niklas/proseminar_algebra
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Niklas Birk 2023-05-30 14:02:46 +02:00
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sections/03_anwendung_auf_jnf.tex
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@ -1,4 +1,5 @@
Die gewonnenen Erkenntnisse können nun dazu genutzt werden, um Lösungen für homogene lineare Differentialgleichungssysteme zu finden. Die gewonnenen Erkenntnisse können nun dazu genutzt werden,
um Lösungen für homogene lineare Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten zu finden.
\subsection{Diagonale Matrizen}\label{subsec:03-01} \subsection{Diagonale Matrizen}\label{subsec:03-01}
Zunächst werden diagonale Matrizen $A = \diag\{a_1,\dots,a_n\}$ betrachtet. Zunächst werden diagonale Matrizen $A = \diag\{a_1,\dots,a_n\}$ betrachtet.
@ -32,7 +33,7 @@ Mittels Matrixexponentialfunktion lässt sich die Lösung also durch
angeben. angeben.
\subsection{Diagonalisierbare Matrizen}\label{subsec:03-02} \subsection{Diagonalisierbare Matrizen}\label{subsec:03-02}
Das Lösen eines~\ref{eq:dgls} mit einer diagonalisierbaren Koeffizientenmatrix $A$ kann auf den obigen Fall der~\nameref{subsec:03-01} Das Lösen eines~\ref{eq:dgls}s mit einer diagonalisierbaren Koeffizientenmatrix $A$ kann auf den obigen Fall der~\nameref{subsec:03-01}
zurückgeführt werden. zurückgeführt werden.
Dazu wird $A$ durch eine Diagonalmatrix $L = \diag\{\lambda_1,\dots,\lambda_n\}$ aus den Eigenwerten $\lambda_i$ ($i = 1,\dots,n$) Dazu wird $A$ durch eine Diagonalmatrix $L = \diag\{\lambda_1,\dots,\lambda_n\}$ aus den Eigenwerten $\lambda_i$ ($i = 1,\dots,n$)
und durch die Matrix $V$ der zugehörigen Eigenvektoren mit und durch die Matrix $V$ der zugehörigen Eigenvektoren mit
@ -65,7 +66,7 @@ dargestellt.
V^{-1} \vec{y}'(x) = L V^{-1} \vec{y}(x). V^{-1} \vec{y}'(x) = L V^{-1} \vec{y}(x).
\end{gather*} \end{gather*}
umformen. umformen.
Durch Substitution von $\vec{u} = V^{-1} \vec{y}$ ergibt sich das~\ref{eq:dgls} Durch Substitution von $\vec{u} = V^{-1} \vec{y}$ ergibt sich das~\ref{eq:cp}
\begin{equation}\tag{$\triangle$}\label{eq:03-02-01} \begin{equation}\tag{$\triangle$}\label{eq:03-02-01}
\vec{u}'(x) = L \vec{u}(x), \qquad \vec{u}_0 \coloneqq \vec{u}(x_0) = V^{-1} \vec{y}(x_0) = V^{-1} \vec{y}_0. \vec{u}'(x) = L \vec{u}(x), \qquad \vec{u}_0 \coloneqq \vec{u}(x_0) = V^{-1} \vec{y}(x_0) = V^{-1} \vec{y}_0.
\end{equation} \end{equation}
@ -119,7 +120,7 @@ Eine J\textc{ordan}-Normalform $J$ ist eine Blockdiagonalmatrix der Form
& \ddots & \\ & \ddots & \\
& & J_n & & J_n
\end{pmatrix}\\ \end{pmatrix}\\
\intertext{mit J\textc{ordan}-Kästchen} \intertext{mit J\textc{ordan}-Block}
J_i = \begin{pmatrix} J_i = \begin{pmatrix}
\lambda & 1 & & \\ \lambda & 1 & & \\
& \lambda & \ddots & \\ & \lambda & \ddots & \\
@ -140,7 +141,7 @@ dass die gewonnenen Erkenntnisse aus~\autoref{subsec:03-02} anwendbar sein könn
& & A_n & & A_n
\end{pmatrix}, \end{pmatrix},
\end{equation*} \end{equation*}
mit quadratische Matrizen $A_1, \dots, A_n \in \RR^{d \times d}$. mit quadratischen Matrizen $A_1, \dots, A_n \in \RR^{d \times d}$.
Dann gilt Dann gilt
\begin{equation*} \begin{equation*}
\e^A = \begin{pmatrix} \e^A = \begin{pmatrix}
@ -164,11 +165,11 @@ dass die gewonnenen Erkenntnisse aus~\autoref{subsec:03-02} anwendbar sein könn
\begin{alignat*}{2} \begin{alignat*}{2}
\e^A \e^A
&= \sum^\infty_{k=0} \frac{A^k}{k!} &= \sum^\infty_{k=0} \frac{A^k}{k!}
&&= \sum^\infty_{k=0} &&= \sum^\infty_{k=0} \frac{1}{k!}
\begin{pmatrix} \begin{pmatrix}
\frac{A^k_1}{k!} & & \\ A^k_1 & & \\
& \ddots & \\ & \ddots & \\
& & \frac{A^k_n}{k!} & & A^k_n
\end{pmatrix}\\ \end{pmatrix}\\
&= \sum^\infty_{k=0} &= \sum^\infty_{k=0}
\begin{pmatrix} \begin{pmatrix}
@ -195,7 +196,7 @@ Es ergeben sich also Lösungen eines gegebenen~\hyperref[eq:cp]{C\textc{auchy}-P
\end{equation*} \end{equation*}
Zudem zeigt~\hyperref[thm:blockdiag-exp]{Lemma~\ref*{thm:blockdiag-exp}}, Zudem zeigt~\hyperref[thm:blockdiag-exp]{Lemma~\ref*{thm:blockdiag-exp}},
dass sich die Berechnung von $\e^J$ auf die einzelnen $\e^{J_i}$ für $i = 1,\dots,n$ reduzieren lässt.\\ dass sich die Berechnung von $\e^J$ auf die einzelnen $\e^{J_i}$ für $i = 1,\dots,n$ reduzieren lässt.\\
Ein J\textc{ordan}-Kästchen $J_i$ lässt sich weiter zerlegen zu Ein J\textc{ordan}-Block $J_i$ lässt sich weiter zerlegen zu
\begin{equation*} \begin{equation*}
J_i = \begin{pmatrix} J_i = \begin{pmatrix}
\lambda & 1 & & \\ \lambda & 1 & & \\