niklas/proseminar_algebra
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Niklas Birk
2023-06-01 21:14:21 +02:00
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sections/02_berechnung_matrixexponential.tex
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@ -95,7 +95,7 @@ kann auf den obigen Fall der~\hyperref[subsec:diagonale-matrizen]{diagonalen Mat
\e^{t A} &= \e^{t \cdot S B S^{-1}} &&= \sum^\infty_{k=0} \frac{(t \cdot S B S^{-1})^k}{k!}\\
&= \sum^\infty_{k=0} \frac{t^k (S B S^{-1})^k}{k!} &&= \sum^\infty_{k=0} \frac{t^k \cdot S B^k S^{-1}}{k!}\\
&= V \left( \sum^\infty_{k=0} \frac{t^k B^k}{k!} \right) S^{-1} &&= V \left( \sum^\infty_{k=0} \frac{(t B)^k}{k!} \right) S^{-1}\\
&= V e^{t B} S^{-1}
&= V \e^{t B} S^{-1}
\end{alignat*}
\end{proof}
@ -113,7 +113,7 @@ kann auf den obigen Fall der~\hyperref[subsec:diagonale-matrizen]{diagonalen Mat
\end{proof}
\subsection{Nicht-diagonalisierbare Matrizen}\label{subsec:nichtdiagonalisierbare-matrizen}
Jede Matrix $A$ lässt sich auf eine \emph{J\textc{ordan}-Normalform} $J = V^{-1} L V$ bringen.
Jede quadratische Matrix $A$ lässt sich auf eine \emph{J\textc{ordan}-Normalform} $J = V^{-1} A V$ bringen.
Eine J\textc{ordan}-Normalform $J$ ist eine Blockdiagonalmatrix der Form
\begin{gather*}
J = \begin{pmatrix}
@ -132,7 +132,7 @@ Eine J\textc{ordan}-Normalform $J$ ist eine Blockdiagonalmatrix der Form
\end{gather*}
Das folgende \hyperref[thm:blockdiag-exp]{Lemma~\ref*{thm:blockdiag-exp}} lässt vermuten,
dass die gewonnenen Erkenntnisse aus~\autoref{subsec:diagonalisierbare-matrizen} zur Berechnung der
Matrixexponentialfunktion $\e^{J} = \e^{V J_i V^{-1}}$ anwendbar sein könnten.
Matrixexponentialfunktion $\e^{A} = \e^{V J V^{-1}}$ anwendbar sein könnten.
\begin{lemma}\label{thm:blockdiag-exp}
Sei $A \in \RR^{n \times n}$ eine Blockdiagonalmatrix
@ -156,8 +156,9 @@ Matrixexponentialfunktion $\e^{J} = \e^{V J_i V^{-1}}$ anwendbar sein könnten.
\end{proof}
Zudem zeigt~\hyperref[thm:blockdiag-exp]{Lemma~\ref*{thm:blockdiag-exp}},
dass sich die Berechnung von $\e^J$ auf die einzelnen $\e^{J_i}$ für $i = 1,\dots,n$ reduzieren lässt.\\
Ein J\textc{ordan}-Block $J_i$ lässt sich weiter zerlegen zu
dass sich die Berechnung von $\e^J$ auf die einzelnen $\e^{J_i}$ für $i = 1,\dots,n$ reduzieren lässt.
Dafür werden im Folgenden die J\textc{ordan}-Blöcke $J_i$ betrachtet,
denn ein J\textc{ordan}-Block $J_i$ lässt sich weiter zerlegen in
\begin{equation*}
J_i = \begin{pmatrix}
\lambda_i & 1 & & \\
@ -209,11 +210,11 @@ dass die Nebendiagonalen auf denen die $1$en stehen \enquote{nach oben-rechts hi
& \ddots & \\
& & 0
\end{pmatrix},
N^l = \mathfrak{0}
N^l = \vec{0}_l
\end{equation*}
\begin{lemma}
Die Matrizen $L_i$ und $N$ aus der Zerlegung $J_i = L_i + N$ kommutieren bzgl.\ dem Matrixprodukt.
Die Matrizen $L_i$ und $N$ aus der Zerlegung $J_i = L_i + N$ kommutieren bzgl.\ der Matrixmultiplikation.
\end{lemma}
\begin{proof}
@ -227,7 +228,7 @@ Damit gilt
\e^{t (L_i + N)} = \e^{t L_i + t N} = \e^{t L_i} \e^{t N}.
\end{equation*}
Da $L_i$ eine Diagonalmatrix ist, ist die Lösung von $\e^{t L}$ bereits aus~\autoref{subsec:diagonale-matrizen} bekannt.
Da $L_i$ eine Diagonalmatrix ist, ist die Lösung von $\e^{t L_i}$ bereits aus~\autoref{subsec:diagonale-matrizen} bekannt.
Für $N$ als nilpotente Matrix ergibt sich zudem eine endliche Summe bei der Berechnung von $\e^{t N}$,
da ab einem $l \in \NN$ gilt, dass $N^l = N^{l+1} = \dots = 0$, d.h.
\begin{align*}
@ -260,25 +261,25 @@ da ab einem $l \in \NN$ gilt, dass $N^l = N^{l+1} = \dots = 0$, d.h.
Für die Lösung eines~\hyperref[eq:cp]{C\textc{auchy}-Problems} mit einer nicht-diagonalisierbaren Matrix $A = V J V^{-1}$
mit J\textc{ordan}-Normalform $J$, gilt also insgesamt
\begin{align*}
\vec{y}(t) &= \e^{(t - t_0) A} \vec{y}_0 = \e^{(t - t_0) V L V^{-1}} \vec{y}_0 = V \e^{(t - t_0) J} V^{-1} \vec{y}_0\\
\vec{u}(t) &= \e^{(t - t_0) A} \vec{u}_0 = \e^{(t - t_0) V L V^{-1}} \vec{u}_0 = V \e^{(t - t_0) J} V^{-1} \vec{u}_0\\
&= V \begin{pmatrix}
\e^{(t - t_0) J_1} & & \\
& \ddots & \\
& & \e^{(t - t_0) J_n}
\end{pmatrix} V^{-1} \vec{y}_0\\
\end{pmatrix} V^{-1} \vec{u}_0\\
&= V \begin{pmatrix}
\e^{(t - t_0) L_1} \e^{(t - t_0) N} & & \\
& \ddots & \\
& & \e^{(t - t_0) L_n} \e^{(t - t_0) N}
\end{pmatrix} V^{-1} \vec{y}_0.
\end{pmatrix} V^{-1} \vec{u}_0.
\end{align*}
\end{remark*}
\begin{example*}
Gegeben sei das~\ref{eq:cp}
\begin{equation*}
\vec{y}'(t) = \underbrace{\begin{pmatrix} a & 1\\ 0 & a \end{pmatrix}}_{= A} y(t),\ a \in \RR,
\qquad \vec{y}(t_0 = 0) = \vec{y}_0 = \begin{pmatrix}y_1\\ y_2\end{pmatrix}.
\vec{u}'(t) = \underbrace{\begin{pmatrix} a & 1\\ 0 & a \end{pmatrix}}_{= A} y(t),\ a \in \RR,
\qquad \vec{u}(t_0 = 0) = \vec{u}_0 = \begin{pmatrix}y_1\\ y_2\end{pmatrix}.
\end{equation*}
$A$ lässt sich zerlegen in eine Diagonalmatrix $D$ und nilpotente Matrix $N$:
\begin{equation*}
@ -287,11 +288,11 @@ da ab einem $l \in \NN$ gilt, dass $N^l = N^{l+1} = \dots = 0$, d.h.
\end{equation*}
Nach~\hyperref[thm:existenz-eindeutigkeit]{Satz~\ref*{thm:existenz-eindeutigkeit}} und~\autoref{sec:berechnung-matrixexponential} ist die Lösung gegeben durch
\begin{alignat*}{2}
\vec{y}(t) &= \e^{t A} \vec{y}_0
&&= \e^{t (D + N)} \vec{y}_0\\
&= \e^{t D + t N} \vec{y}_0
&&= \e^{t D} \e^{t N} \vec{y}_0\\
&= \begin{pmatrix} \e^{t a} & 0\\ 0 & \e^{t a} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & t\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \vec{y}_0
\vec{u}(t) &= \e^{t A} \vec{u}_0
&&= \e^{t (D + N)} \vec{u}_0\\
&= \e^{t D + t N} \vec{u}_0
&&= \e^{t D} \e^{t N} \vec{u}_0\\
&= \begin{pmatrix} \e^{t a} & 0\\ 0 & \e^{t a} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & t\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \vec{u}_0
&&= \begin{pmatrix} \e^{t a} & t \e^{t a}\\ 0 & \e^{t a} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}y_1\\ y_2\end{pmatrix}\\
&= \begin{pmatrix} y_1 \e^{t a} + y_2 t \e^{t a}\\ y_2 \e^{t a} \end{pmatrix}
&&= \begin{pmatrix} \e^{t a} (y_1 + y_2 t)\\ y_2 \e^{t a} \end{pmatrix}