niklas/proseminar_algebra
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Fix naming of matrix

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Niklas Birk 2023-06-02 16:04:04 +02:00
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sections/02_berechnung_matrixexponential.tex
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@ -87,15 +87,15 @@ kann auf den obigen Fall der~\hyperref[subsec:diagonale-matrizen]{diagonalen Mat
\begin{alignat*}{2}
A^k &= (S B S^{-1})^k &&= \underbrace{(S B S^{-1}) (S B S^{-1}) (S B S^{-1}) \dots (S B S^{-1})}_{k \text{-mal}}\\
&= SB\underbrace{(S^{-1} S)}_{E} B \underbrace{(S^{-1} S)}_{E} \dots \underbrace{(S^{-1} S)}_{E} B S^{-1}
&&= V \underbrace{L \cdots L}_{k \text{-mal}} S^{-1}\\
&&= S \underbrace{L \cdots L}_{k \text{-mal}} S^{-1}\\
&= S B^k S^{-1}
\end{alignat*}
Damit folgt dann für die Matrixexponentialfunktion
\begin{alignat*}{2}
\e^{t A} &= \e^{t \cdot S B S^{-1}} &&= \sum^\infty_{k=0} \frac{(t \cdot S B S^{-1})^k}{k!}\\
&= \sum^\infty_{k=0} \frac{t^k (S B S^{-1})^k}{k!} &&= \sum^\infty_{k=0} \frac{t^k \cdot S B^k S^{-1}}{k!}\\
&= V \left( \sum^\infty_{k=0} \frac{t^k B^k}{k!} \right) S^{-1} &&= V \left( \sum^\infty_{k=0} \frac{(t B)^k}{k!} \right) S^{-1}\\
&= V \e^{t B} S^{-1}
&= S \left( \sum^\infty_{k=0} \frac{t^k B^k}{k!} \right) S^{-1} &&= S \left( \sum^\infty_{k=0} \frac{(t B)^k}{k!} \right) S^{-1}\\
&= S \e^{t B} S^{-1}
\end{alignat*}
\end{proof}