definieren, die nur die Elemente ersten oder die zweit
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- *Definitionsbereich* von $R$:
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$$
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D(R)\ :=\ \{ x\ |\ x \in A \wedge \exists y \in B:\ (x,y) \in R \}
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D(R)\ \coloneqq\ \{ x\ |\ x \in A \wedge \exists y \in B \colon (x,y) \in R \}
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$$
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Der Definitionsbereich von $R$ umfasst also alle Elemente $x$ aus $A$, für die es ein $y$ aus $B$ gibt.
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- *Wertebereich* oder *Bild* von $R$:
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$$
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W(R)\ :=\ \{ y\ |\ y \in B \wedge \exists x \in A:\ (x,y) \in R \}
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W(R)\ \coloneqq\ \{ y\ |\ y \in B \wedge \exists x \in A \colon (x,y) \in R \}
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$$
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Der Wertebereich oder das Bild von $R$ umfasst also alle Elemente $y$ aus $B$, für die es ein $x$ aus $A$ gibt.
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@ -159,9 +159,9 @@ Je nachdem, ob der Definitions- oder Wertebereich die gesamte Menge $A$ bzw. $B$
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:::note Sprechweisen
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$R$ ist Relation
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- "*__von__* $A$ *in* $B$" $:=\ D(R) = A$
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- "*aus* $A$ *__auf__* $B$" $:=\ W(R) = B$
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- "*__von__* $A$ *__auf__* $B$" $:=\ D(R) = A \wedge W(R) = B$
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- "*__von__* $A$ *in* $B$" $\coloneqq\ D(R) = A$
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- "*aus* $A$ *__auf__* $B$" $\coloneqq\ W(R) = B$
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- "*__von__* $A$ *__auf__* $B$" $\coloneqq\ D(R) = A \wedge W(R) = B$
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@ -172,7 +172,7 @@ und möchte dies formal ausdrücken bzw. aufschreiben, ohne dabei immer die Tupe
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Sei $R$ Relation.
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$$
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R(x)\ :=\ \{ y\ |\ y \in B \wedge (x,y) \in R \}
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R(x)\ \coloneqq\ \{ y\ |\ y \in B \wedge (x,y) \in R \}
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$$
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@ -201,7 +201,7 @@ Relationsbezeichnung in die Mitte:
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Sei $R$ Relation.
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$$
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x R y\ :=\ (x,y) \in R
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x R y\ \coloneqq\ (x,y) \in R
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$$
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@ -227,7 +227,7 @@ Man kann auch zwei Relationen kombinieren, sofern diese *in* und *aus* den gleic
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Seien $R \subseteq A \times B$ und $K \subseteq B \times C$ Relationen.
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Dann ist die Verkettung von $R$ mit $K$ definiert als:
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$$
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R \circ K\ :=\ \{ (x,z)\ |\ \exists y \in B:\ (x,y) \in R \wedge (y,z) \in K \}
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R \circ K\ \coloneqq\ \{ (x,z)\ |\ \exists y \in B \colon (x,y) \in R \wedge (y,z) \in K \}
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$$
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Also ist $R \circ K \subseteq A \times C$.
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@ -260,7 +260,7 @@ Das heißt, wenn $x$ mit $y$ in Relation steht, also $(x,y) \in R$, dann ist das
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Gegeben sei $R \subseteq A \times B$
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$$
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R^{-1}\ :=\ \{(y,x)\ |\ (x,y) \in R \} \subset B \times A
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R^{-1}\ \coloneqq\ \{(y,x)\ |\ (x,y) \in R \} \subset B \times A
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$$
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ist die *inverse Relation* zu $R$.
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@ -301,9 +301,9 @@ $$
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\begin{alignat*}{2}
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\quad && &(z,x) \in (R \circ K)^{-1}\\
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\overset{\text{Def. } \square^{-1}}{\Longleftrightarrow}\quad && &(x,z) \in R \circ K\\
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||||
\overset{\text{Def. } \circ}{\Longleftrightarrow}\quad && &\exists y:\ (x,y) \in R \wedge (y,z) \in K\\
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||||
\overset{\text{Def. } \square^{-1}}{\Longleftrightarrow}\quad && &\exists y:\ (y,x) \in R^{-1} \wedge (z,y) \in K^{-1}\\
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||||
\overset{\text{Kom. } \wedge}{\Longleftrightarrow}\quad && &\exists y:\ (z,y) \in K^{-1} \wedge (y,x) \in R^{-1}\\
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||||
\overset{\text{Def. } \circ}{\Longleftrightarrow}\quad && &\exists y \colon (x,y) \in R \wedge (y,z) \in K\\
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||||
\overset{\text{Def. } \square^{-1}}{\Longleftrightarrow}\quad && &\exists y \colon (y,x) \in R^{-1} \wedge (z,y) \in K^{-1}\\
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||||
\overset{\text{Kom. } \wedge}{\Longleftrightarrow}\quad && &\exists y \colon (z,y) \in K^{-1} \wedge (y,x) \in R^{-1}\\
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||||
\overset{\text{Def. } \circ}{\Longleftrightarrow}\quad && &(z,x) \in K^{-1} \circ R^{-1}
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\qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare
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\end{alignat*}
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@ -15,7 +15,7 @@ Bevor wir uns den Abbildungen widmen, definieren wir die Eindeutigkeit:
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Eine Relation $R \subseteq A \times B$ ist *eindeutig*, wenn
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$$
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\forall x \in A\ \forall y, y' \in B:\ (x,y) \in R \wedge (x,y') \in R \rightarrow y = y'
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\forall x \in A\ \forall y, y' \in B \colon (x,y) \in R \wedge (x,y') \in R \rightarrow y = y'
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$$
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:::
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@ -32,18 +32,18 @@ Bei der Eindeutigkeit ist es egal, wie viele Pfeile rechts auf ein Element zugeh
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:::note Abbildung / Funktion
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$f$ ist *Abbildung* oder *Funktion* von $A$ in $B$ $:=$
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$f$ ist *Abbildung* oder *Funktion* von $A$ in $B$ $\coloneqq$
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- $f$ ist Relation, also $f \subseteq A \times B$
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- $D(f) = A$, also $f$ ist Relation *__von__ $A$ in $B$*
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- $f$ ist eindeutig
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Mathematisch-logisch aufgeschrieben:
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$$
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\forall x \in A\ \exists ! y \in B:\ (x,y) \in A \times B
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\forall x \in A\ \exists ! y \in B \colon (x,y) \in A \times B
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$$
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:::
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Man schreibt dafür: $f:\ A \rightarrow B$.
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Man schreibt dafür: $f \colon A \rightarrow B$.
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Statt $R(x) = \{y\}$ wie bei normalen Relationen, schreibt man verkürzt $f(x) = y$, da das $y$ ja nun eindeutig ist.
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Eine Funktion ordnet also jedem Element aus $A$ genau ein $y$ aus $B$ zu.
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@ -56,12 +56,12 @@ Eine Abbildung oder eine Funktion einer Menge $A$ in eine Menge $B$ ordnet jedem
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Bei dieser Definition wird komplett auf die mengentheoretische Begriffe wie *geordnetes Paar* oder auch *Relation* verzichtet.
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Erst aufbauend darauf wird dann mengentheoretisch der *Graph der Funktion* definiert als $G_f := \{(x,f(x))\ |\ x \in A \wedge f(x) \in B\} \subseteq A \times B$.
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Erst aufbauend darauf wird dann mengentheoretisch der *Graph der Funktion* definiert als $G_f \coloneqq \{(x,f(x))\ |\ x \in A \wedge f(x) \in B\} \subseteq A \times B$.
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Aus mengentheoretischer Sicht stimmen in diesen Fällen die Begriffe "Funktion" und "Graph der Funktion" überein.
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#### Beispiele
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Gegeben seien $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ und $B = \{a, b, c, d\}$.
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Eine Abbildung $f:\ A \rightarrow B$ können dann sein:
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Eine Abbildung $f \colon A \rightarrow B$ können dann sein:
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- $f = \{(1,b)\}$
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- $f = \{(1,a), (2,b), (3,b), (4,d)\}$
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- $f = \{(1,b), (2,c), (3,d), (4,a), (5,b)\}$
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@ -73,7 +73,7 @@ dann schreibt man Abbildungen so:
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:::note Schreibweisen
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$$
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f:\ A \rightarrow B,\ x \mapsto f(x)
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f \colon A \rightarrow B,\ x \mapsto f(x)
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\qquad\qquad\text{oder}\qquad\qquad
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f: \begin{cases}
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A \rightarrow B\\
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@ -85,7 +85,7 @@ wobei anstelle $f(x)$ dann z.B. eine *Funktionsgleichung* tritt.
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#### Beispiele
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- $f:\ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},\ x \mapsto x^2 \quad$ für eine Parabel
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- $f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},\ x \mapsto x^2 \quad$ für eine Parabel
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- $f: \begin{cases}
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\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}\\
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x \mapsto \sqrt{x}
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@ -95,7 +95,7 @@ Es werden noch mehr unterschiedliche Darstellungsformen für Funktionen auftauch
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Bis dahin sollten einem die Begriffe allerdings so vertraut vorkommen, dass eine genaue Definition oder Einführung nicht notwendig ist.
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## Grundlegende Eigenschaften von Funktionen
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Die *Verkettung*, oder auch *Komposition*, $f \circ g: A \rightarrow C$ von Funktionen $f:\ A \rightarrow B$ und $g:\ B \rightarrow C$ ist wieder eine Funktion.
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Die *Verkettung*, oder auch *Komposition*, $f \circ g: A \rightarrow C$ von Funktionen $f \colon A \rightarrow B$ und $g \colon B \rightarrow C$ ist wieder eine Funktion.
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Für die Komposition gilt $f \circ g = g(f(x))$.
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In anderer Literatur kann es sein, dass die Komposition anders definiert ist und dann $f \circ g = f(g(x))$ gilt.
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@ -106,9 +106,9 @@ Zwei Funktionen $f$ und $g$ sind gleich $f=g$, wenn für alle $x$ gilt $f(x) = g
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:::note Injektivität, Surjektivität, Bijektivität
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Sei $f: A \rightarrow B$ eine Funktion.
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- $f$ heißt *injektiv* (*eineindeutig*) $:=\ \forall x,x' \in A:\ f(x) = f(x') \rightarrow x = x'$
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- $f$ heißt *surjektiv* (*Abbildung auf $B$*) $:=\ \forall y \in B\ \exists x \in A:\ f(x) = y$
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- $f$ heißt *bijektiv* (*eineindeutige Abbildung auf $B$*) $:=\ f$ ist injektiv und surjektiv
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- $f$ heißt *injektiv* (*eineindeutig*) $\coloneqq\ \forall x,x' \in A \colon f(x) = f(x') \rightarrow x = x'$
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- $f$ heißt *surjektiv* (*Abbildung auf $B$*) $\coloneqq\ \forall y \in B\ \exists x \in A \colon f(x) = y$
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- $f$ heißt *bijektiv* (*eineindeutige Abbildung auf $B$*) $\coloneqq\ f$ ist injektiv und surjektiv
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:::
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*Injektivität* bedeutet, dass jedes $y$ aus der Bildmenge *höchstens einmal* abgebildet wird.
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@ -133,21 +133,21 @@ Dass dabei $A$ und $B$ gleich viele Elemente haben müssen ist kein Zufall.
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Welche Rolle bijektive Abbildungen bei der *Kardinalität* ("Größe") von Mengen haben, wird im Kapitel [Endlichkeit und Kardinalzahlen](../endlichkeit) erklärt.
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#### Beispiele
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Gegeben sei $f:\ \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N},\ n \mapsto f(n)$.
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Gegeben sei $f \colon \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N},\ n \mapsto f(n)$.
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Betrachten verschiedene Funktionsgleichungen für $f(n)$:
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- $f(n)\ :=\ n+1 \quad$ (*Nachfolgerfunktion*) ist injektiv, aber nicht surjektiv, da $0 \notin W(f)$
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- $f(n)\ := \begin{cases} \lfloor \frac{n}{2} \rfloor & n \text{ gerade}\\ 0 & n \text{ ungerade} \end{cases} \quad$ ist surjektiv,
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- $f(n)\ \coloneqq\ n+1 \quad$ (*Nachfolgerfunktion*) ist injektiv, aber nicht surjektiv, da $0 \notin W(f)$
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- $f(n)\ \coloneqq \begin{cases} \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor & n \text{ gerade}\\ 0 & n \text{ ungerade} \end{cases} \quad$ ist surjektiv,
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aber nicht injektiv, da z.B. $f(1) = f(3) = 0$
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- $f(n)\ :=\ n \quad$ (*identische Abbildung*) ist injektiv, surjektiv und damit auch bijektiv
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- $f(n)\ \coloneqq\ n \quad$ (*identische Abbildung*) ist injektiv, surjektiv und damit auch bijektiv
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Gegeben sei $f:\ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},\ x \mapsto x^2$, also eine Parabelfunktion.
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Gegeben sei $f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},\ x \mapsto x^2$, also eine Parabelfunktion.
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$f$ ist weder injektiv, noch surjektiv.
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Wenn man allerdings die Abbildungsmengen einschränkt, kann man eine injektive, surjektive oder bijektive Abbildung erhalten.
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Im Folgenden bezeichnen wir $\mathbb{R}_{\ge 0}$ als die Menge der nicht-negativen reellen Zahlen, also reelle Zahlen $\ge 0$.
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Am einfachsten ist es, sich die folgenden Fälle zu skizzieren:
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- $f:\ \mathbb{R}_{\ge 0} \rightarrow \mathbb{R},\ x \mapsto x^2 \quad$ ist injektiv, aber nicht surjektiv
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- $f:\ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_{\ge 0},\ x \mapsto x^2 \quad$ ist surjektiv, aber nicht injektiv
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- $f:\ \mathbb{R}_{\ge 0} \rightarrow \mathbb{R}_{\ge 0},\ x \mapsto x^2 \quad$ ist injektiv und surjektiv und damit auch bijektiv
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- $f \colon \mathbb{R}_{\ge 0} \rightarrow \mathbb{R},\ x \mapsto x^2 \quad$ ist injektiv, aber nicht surjektiv
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- $f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_{\ge 0},\ x \mapsto x^2 \quad$ ist surjektiv, aber nicht injektiv
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||||
- $f \colon \mathbb{R}_{\ge 0} \rightarrow \mathbb{R}_{\ge 0},\ x \mapsto x^2 \quad$ ist injektiv und surjektiv und damit auch bijektiv
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Zu bijektiven Funktion sagt man auch, sie bilden "*umkehrbar eindeutig*" ab.
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Eingangs wurde erwähnt:
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@ -160,12 +160,12 @@ Bei einer bijektiven Abbildung, die durch eine Funktionsgleichung $y = f(x)$ geg
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dass man die Funktionsgleichung nach $x$ umstellt.
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Man hat dann einen Ausdruck der Form $x = g(y) = f^{-1}(y)$.
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Gegeben sei die Abbildung $f:\ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+$ mit der Funktionsgleichung $f(x) = e^x$.
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Gegeben sei die Abbildung $f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+$ mit der Funktionsgleichung $f(x) = e^x$.
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Die Exponentialfunktion ist surjektiv, wenn man diese auf die positiven reellen Zahlen abbildet, also die nicht-negativen reellen Zahlen ohne die $0$:
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$\mathbb{R}^+ := \mathbb{R}_{>0} = \mathbb{R}_{\ge 0} \setminus \{0\}$.
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$\mathbb{R}^+ \coloneqq \mathbb{R}_{>0} = \mathbb{R}_{\ge 0} \setminus \{0\}$.
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Der ganze Beweis der Bijektivität sei an dieser allerdings weggelassen.
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Die Umkehrfunktion $f^{-1}:\ \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}$ kann man nun durch Umstellen nach $y$ berechnen:
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Die Umkehrfunktion $f^{-1} \colon \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}$ kann man nun durch Umstellen nach $y$ berechnen:
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$$
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\begin{alignat*}{2}
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&& y &= f(x)\\
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@ -194,26 +194,26 @@ Formal lässt sich das so auffassen:
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:::note Erweiterung
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Gegeben seien eine Abbildung $f:\ A \rightarrow B$ und die Teilmengen $X \subseteq A$ und $Y \subseteq B$.
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Gegeben seien eine Abbildung $f \colon A \rightarrow B$ und die Teilmengen $X \subseteq A$ und $Y \subseteq B$.
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$\widehat{f}(X)\ :=\ \{ y\ |\ y \in B \wedge \exists x \in X:\ f(x) = y \}$
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$\widehat{f}(X)\ \coloneqq\ \{ y\ |\ y \in B \wedge \exists x \in X \colon f(x) = y \}$
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heißt *Erweiterung* von $f$ auf $\mathcal{P}(A)$.
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$\widehat{f^{-1}}(Y)\ :=\ \{ x\ |\ x \in A \wedge f(x) \in Y \}$
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$\widehat{f^{-1}}(Y)\ \coloneqq\ \{ x\ |\ x \in A \wedge f(x) \in Y \}$
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heißt *Erweiterung* von $\underbrace{f^{-1}}_{\substack{\text{Inverse Relation}\\\text{i.A. keine Abbildung}}}$ auf $\mathcal{P}(B)$.
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:::
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$\widehat{f}:\ \mathcal{P}(A) \rightarrow \mathcal{P}(B)$ ist wie $f$ wieder eine Abbildung.
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$\widehat{f} \colon \mathcal{P}(A) \rightarrow \mathcal{P}(B)$ ist wie $f$ wieder eine Abbildung.
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Während $f^{-1}$ hier allgemein die inverse Relation ist und damit keine (Umkehr-)Abbildung,
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ist $\widehat{f^{-1}}:\ \mathcal{P}(B) \rightarrow \mathcal{P}(A)$ allerdings immer eine Abbildung.
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ist $\widehat{f^{-1}} \colon \mathcal{P}(B) \rightarrow \mathcal{P}(A)$ allerdings immer eine Abbildung.
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Häufig schreibt man statt $\widehat{f}$ auch wieder nur $f$ bzw. für $\widehat{f^{-1}}$ auch wieder $f^{-1}$.
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Eine Verwechslung ist ausgeschlossen, da die Abbildung $f$ ein Element entgegennimmt,
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während die Erweiterung von $f$ eine Menge entgegennimmt.
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#### Beispiele
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Gegeben sei $f:\ \{1, 2, 3\} \rightarrow \{a, b, c, d\}$ mit $f(1) = a,\ f(2) = c,\ f(3) = a$.
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Gegeben sei $f \colon \{1, 2, 3\} \rightarrow \{a, b, c, d\}$ mit $f(1) = a,\ f(2) = c,\ f(3) = a$.
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Dann sind bspw.:
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- $\widehat{f}(\emptyset) = f(\emptyset) = \emptyset$
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- $\widehat{f}(\{1, 2\}) = f(\{1, 2\}) = \{ a, c \}$
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@ -234,7 +234,7 @@ Diese spielen in der Algebra eine wichtige Rolle.
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:::note Operation oder Verknüpfung
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$f$ heißt *innere $n$-stellige algebraische Operation* $:=\ f:\ A^n \rightarrow A$.
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$f$ heißt *innere $n$-stellige algebraische Operation* $\coloneqq\ f \colon A^n \rightarrow A$.
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:::
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@ -249,17 +249,17 @@ Bereits im Kapitel [Verband](../mengen#verband) wurden zweistellige Operationen
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#### Beispiele
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Aus dem Kapitel [Verband](../mengen#verband) wissen wir, dass $\cap$ und $\cup$ zweistellige Operationen für eine Menge $A$ sind:
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- $\cap:\ \mathcal{P}^2(A) \rightarrow \mathcal{P}(A)$
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- $\cup:\ \mathcal{P}^2(A) \rightarrow \mathcal{P}(A)$
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- $\cap \colon \mathcal{P}^2(A) \rightarrow \mathcal{P}(A)$
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- $\cup \colon \mathcal{P}^2(A) \rightarrow \mathcal{P}(A)$
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Weitere Beispiele:
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- $+:\ \mathbb{N}^2 \rightarrow \mathbb{N}$ als Addition in den natürlichen Zahlen: $+(a, b) = a+b \quad = \quad c$
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- $+ \colon \mathbb{N}^2 \rightarrow \mathbb{N}$ als Addition in den natürlichen Zahlen: $+(a, b) = a+b \quad = \quad c$
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||||
- $+(2,3) = 2 + 3 \quad = \quad 5$
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||||
- $100 + 1 = 101$
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- $\hat{\ }:\ \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ als Potenz: $\hat{\ }(a,b) = a^b \quad = \quad c$
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- $\hat{\ } \colon \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ als Potenz: $\hat{\ }(a,b) = a^b \quad = \quad c$
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- $\hat{\ }(2,2) = 2^2 \quad = \quad 4$
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- $3^4 = 81$
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- $\circ:\ \text{Abb}(A,A)^2 \rightarrow \text{Abb}(A,A)$ als Komposition: $\circ(f,g) = f \circ g = g(f(x)) \quad = \quad h$
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- $\circ \colon \text{Abb}(A,A)^2 \rightarrow \text{Abb}(A,A)$ als Komposition: $\circ(f,g) = f \circ g = g(f(x)) \quad = \quad h$.
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$\text{Abb}(A,A)$ ist dabei die Menge aller Abbildungen von $A$ in $A$.
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- Mit $f(x) = x^2,\ g(x) = x+2$ ist $\circ(f,g) = f \circ g = g(f(x)) \quad = \quad g(x^2) = x^2+2$
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- Mit $f(x) = \ln(x) + \frac{\pi}{2},\ g(x) = \sin x$ ist
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