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proseminar.sty

@@ -57,6 +57,8 @@
 
 \DeclareTextFontCommand{\emph}{\boldmath\bfseries}
 
+\allowdisplaybreaks
+
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 %   new commands and math operatos  %
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@@ -107,7 +109,8 @@
 % style for examples: "Beispiel:"
 \newtheoremstyle{nobreak*}{}{}{\normalfont}{}{\bfseries}{}{ }{}
 \theoremstyle{nobreak*}
+\newtheorem*{remark*}{Bemerkung:}
 \newtheorem*{example*}{Beispiel:}
 
 % proofs with bold name and qed at end
-\renewenvironment{proof}[1][\proofname]{\textbf{#1.} }{\nobreak\hfill\ensuremath{\blacksquare}}
+\renewenvironment{proof}[1][\proofname]{\textbf{#1.} }{\nobreak\hfill\ensuremath{\blacksquare}\par}

proseminar_skript.tex

@@ -5,7 +5,8 @@
 
 \subject{Proseminar}
 \title{
-    Tbd
+    Berechnung der Matrixexponentialfunktion und
+    Anwendung auf homogene lineare Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten
 }
 \subtitle{TU Bergakademie Freiberg}
 \author{Niklas Birk}
@@ -24,13 +25,10 @@
 
     \newpage
 
-    \section{Lineare Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten}\label{sec:01}
+    \section{Lineare Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten und Anwendung der Matrixexponentialfunktion}\label{sec:dgls-matrixexponential}
-    \input{sections/01_ldgls}
+    \input{sections/01_ldgls_matrixexponential}
 
-    \section{Existenz und Eindeutigkeit der Lösung}\label{sec:02}
+    \section{Berechnung der Matrixexponentialfunktion}\label{sec:berechnung-matrixexponential}
-    \input{sections/02_existenz_eindeutigkeit}
+    \input{sections/02_berechnung_matrixexponential}
-
-    \section{Anwendung der Matrixexponentialfunktion auf homogene lineare DGLS}\label{sec:03}
-    \input{sections/03_anwendung_auf_jnf}
 
 \end{document}

sections/01_ldgls.tex

@@ -1,19 +0,0 @@
-\begin{definition}
-    Seien $y_1,\dots,y_n: I \subseteq \RR \to \RR$ differenzierbar und $a_{jk} \in \RR$ für $j,k = 1,\dots,n$.
-    Dann heißt
-    \begin{equation*}
-        \begin{aligned}
-            y'_1(x) &= a_{11} y_1(x) + \dots + a_{1n} y_n(x)\\
-            y'_2(x) &= a_{21} y_1(x) + \dots + a_{2n} y_n(x)\\
-            &\vdots\\
-            y'_n(x) &= a_{n1} y_1(x) + \dots + a_{nn} y_n(x)
-        \end{aligned}
-    \end{equation*}
-    ein \emph{homogenes lineares Differentialgleichungssystem} (DGLS) (1. Ordnung).\\
-    Das obige System lässt sich auch kompakt in der Form
-    \begin{equation}\tag{DGLS}\label{eq:dgls}
-        \vec{y}'(x) = A \vec{y}(x)
-    \end{equation}
-    schreiben, wobei $\vec{y}(x) = \begin{pmatrix} y_1(x)\\ \vdots\\ y_n(x) \end{pmatrix}, \vec{y}'(x) = \begin{pmatrix} y'_1(x)\\ \vdots\\ y'_n(x) \end{pmatrix}$
-    und $A \in \RR^{n \times n}$
-\end{definition}

sections/01_ldgls_matrixexponential.tex

@@ -0,0 +1,56 @@
+\begin{definition}
+    Seien $y_1,\dots,y_n: \RR \to \RR$ differenzierbar und $a_{jk} \in \RR$ für $j,k = 1,\dots,n$.
+    Dann heißt
+    \begin{equation*}
+        \begin{aligned}
+            y'_1(t) &= a_{11} y_1(t) + \dots + a_{1n} y_n(t)\\
+            y'_2(t) &= a_{21} y_1(t) + \dots + a_{2n} y_n(t)\\
+            &\vdots\\
+            y'_n(t) &= a_{n1} y_1(t) + \dots + a_{nn} y_n(t)
+        \end{aligned}
+    \end{equation*}
+    ein \emph{homogenes lineares Differentialgleichungssystem} (DGLS) (1. Ordnung).\\
+    Das obige System lässt sich auch kompakt in der Form
+    \begin{equation}\tag{DGLS}\label{eq:dgls}
+        \vec{y}'(t) = A \vec{y}(t)
+    \end{equation}
+    schreiben, wobei $\vec{y}(t) = \begin{pmatrix} y_1(t)\\ \vdots\\ y_n(t) \end{pmatrix}, \vec{y}'(t) = \begin{pmatrix} y'_1(t)\\ \vdots\\ y'_n(t) \end{pmatrix}$
+    und $A \in \RR^{n \times n}$
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+    Ein~\ref{eq:dgls} zusammen mit einer Anfangsbedingung
+    \begin{equation*}
+        \vec{y}(t_0) = \vec{y}_0 \coloneqq \begin{pmatrix} y_{1_0}\\ \vdots\\ y_{n_0} \end{pmatrix} \in \RR^n
+    \end{equation*}
+    an einer Stelle $t_0 \in \RR$ nennt man ein \emph{C\textc{auchy}-Problem} oder \emph{Anfangswertproblem}.
+\end{definition}
+
+\begin{theorem}[Existenz und Eindeutigkeit]\label{thm:existenz-eindeutigkeit}
+    Vorgelegt sei ein C\textc{auchy}-Problem
+    \begin{equation}\tag{CP}\label{eq:cp}
+        \vec{y}'(t) = A \vec{y}(t), \qquad \vec{y}(t_0) = \vec{y}_0 \coloneqq \begin{pmatrix} y_{1_0}\\ \vdots\\ y_{n_0} \end{pmatrix}.
+    \end{equation}
+    Dann besitzt~\eqref{eq:cp} eine eindeutig bestimmte Lösung $\vec{y}$ auf $\RR$ mit der Form
+    \begin{equation}\tag{$\ast$}\label{eq:solution}
+        \vec{y}(t) = e^{(t - t_0) A} \vec{y}_0.
+    \end{equation}
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    \begin{itemize}
+        \item   \underline{Existenz:}\\
+                Einsetzen von~\eqref{eq:solution} in die rechte Seite von~\eqref{eq:cp} liefert
+                \begin{equation*}
+                    A \vec{y}(t) = A e^{(t - t_0) A} \vec{y}_0.
+                \end{equation*}
+                Zusammen mit~\eqref{*} folgt direkt, dass~\eqref{eq:solution} das C\textc{auchy}-Problem löst.
+
+        \item   \underline{Eindeutigkeit:}\\
+                Angenommen $\vec{u}(t)$ sei eine weitere Lösung, d.h.~es gilt $\vec{u}' = A \vec{u},\ \vec{u}(t_0) = \vec{y}_0$.
+                Dann ist
+                \begin{align*}
+                    \dfdx{}{x} \left( \text{tbc.} \right)
+                \end{align*}
+    \end{itemize}
+\end{proof}

sections/02_berechnung_matrixexponential.tex

@@ -0,0 +1,299 @@
+Wie in~\hyperref[thm:existenz-eindeutigkeit]{Satz~\ref*{thm:existenz-eindeutigkeit}} festgestellt wurde,
+kann die Lösung eines~\hyperref[eq:cp]{C\textc{auchy}-Problems} mit der Matrixexponentialfunktion berechnet werden.
+In diesem Abschnitt soll nun herausgearbeitet werden, wie sich die Matrixexponentialfunktion selbst berechnen lässt.
+
+\subsection{Diagonale Matrizen}\label{subsec:diagonale-matrizen}
+Zunächst werden diagonale Matrizen
+\begin{equation*}
+    A = \diag\{a_1,\dots,a_n\}
+    = \begin{pmatrix}
+          a_1 &        & \\
+              & \ddots & \\
+              &        & a_3
+    \end{pmatrix}
+\end{equation*}
+betrachtet.
+
+\begin{theorem}\label{thm:matrixexponential-diagonal}
+    Sei eine Diagonalmatrix $A = \diag\{a_1,\dots,a_n\}$.
+    Dann gilt für die Matrixexponentialfunktion
+    \begin{equation*}
+        \e^{t A} = \diag\{\e^{t a_1},\dots,\e^{t a_n}\}.
+    \end{equation*}
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Es gilt
+    \begin{equation*}
+        A^k = \begin{pmatrix}
+                  a^k_1 &        & \\
+                  & \ddots & \\
+                  &        & a^k_n
+        \end{pmatrix}.
+    \end{equation*}
+    Womit für die Matrixexponentialfunktion folgt, dass
+    \begin{alignat*}{2}
+        \e^{t A}
+        &= \sum^\infty_{k=0} \frac{(tA)^k}{k!}
+            &&= \sum^\infty_{k=0} \frac{t^k A^k}{k!}\\
+        &= \sum^\infty_{k=0} \frac{t^k}{k!}
+                \begin{pmatrix}
+                    a^k_1 &        & \\
+                          & \ddots & \\
+                          &        & a^k_n
+                \end{pmatrix}
+            &&= \sum^\infty_{k=0}
+                \begin{pmatrix}
+                    \frac{t^k a^k_1}{k!} &        & \\
+                                         & \ddots & \\
+                                         &        & \frac{t^k a^k_n}{k!}
+                \end{pmatrix}\\
+        &= \begin{pmatrix}
+                    \sum\limits^\infty_{k=0} \frac{(t a_1)^k}{k!} &        & \\
+                                                                 & \ddots & \\
+                                                                 &        & \sum\limits^\infty_{k=0} \frac{(t a_n)^k}{k!}
+                \end{pmatrix}
+            &&= \begin{pmatrix}
+                   \e^{t a_1} &        & \\
+                              & \ddots & \\
+                              &        & \e^{t a_n}
+            \end{pmatrix}
+    \end{alignat*}
+\end{proof}
+
+
+\subsection{Diagonalisierbare Matrizen}\label{subsec:diagonalisierbare-matrizen}
+Das Berechnen einer Matrixexponentialfunktion mit einer diagonalisierbaren Matrix $A$ im Exponenten
+kann auf den obigen Fall der~\hyperref[subsec:diagonale-matrizen]{diagonalen Matrizen} zurückgeführt werden.
+
+\begin{definition}[Wiederholung]
+    Eine Matrix $A$ heißt \emph{diagonalisierbar}, falls eine Diagonalmatrix $D$ und eine reguläre Matrix $A$ so existieren, dass
+    \begin{equation*}
+        A = S D S^{-1}
+    \end{equation*}
+    gilt.
+\end{definition}
+
+\begin{lemma}\label{thm:matrixexponential-diagonalisierbar}
+    Sei $A$ ähnlich zu $B$ mit $A = S B S^{-1}$.
+    Dann gilt für die Matrixexponentialfunktion
+    \begin{equation*}
+        \e^{t A} = S \e^{t B} S^{-1}.
+    \end{equation*}
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Zuerst wird gezeigt, dass $A^k = S B^k S^{-1}$ für $k \in \NN$:
+    \begin{alignat*}{2}
+        A^k &= (S B S^{-1})^k &&= \underbrace{(S B S^{-1}) (S B S^{-1}) (S B S^{-1}) \dots (S B S^{-1})}_{k \text{-mal}}\\
+            &= SB\underbrace{(S^{-1} S)}_{E} B \underbrace{(S^{-1} S)}_{E} \dots \underbrace{(S^{-1} S)}_{E} B S^{-1}
+                &&= V \underbrace{L \cdots L}_{k \text{-mal}} S^{-1}\\
+            &= S B^k S^{-1}
+    \end{alignat*}
+    Damit folgt dann für die Matrixexponentialfunktion
+    \begin{alignat*}{2}
+        \e^{t A} &= \e^{t \cdot S B S^{-1}} &&= \sum^\infty_{k=0} \frac{(t \cdot S B S^{-1})^k}{k!}\\
+                 &= \sum^\infty_{k=0} \frac{t^k (S B S^{-1})^k}{k!} &&= \sum^\infty_{k=0} \frac{t^k \cdot S B^k S^{-1}}{k!}\\
+                 &= V \left( \sum^\infty_{k=0} \frac{t^k B^k}{k!} \right) S^{-1} &&= V \left( \sum^\infty_{k=0} \frac{(t B)^k}{k!} \right) S^{-1}\\
+                 &= V e^{t B} S^{-1}
+    \end{alignat*}
+\end{proof}
+
+\begin{corollary}
+    Sei $A$ diagonalisierbar mit $A = S D S^{-1}$.
+    Dann gilt für die Matrixexponentialfunktion
+    \begin{equation*}
+        \e^{t A} = S \e^{t D} S^{-1}.
+    \end{equation*}
+\end{corollary}
+
+\begin{proof}
+    $A$ ist nach Definition genau dann diagonalisierbar, wenn $A$ zu einer Diagonalmatrix $D$ ähnlich ist.
+    Also~\hyperref[thm:matrixexponential-diagonalisierbar]{Lemma~\ref*{thm:matrixexponential-diagonalisierbar}}.
+\end{proof}
+
+\subsection{Nicht-diagonalisierbare Matrizen}\label{subsec:nichtdiagonalisierbare-matrizen}
+Jede Matrix $A$ lässt sich auf eine \emph{J\textc{ordan}-Normalform} $J = V^{-1} L V$ bringen.
+Eine J\textc{ordan}-Normalform $J$ ist eine Blockdiagonalmatrix der Form
+\begin{gather*}
+    J = \begin{pmatrix}
+            J_1 &        &  \\
+                & \ddots & \\
+                &        & J_n
+    \end{pmatrix}\\
+    \intertext{mit J\textc{ordan}-Block}
+    J_i = \begin{pmatrix}
+              \lambda_i & 1         &        & \\
+                        & \lambda_i & \ddots & \\
+                        &           & \ddots & 1 \\
+                        &           &        & \lambda_i
+    \end{pmatrix}
+    \qquad (i = 1,\dots,n).
+\end{gather*}
+Das folgende \hyperref[thm:blockdiag-exp]{Lemma~\ref*{thm:blockdiag-exp}} lässt vermuten,
+dass die gewonnenen Erkenntnisse aus~\autoref{subsec:diagonalisierbare-matrizen} zur Berechnung der
+Matrixexponentialfunktion $\e^{J} = \e^{V J_i V^{-1}}$ anwendbar sein könnten.
+
+\begin{lemma}\label{thm:blockdiag-exp}
+    Sei $A \in \RR^{n \times n}$ eine Blockdiagonalmatrix
+    \begin{equation*}
+        A = \diag\left\{A_1,\dots,A_m\right\}
+        = \begin{pmatrix}
+                A_1 &        & \\
+                    & \ddots & \\
+                    &        & A_m
+        \end{pmatrix},
+    \end{equation*}
+    mit quadratischen Matrizen $A_1, \dots, A_m$.
+    Dann gilt
+    \begin{equation*}
+        \e^{t A} = \diag\left\{ \e^{t A_1}, \dots,\e^{t A_m} \right\}.
+    \end{equation*}
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Beweis analog~\hyperref[thm:matrixexponential-diagonal]{Satz~\ref*{thm:matrixexponential-diagonal}}
+\end{proof}
+
+Zudem zeigt~\hyperref[thm:blockdiag-exp]{Lemma~\ref*{thm:blockdiag-exp}},
+dass sich die Berechnung von $\e^J$ auf die einzelnen $\e^{J_i}$ für $i = 1,\dots,n$ reduzieren lässt.\\
+Ein J\textc{ordan}-Block $J_i$ lässt sich weiter zerlegen zu
+\begin{equation*}
+    J_i = \begin{pmatrix}
+              \lambda_i & 1         &        & \\
+                        & \lambda_i & \ddots & \\
+                        &           & \ddots & 1 \\
+                        &           &        & \lambda_i
+    \end{pmatrix}
+    = \underbrace{\begin{pmatrix}
+        \lambda_i &        & \\
+                  & \ddots & \\
+                  &        & \lambda_i
+    \end{pmatrix}}_{= L_i}
+    + \underbrace{\begin{pmatrix}
+          0 & 1 &        & \\
+            & 0 & \ddots & \\
+            &   & \ddots & 1 \\
+            &   &        & 0
+    \end{pmatrix}}_{\eqqcolon N}
+    = L_i + N.
+\end{equation*}
+
+\begin{definition}[Wiederholung]
+    Eine Matrix $N$ heißt \emph{nilpotent}, falls ein $l \in \NN$ so existiert, dass $N^l = 0$.
+\end{definition}
+
+\begin{corollary}
+    Die Matrix $N \in \NN^{l \times l}$ aus der Zerlegung $J_i = L_i + N$ ist eine nilpotente Matrix mit $N^l = 0$.
+\end{corollary}
+
+Betrachtet man den Vorgang des Potenzierens von $N$ ausführlicher, erkennt man,
+dass die Nebendiagonale auf denen die $1$en stehen sich \enquote{nach oben-rechts hinaus schiebt}:
+\begin{equation*}
+    N = \begin{pmatrix}
+             0 & 1      &        & \\
+               & \ddots & \ddots & \\
+               &        & \ddots & 1\\
+               &        &        & 0
+         \end{pmatrix},
+    N^2 = \begin{pmatrix}
+               0 & 0      & 1      &        & \\
+                 & \ddots & \ddots & \ddots & \\
+                 &        & \ddots & \ddots & 1\\
+                 &        &        & \ddots & 0\\
+                 &        &        &        & 0
+           \end{pmatrix},
+    \dots,
+    N^{l-1} = \begin{pmatrix}
+                   0 &        & 1\\
+                     & \ddots & \\
+                     &        & 0
+              \end{pmatrix},
+    N^l = \mathfrak{0}
+\end{equation*}
+
+\begin{lemma}
+    Die Matrizen $L_i$ und $N$ aus der Zerlegung $J_i = L_i + N$ kommutieren bzgl.\ dem Matrixprodukt.
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    \begin{equation*}
+        L_i N = (\lambda_i E) N = \lambda_i (EN) = \lambda_i (NE) = N (\lambda_i E) = N L_i,
+    \end{equation*}
+\end{proof}
+
+Damit gilt
+\begin{equation*}
+    \e^{t (L_i + N)} = \e^{t L_i + t N} = \e^{t L_i} \e^{t N}.
+\end{equation*}
+
+Da $L_i$ eine Diagonalmatrix ist, ist die Lösung von $\e^{t L}$ bereits aus~\autoref{subsec:diagonale-matrizen} bekannt.
+Für $N$ als nilpotente Matrix ergibt sich zudem eine endliche Summe bei der Berechnung von $\e^{t N}$,
+da ab einem $l \in \NN$ gilt, dass $N^l = N^{l+1} = \dots = 0$, d.h.
+\begin{align*}
+    \e^ {tN } &= \sum^\infty_{k=0} \frac{(t N)^k}{k!}
+        = \sum^{l-1}_{k=0} \frac{(t N)^k}{k!}
+        = E + t N + \frac{t^2}{2} N^2 + \dots + \frac{t^{l-1}}{(l-1)!} N^{l-1}\\
+    &= E + t N +  \frac{t^2}{2} \begin{pmatrix}
+                                0 & 0      & 1      &        & \\
+                                  & \ddots & \ddots & \ddots & \\
+                                  &        & \ddots & \ddots & 1\\
+                                  &        &        & \ddots & 0\\
+                                  &        &        &        & 0
+                            \end{pmatrix}
+        + \dots + \frac{t^{l-1}}{(l-1)!}  \begin{pmatrix}
+                                        0 &        & 1\\
+                                          & \ddots & \\
+                                          &        & 0
+                                    \end{pmatrix}\\
+    &= \begin{pmatrix}
+           1 & t & \frac{t^2}{2} & \frac{t^3}{3!} & \dots  & \frac{t^{l-1}}{(l-1)!}\\
+           & 1 & t               & \frac{t^2}{2}  & \dots  & \frac{t^{l-2}}{(l-2)!}\\
+           &   & 1               & t              & \ddots  & \vdots\\
+           &   &                 & 1              & \ddots & \frac{t^2}{2}\\
+           &   &                 &                & \ddots & t\\
+           &   &                 &                &        & 1
+    \end{pmatrix}.
+\end{align*}
+
+\begin{remark*}
+    Für die Lösung eines~\hyperref[eq:cp]{C\textc{auchy}-Problems} mit einer nicht-diagonalisierbaren Matrix $A = V J V^{-1}$
+    mit J\textc{ordan}-Normalform $J$, gilt also insgesamt
+    \begin{align*}
+        \vec{y}(t) &= \e^{(t - t_0) A} \vec{y}_0 = \e^{(t - t_0) V L V^{-1}} \vec{y}_0 = V \e^{(t - t_0) J} V^{-1} \vec{y}_0\\
+        &= V \begin{pmatrix}
+                \e^{(t - t_0) J_1} &        & \\
+                                   & \ddots & \\
+                                   &        & \e^{(t - t_0) J_n}
+            \end{pmatrix} V^{-1} \vec{y}_0\\
+        &= V \begin{pmatrix}
+                \e^{(t - t_0) L_1} \e^{(t - t_0) N} &        & \\
+                                                    & \ddots & \\
+                                                    &        & \e^{(t - t_0) L_n} \e^{(t - t_0) N}
+            \end{pmatrix} V^{-1} \vec{y}_0.
+    \end{align*}
+\end{remark*}
+
+\begin{example*}
+    Gegeben sei das~\ref{eq:cp}
+    \begin{equation*}
+        \vec{y}'(t) = \underbrace{\begin{pmatrix} a & 1\\ 0 & a \end{pmatrix}}_{= A} y(t),\ a \in \RR,
+        \qquad \vec{y}(t_0 = 0) = \vec{y}_0 = \begin{pmatrix}y_1\\ y_2\end{pmatrix}.
+    \end{equation*}
+    $A$ lässt sich zerlegen in eine Diagonalmatrix $D$ und nilpotente Matrix $N$:
+    \begin{equation*}
+        A = \underbrace{\begin{pmatrix} a & 0\\ 0 & a \end{pmatrix}}_{\eqqcolon D}
+            + \underbrace{\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}}_{\eqqcolon N}
+    \end{equation*}
+    Nach~\hyperref[thm:existenz-eindeutigkeit]{Satz~\ref*{thm:existenz-eindeutigkeit}} und~\autoref{sec:berechnung-matrixexponential} ist die Lösung gegeben durch
+    \begin{alignat*}{2}
+        \vec{y}(t) &= \e^{t A} \vec{y}_0
+            &&= \e^{t (D + N)} \vec{y}_0\\
+        &= \e^{t D + t N} \vec{y}_0
+            &&= \e^{t D} \e^{t N} \vec{y}_0\\
+        &= \begin{pmatrix} \e^{t a} & 0\\ 0 & \e^{t a} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & t\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \vec{y}_0
+            &&= \begin{pmatrix} \e^{t a} & t \e^{t a}\\ 0 & \e^{t a} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}y_1\\ y_2\end{pmatrix}\\
+        &= \begin{pmatrix} y_1 \e^{t a} + y_2 t \e^{t a}\\ y_2 \e^{t a} \end{pmatrix}
+            &&= \begin{pmatrix} \e^{t a} (y_1 + y_2 t)\\ y_2 \e^{t a} \end{pmatrix}
+    \end{alignat*}
+\end{example*}

sections/02_existenz_eindeutigkeit.tex

@@ -1,34 +0,0 @@
-Ein~\ref{eq:dgls} zusammen mit einem einem Anfangswertvektor
-\begin{equation*}
-    \vec{y}(x_0) \coloneqq \vec{y}_0 \coloneqq \begin{pmatrix} y_{1_0}\\ \vdots\\ y_{n_0} \end{pmatrix} \in \RR^n
-\end{equation*}
-an der Stelle $x_0 \in \RR$ nennt man ein \emph{C\textc{auchy}-Problem} oder \emph{Anfangswertproblem}.
-
-\begin{theorem}[Existenz- und Eindeutigkeit]
-    Vorgelegt sei ein C\textc{auchy}-Problem
-    \begin{equation}\tag{CP}\label{eq:cp}
-        \vec{y}'(x) = A \vec{y}(x), \qquad \vec{y}_0 \coloneqq \begin{pmatrix} y_{1_0}\\ \vdots\\ y_{n_0} \end{pmatrix}.
-    \end{equation}
-    Dann besitzt~\eqref{eq:cp} eine eindeutig bestimmte Lösung $\vec{y}$ auf $\RR$ mit der Form
-    \begin{equation}\tag{$\ast$}\label{eq:solution}
-        \vec{y}(x) = e^{(x - x_0) A} \vec{y}_0.
-    \end{equation}
-\end{theorem}
-
-\begin{proof}
-    \begin{itemize}
-        \item   \underline{Existenz:}\\
-                Einsetzen in die rechte Seite von~\eqref{eq:solution} in~\eqref{eq:cp} liefert
-                \begin{equation*}
-                    A \vec{y}(x) = A e^{(x - x_0) A} \vec{y}_0.
-                \end{equation*}
-                Zusammen mit~\eqref{*} folgt direkt, dass~\eqref{eq:solution} das C\textc{auchy}-Problem löst.
-
-        \item   \underline{Eindeutigkeit:}\\
-                Angenommen $\vec{u}(x)$ sei eine weitere Lösung, d.h.~es gilt $\vec{u}' = A \vec{u},\ \vec{u}(x_0) = \vec{y}_0$.
-                Dann ist
-                \begin{align*}
-                    \dfdx{}{x} \left( \text{tbc.} \right)
-                \end{align*}
-    \end{itemize}
-\end{proof}

sections/03_anwendung_auf_jnf.tex

@@ -1,287 +0,0 @@
-Die gewonnenen Erkenntnisse können nun dazu genutzt werden,
-um Lösungen für homogene lineare Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten zu finden.
-
-\subsection{Diagonale Matrizen}\label{subsec:03-01}
-Zunächst werden diagonale Matrizen $A = \diag\{a_1,\dots,a_n\}$ betrachtet.
-Vorgegeben sei also eine Diagonalmatrix
-\begin{equation*}
-    A = \diag\{a_1,\dots,a_n\}
-    = \begin{pmatrix}
-          a_1 &        & \\
-              & \ddots & \\
-              &        & a_3
-    \end{pmatrix}.
-\end{equation*}
-Für ein~\ref{eq:dgls} liegen dann die $n$ unabhängigen Differentialgleichungen
-\begin{equation*}
-    y'_i(x) = a_i y_i(x) \qquad (i = 1,\dots,n)
-\end{equation*}
-vor, deren Lösungen zu einem gegebenen Anfangswert $\vec{y}_0 = (y_{0_1},\dots,y_{0_n})^T$ durch
-\begin{equation*}
-    y_i(x) = \e^{(x - x_0) a_i} y_{0_i} \qquad (i = 1,\dots,n)
-\end{equation*}
-gegeben sind.
-Mittels Matrixexponentialfunktion lässt sich die Lösung also durch
-\begin{equation*}
-    \vec{y}(x) = \e^{(x - x_0) A}
-    = \begin{pmatrix}
-        \e^{(x - x_0) a_1} &        & \\
-                   & \ddots & \\
-                   &        & \e^{(x - x_0) a_n}
-    \end{pmatrix}
-\end{equation*}
-angeben.
-
-\subsection{Diagonalisierbare Matrizen}\label{subsec:03-02}
-Das Lösen eines~\ref{eq:dgls}s mit einer diagonalisierbaren Koeffizientenmatrix $A$ kann auf den obigen Fall der~\nameref{subsec:03-01}
-zurückgeführt werden.
-Dazu wird $A$ durch eine Diagonalmatrix $L = \diag\{\lambda_1,\dots,\lambda_n\}$ aus den Eigenwerten $\lambda_i$ ($i = 1,\dots,n$)
-und durch die Matrix $V$ der zugehörigen Eigenvektoren mit
-\begin{equation*}
-    A = V L V^{-1}
-\end{equation*}
-dargestellt.
-
-\begin{theorem}\label{thm:diagbar-cp-solution}
-    Sei $A = V L V^{-1}$ eine diagonalisierbare Matrix mit $L = \diag\{\lambda_1,\dots,\lambda_n\}$,
-    wobei $\lambda_i$ ($i = 1,\dots,n$) die Eigenwerte und $V$ die Matrix mit den zugehörigen Eigenvektoren von $A$ sind.
-    Dann ist die Lösung eines~\hyperref[eq:cp]{C\textc{auchy}-Problems}
-    \begin{gather*}
-        \vec{y}'(x) = A \vec{y}(x) = V L V^{-1} \vec{y}(x), \qquad \vec{y}_0 = (y_{1_0},\dots,y_{n_0})^T\\
-        \intertext{durch}
-        \begin{aligned}
-            \vec{y}(x)
-            &= V \e^{(x - x_0) L} V^{-1} \vec{y}_0\\
-            \big( &= \left. V \diag\left\{\e^{(x - x_0) \lambda_1}, \dots,\e^{(x - x_0) \lambda_n}\right\} V^{-1} \right)
-        \end{aligned}
-    \end{gather*}
-    gegeben.
-\end{theorem}
-
-\begin{proof}
-    Das~\ref{eq:dgls}
-    \begin{gather*}
-        \vec{y}'(x) = V L V^{-1} \vec{y}(x)\\
-        \intertext{lässt sich zu}
-        V^{-1} \vec{y}'(x) = L V^{-1} \vec{y}(x).
-    \end{gather*}
-    umformen.
-    Durch Substitution von $\vec{u} = V^{-1} \vec{y}$ ergibt sich das~\ref{eq:cp}
-    \begin{equation}\tag{$\triangle$}\label{eq:03-02-01}
-        \vec{u}'(x) = L \vec{u}(x), \qquad \vec{u}_0 \coloneqq \vec{u}(x_0) = V^{-1} \vec{y}(x_0) = V^{-1} \vec{y}_0.
-    \end{equation}
-    Da $L$ eine Diagonalmatrix ist, folgt mit~\autoref{subsec:03-01}, dass
-    \begin{equation*}
-        \vec{u}(x) = \e^{(x - x_0) L} \vec{u}_0
-    \end{equation*}
-    die Lösung von~\eqref{eq:03-02-01} ist.
-    Rücksubstitution ergibt schließlich die Lösung
-    \begin{alignat*}{2}
-                             && \vec{u}(x) &= \e^{(x - x_0) L} \vec{u}_0\\
-        \Leftrightarrow\quad && V^{-1} \vec{y} &= \e^{(x - x_0) L} V^{-1} \vec{y}_0\\
-        \Leftrightarrow\quad && \vec{y} &= V \e^{(x - x_0) L} V^{-1} \vec{y}_0.
-    \end{alignat*}
-\end{proof}
-
-\begin{corollary}
-    Sei $A$ diagonalisierbar mit $A = V L V^{-1}$.
-    Dann gilt für die Matrixexponentialfunktion
-    \begin{equation*}
-        \e^{A} = V \e^{L} V^{-1}.
-    \end{equation*}
-\end{corollary}
-
-\begin{proof}
-    Zuerst wird gezeigt, dass $A^k = V L^k V^{-1}$ für $k \in \NN$:
-    \begin{alignat*}{2}
-        A^k &= (V L V^{-1})^k &&= \underbrace{(V L V^{-1}) (V L V^{-1}) (V L V^{-1}) \dots (V L V^{-1})}_{k \text{-mal}}\\
-            &= V L \underbrace{(V^{-1} V)}_{E} L \underbrace{(V^{-1} V)}_{E} \dots \underbrace{(V^{-1} V)}_{E} L V^{-1} &&= V \underbrace{L \cdots L}_{k \text{-mal}} V^{-1}\\
-            &= V L^k V^{-1}
-    \end{alignat*}
-    Damit folgt dann für die Matrixexponentialfunktion
-    \begin{alignat*}{2}
-        \e^{A} &= \e^{V L V^{-1}} &&= \sum^\infty_{k=0} \frac{(V L V^{-1})^k}{k!}\\
-               &= \sum^\infty_{k=0} \frac{V L^k V^{-1}}{k!} &&= V \left( \sum^\infty_{k=0} \frac{L^k}{k!} \right) V^{-1}\\
-               &= V e^L V^{-1}
-    \end{alignat*}
-\end{proof}
-
-\emph{Bemerkung:} \hyperref[thm:diagbar-cp-solution]{Folgerung~\ref*{thm:diagbar-cp-solution}} lässt sich leicht ersichtlich auf einen allgemeinen Fall von ähnlichen Matrizen $A = S B S^{-1}$ übertragen, d.h.
-\begin{equation*}
-    \e^A = \e^{S B S^{-1}} = S \e^B S^{-1}.
-\end{equation*}
-
-\subsection{Nicht-diagonalisierbare Matrizen}\label{subsec:03-03}
-Jede Matrix $A$ lässt sich auf eine \emph{J\textc{ordan}-Normalform} $J = V^{-1} L V$ bringen.
-Eine J\textc{ordan}-Normalform $J$ ist eine Blockdiagonalmatrix der Form
-\begin{gather*}
-    J = \begin{pmatrix}
-            J_1 &        &  \\
-                & \ddots & \\
-                &        & J_n
-    \end{pmatrix}\\
-    \intertext{mit J\textc{ordan}-Block}
-    J_i = \begin{pmatrix}
-              \lambda_i & 1         &        & \\
-                        & \lambda_i & \ddots & \\
-                        &           & \ddots & 1 \\
-                        &           &        & \lambda_i
-    \end{pmatrix}
-    \qquad (i = 1,\dots,n).
-\end{gather*}
-Das folgende \hyperref[thm:blockdiag-exp]{Lemma~\ref*{thm:blockdiag-exp}} lässt vermuten,
-dass die gewonnenen Erkenntnisse aus~\autoref{subsec:03-02} anwendbar sein könnten.
-
-\begin{lemma}\label{thm:blockdiag-exp}
-    Sei $A \in \RR^{nd \times nd}$ eine Blockdiagonalmatrix
-    \begin{equation*}
-        A = \begin{pmatrix}
-                A_1 &        & \\
-                    & \ddots & \\
-                    &        & A_n
-        \end{pmatrix},
-    \end{equation*}
-    mit quadratischen Matrizen $A_1, \dots, A_n \in \RR^{d \times d}$.
-    Dann gilt
-    \begin{equation*}
-        \e^A = \begin{pmatrix}
-                   \e^{A_1} &        & \\
-                            & \ddots & \\
-                            &        & \e^{A_n}
-        \end{pmatrix}.
-    \end{equation*}
-\end{lemma}
-
-\begin{proof}
-    Es gilt
-    \begin{equation*}
-        A^k = \begin{pmatrix}
-                  A^k_1 &        & \\
-                        & \ddots & \\
-                        &        & A^k_n
-        \end{pmatrix}.
-    \end{equation*}
-    Damit folgt dann
-    \begin{alignat*}{2}
-        \e^A
-        &= \sum^\infty_{k=0} \frac{A^k}{k!}
-            &&= \sum^\infty_{k=0} \frac{1}{k!}
-            \begin{pmatrix}
-                A^k_1 &        & \\
-                      & \ddots & \\
-                      &        & A^k_n
-            \end{pmatrix}\\
-        &= \sum^\infty_{k=0}
-            \begin{pmatrix}
-                \frac{A^k_1}{k!} &        & \\
-                                 & \ddots & \\
-                                 &        & \frac{A^k_n}{k!}
-            \end{pmatrix}
-            &&= \begin{pmatrix}
-                    \sum^\infty_{k=0} \frac{A^k_1}{k!} &        & \\
-                                                       & \ddots & \\
-                                                       &        & \sum^\infty_{k=0} \frac{A^k_n}{k!}
-            \end{pmatrix}\\
-        &= \begin{pmatrix}
-               \e^{A_1} &        & \\
-                        & \ddots & \\
-                        &        & \e^{A_n}
-        \end{pmatrix}
-    \end{alignat*}
-\end{proof}
-
-Es ergeben sich also Lösungen eines gegebenen~\hyperref[eq:cp]{C\textc{auchy}-Problems} mit einer nicht-diagonalisierbaren Matrix $A = V J V^{-1}$ durch
-\begin{equation*}
-    \vec{y}(x) = V \e^{(x - x_0) J} V^{-1} \vec{y}_0.
-\end{equation*}
-Zudem zeigt~\hyperref[thm:blockdiag-exp]{Lemma~\ref*{thm:blockdiag-exp}},
-dass sich die Berechnung von $\e^J$ auf die einzelnen $\e^{J_i}$ für $i = 1,\dots,n$ reduzieren lässt.\\
-Ein J\textc{ordan}-Block $J_i$ lässt sich weiter zerlegen zu
-\begin{equation*}
-    J_i = \begin{pmatrix}
-              \lambda_i & 1         &        & \\
-                        & \lambda_i & \ddots & \\
-                        &           & \ddots & 1 \\
-                        &           &        & \lambda_i
-    \end{pmatrix}
-    = \underbrace{\begin{pmatrix}
-        \lambda &        & \\
-                & \ddots & \\
-                &        & \lambda
-    \end{pmatrix}}_{= L_i}
-    + \underbrace{\begin{pmatrix}
-          0 & 1 &        & \\
-            & 0 & \ddots & \\
-            &   & \ddots & 1 \\
-            &   &        & 0
-    \end{pmatrix}}_{\eqqcolon N}
-    = L_i + N.
-\end{equation*}
-Dabei ist $N$ eine \emph{nilpotente} Matrix, d.h.\ es existiert ein $l \in \NN$ so, dass $N^l = 0$.
-Zudem kommutieren die Matrizen $L_i$ und $N$, da
-\begin{gather*}
-    L_i N = (\lambda_i E) N = \lambda (EN) = \lambda (NE) = N (\lambda_i E) = N L_i,\\
-    \intertext{weshalb}
-    \e^{L_i + N} = \e^{L_i} \e^N
-\end{gather*}
-gilt.
-Da $L_i$ eine Diagonalmatrix ist, ist die Lösung von $\e^L$ bereits aus~\autoref{subsec:03-01} bekannt.
-Für $N$ als nilpotente Matrix ergibt sich zudem eine endliche Summe bei der Berechnung von $\e^N$,
-da ab einem $l \in \NN$ gilt, dass $N^l = N^{l+1} = \dots = 0$, d.h.
-\begin{align*}
-    \e^N &= \sum^\infty_{k=0} \frac{N^k}{k!}
-        = \sum^{l-1}_{k=0} \frac{N^k}{k!}
-        = E + N + \frac{1}{2} N^2 + \dots + \frac{1}{(l-1)!} N^{l-1}\\
-    &= E + N +  \frac{1}{2} \begin{pmatrix}
-                                0 & 0      & 1      &        & \\
-                                  & \ddots & \ddots & \ddots & \\
-                                  &        & \ddots & \ddots & 1\\
-                                  &        &        & \ddots & 0\\
-                                  &        &        &        & 0
-                            \end{pmatrix}
-        + \dots + \frac{1}{(l-1)!}  \begin{pmatrix}
-                                        0 &        & 1\\
-                                          & \ddots & \\
-                                          &        & 0
-                                    \end{pmatrix}\\
-    &= \begin{pmatrix}
-           1 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3!} & \dots  & \frac{1}{(l-1)!}\\
-           & 1 & 1             & \frac{1}{2}  & \dots  & \frac{1}{(l-2)!}\\
-           &   & 1             & 1              & \dots  & \vdots\\
-           &   &               & 1              & \ddots & \frac{1}{2}\\
-           &   &               &                & \ddots & 1\\
-           &   &               &                &        & 1
-    \end{pmatrix}.
-\end{align*}
-Werden nun alle Erkenntnisse kombiniert, gilt für $\e^{J_i t}$ schließlich
-\begin{align*}
-    \e^{J_i t} &= \e^{(L_i + N) t} = \e^{L_i t + Nt} = \e^{L_i t} \e^{Nt}\\
-    &= \begin{pmatrix}
-           \e^{\lambda_i t} &        & \\
-                            & \ddots & \\
-                            &        & \e^{\lambda_i t}
-        \end{pmatrix}
-        \begin{pmatrix}
-            1 & t & \frac{t^2}{2} & \frac{t^3}{3!} & \dots  & \frac{t^{l-1}}{(l-1)!}\\
-              & 1 & t             & \frac{t^2}{2}  & \dots  & \frac{t^{l-2}}{(l-2)!}\\
-              &   & 1             & x              & \dots  & \vdots\\
-              &   &               & 1              & \ddots & \frac{t^2}{2}\\
-              &   &               &                & \ddots & t\\
-              &   &               &                &        & 1
-        \end{pmatrix}.
-\end{align*}
-Für die Lösung eines~\hyperref[eq:cp]{C\textc{auchy}-Problems} mit einer nicht-diagonalisierbaren Matrix $A = V J V^{-1}$,
-gilt insgesamt also
-\begin{align*}
-    \vec{y}(x) &= V \e^{(x - x_0) J} V^{-1} \vec{y}_0\\
-    &= V \begin{pmatrix}
-            \e^{(x - x_0) J_1} &        & \\
-                               & \ddots & \\
-                               &        & \e^{(x - x_0) J_n}
-        \end{pmatrix} V^{-1} \vec{y}_0\\
-    &= V \begin{pmatrix}
-            \e^{(x - x_0) L_1} \e^{(x - x_0) N} &        & \\
-                                                & \ddots & \\
-                                                &        & \e^{(x - x_0) L_n} \e^{(x - x_0) N}
-        \end{pmatrix} V^{-1} \vec{y}_0.
-\end{align*}