niklas/proseminar_algebra
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Niklas Birk 2023-06-02 15:55:36 +02:00
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sections/01_ldgls_matrixexponential.tex
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@ -77,6 +77,23 @@
\end{equation*}
\end{corollary}
\begin{lemma}\label{thm:matrixexp-commute}
Seien $A,B$ Matrizen und für diese gelte $AB = BA$.
Dann gilt
\begin{equation*}
\e^A B = B \e^A.
\end{equation*}
\end{lemma}
\begin{proof}
\begin{equation*}
\e^A B = \left( \sum^\infty_{k=0} \frac{A^k}{k!} \right) B
= \sum^\infty_{k=0} \frac{A^k B}{k!}
= \sum^\infty_{k=0} \frac{B A^k}{k!}
= B \left( \sum^\infty_{k=0} \frac{A^k}{k!} \right)
\end{equation*}
\end{proof}
\begin{theorem}[Existenz und Eindeutigkeit]\label{thm:existenz-eindeutigkeit}
Vorgelegt sei ein C\textc{auchy}-Problem
\begin{equation}\tag{CP}\label{eq:cp}
@ -95,8 +112,7 @@
\begin{equation*}
A \vec{u}(t) = A \e^{(t - t_0) A} \vec{u}_0.
\end{equation*}
Zusammen mit~\hyperref[thm:matrixexp-derivative]{Lemma~\ref*{thm:matrixexp-derivative}}
bzw.~\hyperref[thm:matrixexp-derivative-corollary]{Folgerung~\ref*{thm:matrixexp-derivative-corollary}}
Zusammen mit~\hyperref[thm:matrixexp-derivative-corollary]{Folgerung~\ref*{thm:matrixexp-derivative-corollary}}
folgt direkt, dass~\eqref{eq:solution} das C\textc{auchy}-Problem löst.
\item \underline{Eindeutigkeit:}\\
@ -104,8 +120,10 @@
Dann ist
\begin{align*}
\dfdx{}{t} \left( \e^{-(t - t_0) A} \vec{v}(t) \right)
\overset{\ref{thm:matrixexp-derivative}}&{=} \e^{-(t - t_0) A} \dfdx{\vec{v}(t)}{t} - A \e^{-(t - t_0) A} \vec{v}(t)\\
&= \e^{-(t - t_0) A} A \vec{v}(t) - \e^{-(t - t_0) A} A \vec{v}(t)\\
\overset{\hyperref[thm:matrixexp-derivative]{\text{L\ref*{thm:matrixexp-derivative}}}}&{=}
\e^{-(t - t_0) A} \dfdx{\vec{v}(t)}{t} - A \e^{-(t - t_0) A} \vec{v}(t)\\
\overset{\hyperref[thm:matrixexp-commute]{\text{L\ref*{thm:matrixexp-commute}}}}&{=}
\e^{-(t - t_0) A} A \vec{v}(t) - \e^{-(t - t_0) A} A \vec{v}(t)\\
&= \vec{0}. % TODO: e^{-tA} kommutiert mit A, weil A mit sich selbst kommutiert; Minh? oder selsbt sagen?
\end{align*}
Da die Ableitung die Nullmatrix ist, ist $\e^{-(t - t_0) A} \vec{v}(t)$ konstant, d.h.