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fe9e152255
@ -14,11 +14,12 @@
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\RequirePackage[hyperref,style=authoryear]{biblatex}
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% math packages
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\RequirePackage{amsmath} % general math
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\RequirePackage{amsmath} % general math
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\RequirePackage{amsthm} % theorems
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\RequirePackage{amssymb} % math symbols
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\RequirePackage{mathtools} % coloneqq: nice ligatures of := and =:
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\RequirePackage{stmaryrd} % lightning symbol
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\RequirePackage{aligned-overset} % proper alignment with oversets
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% other packages
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\RequirePackage{enumerate} % for alphanumeric enumeration: (i), (ii), ...
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@ -1,59 +1,90 @@
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\begin{definition}
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Seien $y_1,\dots,y_n: \RR \to \RR$ differenzierbar und $a_{jk} \in \RR$ für $j,k = 1,\dots,n$.
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Seien $u_1,\dots,u_n: \RR \to \RR$ differenzierbar und $a_{jk} \in \RR$ für $j,k = 1,\dots,n$.
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Dann heißt
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\begin{equation*}
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\begin{aligned}
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y'_1(t) &= a_{11} y_1(t) + \dots + a_{1n} y_n(t)\\
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y'_2(t) &= a_{21} y_1(t) + \dots + a_{2n} y_n(t)\\
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u'_1(t) &= a_{11} u_1(t) + \dots + a_{1n} u_n(t)\\
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u'_2(t) &= a_{21} u_1(t) + \dots + a_{2n} u_n(t)\\
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&\vdots\\
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y'_n(t) &= a_{n1} y_1(t) + \dots + a_{nn} y_n(t)
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u'_n(t) &= a_{n1} u_1(t) + \dots + a_{nn} u_n(t)
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\end{aligned}
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\end{equation*}
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ein \emph{homogenes lineares Differentialgleichungssystem} (DGLS) (1. Ordnung).\\
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Das obige System lässt sich auch kompakt in der Form
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\begin{equation}\tag{DGLS}\label{eq:dgls}
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\vec{y}'(t) = A \vec{y}(t)
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\vec{u}'(t) = A \vec{u}(t)
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\end{equation}
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schreiben, wobei $\vec{y}(t) = \begin{pmatrix} y_1(t)\\ \vdots\\ y_n(t) \end{pmatrix}, \vec{y}'(t) = \begin{pmatrix} y'_1(t)\\ \vdots\\ y'_n(t) \end{pmatrix}$
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||||
schreiben, wobei $\vec{u}(t) = \begin{pmatrix} u_1(t)\\ \vdots\\ u_n(t) \end{pmatrix}, \vec{u}'(t) = \begin{pmatrix} u'_1(t)\\ \vdots\\ u'_n(t) \end{pmatrix}$
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und $A \in \RR^{n \times n}$
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\end{definition}
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\begin{definition}
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Ein~\ref{eq:dgls} zusammen mit einer Anfangsbedingung
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\begin{equation*}
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\vec{y}(t_0) = \vec{y}_0 \coloneqq \begin{pmatrix} y_{1_0}\\ \vdots\\ y_{n_0} \end{pmatrix} \in \RR^n
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\vec{u}_0 \coloneqq \vec{u}(t_0) = \begin{pmatrix} u_{1_0}\\ \vdots\\ u_{n_0} \end{pmatrix} \in \RR^n
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\end{equation*}
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an einer Stelle $t_0 \in \RR$ nennt man ein \emph{C\textc{auchy}-Problem} oder \emph{Anfangswertproblem}.
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\end{definition}
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\begin{lemma}\label{thm:matrixexp-derivative}
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Sei $\vec{y}: \RR \to \RR^{n}$ eine vektorwertige Funktion und $A$ eine konstante Matrix.
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\begin{lemma}[Produktregel]\label{thm:matrixexp-derivative}
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Sei $\vec{u}: \RR \to \RR^{n}$ eine differenzierbare vektorwertige Funktion und $A \in \RR^{n \times n}$ eine konstante Matrix.
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Dann gilt
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\begin{equation*}
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\dfdx{}{t} \left( \e^{t A} \vec{y}(t) \right) = \e^{t A} \dfdx{\vec{y}(t)}{t} + A \e^{t A} \vec{y}(t).
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||||
\dfdx{}{t} \left( \e^{t A} \vec{u}(t) \right) = \e^{t A} \dfdx{\vec{u}(t)}{t} + A \e^{t A} \vec{u}(t).
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\end{equation*}
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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% TODO: komponentenweise
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Das Ergebnis von $\e^{t A} \in \RR^{n \times n}$ ist eine Matrix.
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Demnach ist $\e^{t A} \vec{u}(t) \in \RR^{n \times 1}$ ein Matrix-Vektor-Produkt, deren Komponenten sich durch
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\begin{equation*}
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(\e^{t A} \vec{u}(t))_i = \sum^n_{j=1} \e^{t A}_{ij} \cdot u_j(t)
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\end{equation*}
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ergeben.
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Differenzieren der Komponenten, zusammen mit Linearität des Differentialoperators und der üblichen Produktregel, liefert
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\begin{align*}
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\dfdx{}{t}(\e^{t A} \vec{u}(t))_i
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||||
&= \dfdx{}{t} \left( \sum^n_{j=1} \e^{t A}_{ij} \cdot u_j(t) \right)\\
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||||
&= \dfdx{}{t} \left( \e^{t A}_{i1} \cdot u_j(t) + \dots + \e^{t A}_{in} \cdot u_j(t) \right)\\
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||||
&= \dfdx{}{t} \left( \e^{t A}_{i1} \cdot u_j(t) \right) + \dots + \dfdx{}{t} \left( \e^{t A}_{in} \cdot u_j(t) \right)\\
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||||
&= \left( \e^{t A}_{i1} \cdot \dfdx{u_j(t)}{t} + \dfdx{\e^{t A}_{i1}}{t} \cdot u_j(t) \right)
|
||||
+ \dots + \left( \e^{t A}_{in} \cdot \dfdx{u_j(t)}{t} + \dfdx{\e^{t A}_{in}}{t} \cdot u_j(t) \right)\\
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||||
&= \sum^n_{j=1} \left( \e^{t A}_{ij} \cdot \dfdx{u_j(t)}{t} + \dfdx{\e^{t A}_{ij}}{t} \cdot u_j(t) \right)\\
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||||
&= \sum^n_{j=1} \left( \e^{t A}_{ij} \cdot \dfdx{u_j(t)}{t} \right)
|
||||
+ \sum^n_{j=1} \left( \dfdx{\e^{t A}_{ij}}{t} \cdot u_j(t) \right).
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||||
\end{align*}
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||||
Das ist ganzheitlich betrachtet gerade
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\begin{equation*}
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||||
\dfdx{}{t} \left( \e^{t A} \vec{u}(t) \right) = \e^{t A} \dfdx{\vec{u}(t)}{t} + \dfdx{\e^{t A}}{t} \vec{u}(t)
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||||
= \e^{t A} \dfdx{\vec{u}(t)}{t} + A \e^{t A} \vec{u}(t).
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||||
\end{equation*}
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\end{proof}
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\begin{corollary}\label{thm:matrixexp-derivative-corollary}
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Sei $\vec{y}_0 \in \RR^n$ konstant.
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\begin{remark*}
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Die Produktregel gilt allgemein auch für das Differenzieren von Matrizenprodukten.
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Seien $M$ und $N$ Matrizen, deren Komponenten Funktionen von $t$ sind.
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Dann gilt
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\begin{equation*}
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\dfdx{}{t} \left( \e^{t A} \vec{y}_0 \right) = A \e^{t A} \vec{y}_0.
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||||
\dfdx{}{t}(M(t) N(t)) = M(t) \dfdx{N(t)}{t} + \dfdx{M(t)}{t} N(t).
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||||
\end{equation*}
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||||
\end{remark*}
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\begin{corollary}\label{thm:matrixexp-derivative-corollary}
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||||
Sei $\vec{u}_0 \in \RR^n$ konstant und $A \in \RR^{n \times n}$.
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||||
Dann gilt
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||||
\begin{equation*}
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||||
\dfdx{}{t} \left( \e^{(t - t_0) A} \vec{u}_0 \right) = A \e^{(t - t_0) A} \vec{u}_0.
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||||
\end{equation*}
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||||
\end{corollary}
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\begin{theorem}[Existenz und Eindeutigkeit]\label{thm:existenz-eindeutigkeit}
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Vorgelegt sei ein C\textc{auchy}-Problem
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\begin{equation}\tag{CP}\label{eq:cp}
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\vec{y}'(t) = A \vec{y}(t), \qquad \vec{y}(t_0) = \vec{y}_0 \coloneqq \begin{pmatrix} y_{1_0}\\ \vdots\\ y_{n_0} \end{pmatrix}.
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||||
\vec{u}'(t) = A \vec{u}(t), \qquad \vec{u}_0 \coloneqq \vec{u}(t_0) = \begin{pmatrix} u_{1_0}\\ \vdots\\ u_{n_0} \end{pmatrix}.
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||||
\end{equation}
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||||
Dann besitzt~\eqref{eq:cp} eine eindeutig bestimmte Lösung $\vec{y}$ auf $\RR$ mit der Form
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||||
Dann besitzt~\eqref{eq:cp} eine eindeutig bestimmte Lösung $\vec{u}$ auf $\RR$ mit der Form
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\begin{equation}\tag{$\ast$}\label{eq:solution}
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\vec{y}(t) = e^{(t - t_0) A} \vec{y}_0.
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||||
\vec{u}(t) = \e^{(t - t_0) A} \vec{u}_0.
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\end{equation}
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\end{theorem}
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@ -62,17 +93,30 @@
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\item \underline{Existenz:}\\
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Einsetzen von~\eqref{eq:solution} in die rechte Seite von~\eqref{eq:cp} liefert
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\begin{equation*}
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A \vec{y}(t) = A e^{(t - t_0) A} \vec{y}_0.
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||||
A \vec{u}(t) = A \e^{(t - t_0) A} \vec{u}_0.
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||||
\end{equation*}
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||||
Zusammen mit~\hyperref[thm:matrixexp-derivative]{Lemma~\ref*{thm:matrixexp-derivative}}
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bzw.~\hyperref[thm:matrixexp-derivative-corollary]{Folgerung~\ref*{thm:matrixexp-derivative-corollary}}
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folgt direkt, dass~\eqref{eq:solution} das C\textc{auchy}-Problem löst.
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\item \underline{Eindeutigkeit:}\\
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Angenommen $\vec{u}(t)$ sei eine weitere Lösung, d.h.~es gilt $\vec{u}' = A \vec{u},\ \vec{u}(t_0) = \vec{y}_0$.
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||||
Angenommen $\vec{v}(t)$ sei eine weitere Lösung, d.h.~es gilt $\vec{v}' = A \vec{v},\ \vec{v}(t_0) = \vec{u}_0$.
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Dann ist
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\begin{align*}
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\dfdx{}{x} \left( \text{tbc.} \right)
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||||
\dfdx{}{t} \left( \e^{-(t - t_0) A} \vec{v}(t) \right)
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||||
\overset{\ref{thm:matrixexp-derivative}}&{=} \e^{-(t - t_0) A} \dfdx{\vec{v}(t)}{t} - A \e^{-(t - t_0) A} \vec{v}(t)\\
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||||
&= \e^{-(t - t_0) A} A \vec{v}(t) - \e^{-(t - t_0) A} A \vec{v}(t)\\
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||||
&= \vec{0}
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||||
\end{align*}
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||||
Da die Ableitung die Nullmatrix ist, ist $\e^{-(t - t_0) A} \vec{v}(t)$ konstant, d.h.
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\begin{equation*}
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\e^{-(t - t_0) A} \vec{v}(t) = \vec{c}.
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\end{equation*}
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||||
Die Inverse der Matrixexponentialfunktion existiert immer, weshalb
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\begin{equation*}
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||||
\vec{v}(t) = \e^{(t - t_0) A} \vec{c}
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||||
\end{equation*}
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||||
folgt.\\\\
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||||
tbc.
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\end{itemize}
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\end{proof}
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@ -95,7 +95,7 @@ kann auf den obigen Fall der~\hyperref[subsec:diagonale-matrizen]{diagonalen Mat
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||||
\e^{t A} &= \e^{t \cdot S B S^{-1}} &&= \sum^\infty_{k=0} \frac{(t \cdot S B S^{-1})^k}{k!}\\
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||||
&= \sum^\infty_{k=0} \frac{t^k (S B S^{-1})^k}{k!} &&= \sum^\infty_{k=0} \frac{t^k \cdot S B^k S^{-1}}{k!}\\
|
||||
&= V \left( \sum^\infty_{k=0} \frac{t^k B^k}{k!} \right) S^{-1} &&= V \left( \sum^\infty_{k=0} \frac{(t B)^k}{k!} \right) S^{-1}\\
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||||
&= V e^{t B} S^{-1}
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||||
&= V \e^{t B} S^{-1}
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||||
\end{alignat*}
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\end{proof}
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@ -113,7 +113,7 @@ kann auf den obigen Fall der~\hyperref[subsec:diagonale-matrizen]{diagonalen Mat
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\end{proof}
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\subsection{Nicht-diagonalisierbare Matrizen}\label{subsec:nichtdiagonalisierbare-matrizen}
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Jede Matrix $A$ lässt sich auf eine \emph{J\textc{ordan}-Normalform} $J = V^{-1} L V$ bringen.
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||||
Jede quadratische Matrix $A$ lässt sich auf eine \emph{J\textc{ordan}-Normalform} $J = V^{-1} A V$ bringen.
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||||
Eine J\textc{ordan}-Normalform $J$ ist eine Blockdiagonalmatrix der Form
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\begin{gather*}
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J = \begin{pmatrix}
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@ -132,7 +132,7 @@ Eine J\textc{ordan}-Normalform $J$ ist eine Blockdiagonalmatrix der Form
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\end{gather*}
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||||
Das folgende \hyperref[thm:blockdiag-exp]{Lemma~\ref*{thm:blockdiag-exp}} lässt vermuten,
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dass die gewonnenen Erkenntnisse aus~\autoref{subsec:diagonalisierbare-matrizen} zur Berechnung der
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Matrixexponentialfunktion $\e^{J} = \e^{V J_i V^{-1}}$ anwendbar sein könnten.
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Matrixexponentialfunktion $\e^{A} = \e^{V J V^{-1}}$ anwendbar sein könnten.
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\begin{lemma}\label{thm:blockdiag-exp}
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Sei $A \in \RR^{n \times n}$ eine Blockdiagonalmatrix
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@ -156,8 +156,9 @@ Matrixexponentialfunktion $\e^{J} = \e^{V J_i V^{-1}}$ anwendbar sein könnten.
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\end{proof}
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Zudem zeigt~\hyperref[thm:blockdiag-exp]{Lemma~\ref*{thm:blockdiag-exp}},
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dass sich die Berechnung von $\e^J$ auf die einzelnen $\e^{J_i}$ für $i = 1,\dots,n$ reduzieren lässt.\\
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||||
Ein J\textc{ordan}-Block $J_i$ lässt sich weiter zerlegen zu
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||||
dass sich die Berechnung von $\e^J$ auf die einzelnen $\e^{J_i}$ für $i = 1,\dots,n$ reduzieren lässt.
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||||
Dafür werden im Folgenden die J\textc{ordan}-Blöcke $J_i$ betrachtet,
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denn ein J\textc{ordan}-Block $J_i$ lässt sich weiter zerlegen in
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\begin{equation*}
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J_i = \begin{pmatrix}
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\lambda_i & 1 & & \\
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@ -209,11 +210,11 @@ dass die Nebendiagonalen auf denen die $1$en stehen \enquote{nach oben-rechts hi
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& \ddots & \\
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& & 0
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\end{pmatrix},
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N^l = \mathfrak{0}
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N^l = \vec{0}_l
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\end{equation*}
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\begin{lemma}
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Die Matrizen $L_i$ und $N$ aus der Zerlegung $J_i = L_i + N$ kommutieren bzgl.\ dem Matrixprodukt.
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Die Matrizen $L_i$ und $N$ aus der Zerlegung $J_i = L_i + N$ kommutieren bzgl.\ der Matrixmultiplikation.
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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@ -227,7 +228,7 @@ Damit gilt
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\e^{t (L_i + N)} = \e^{t L_i + t N} = \e^{t L_i} \e^{t N}.
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||||
\end{equation*}
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||||
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||||
Da $L_i$ eine Diagonalmatrix ist, ist die Lösung von $\e^{t L}$ bereits aus~\autoref{subsec:diagonale-matrizen} bekannt.
|
||||
Da $L_i$ eine Diagonalmatrix ist, ist die Lösung von $\e^{t L_i}$ bereits aus~\autoref{subsec:diagonale-matrizen} bekannt.
|
||||
Für $N$ als nilpotente Matrix ergibt sich zudem eine endliche Summe bei der Berechnung von $\e^{t N}$,
|
||||
da ab einem $l \in \NN$ gilt, dass $N^l = N^{l+1} = \dots = 0$, d.h.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
@ -260,25 +261,25 @@ da ab einem $l \in \NN$ gilt, dass $N^l = N^{l+1} = \dots = 0$, d.h.
|
||||
Für die Lösung eines~\hyperref[eq:cp]{C\textc{auchy}-Problems} mit einer nicht-diagonalisierbaren Matrix $A = V J V^{-1}$
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||||
mit J\textc{ordan}-Normalform $J$, gilt also insgesamt
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\vec{y}(t) &= \e^{(t - t_0) A} \vec{y}_0 = \e^{(t - t_0) V L V^{-1}} \vec{y}_0 = V \e^{(t - t_0) J} V^{-1} \vec{y}_0\\
|
||||
\vec{u}(t) &= \e^{(t - t_0) A} \vec{u}_0 = \e^{(t - t_0) V L V^{-1}} \vec{u}_0 = V \e^{(t - t_0) J} V^{-1} \vec{u}_0\\
|
||||
&= V \begin{pmatrix}
|
||||
\e^{(t - t_0) J_1} & & \\
|
||||
& \ddots & \\
|
||||
& & \e^{(t - t_0) J_n}
|
||||
\end{pmatrix} V^{-1} \vec{y}_0\\
|
||||
\end{pmatrix} V^{-1} \vec{u}_0\\
|
||||
&= V \begin{pmatrix}
|
||||
\e^{(t - t_0) L_1} \e^{(t - t_0) N} & & \\
|
||||
& \ddots & \\
|
||||
& & \e^{(t - t_0) L_n} \e^{(t - t_0) N}
|
||||
\end{pmatrix} V^{-1} \vec{y}_0.
|
||||
\end{pmatrix} V^{-1} \vec{u}_0.
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{remark*}
|
||||
|
||||
\begin{example*}
|
||||
Gegeben sei das~\ref{eq:cp}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\vec{y}'(t) = \underbrace{\begin{pmatrix} a & 1\\ 0 & a \end{pmatrix}}_{= A} y(t),\ a \in \RR,
|
||||
\qquad \vec{y}(t_0 = 0) = \vec{y}_0 = \begin{pmatrix}y_1\\ y_2\end{pmatrix}.
|
||||
\vec{u}'(t) = \underbrace{\begin{pmatrix} a & 1\\ 0 & a \end{pmatrix}}_{= A} y(t),\ a \in \RR,
|
||||
\qquad \vec{u}(t_0 = 0) = \vec{u}_0 = \begin{pmatrix}y_1\\ y_2\end{pmatrix}.
|
||||
\end{equation*}
|
||||
$A$ lässt sich zerlegen in eine Diagonalmatrix $D$ und nilpotente Matrix $N$:
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
@ -287,11 +288,11 @@ da ab einem $l \in \NN$ gilt, dass $N^l = N^{l+1} = \dots = 0$, d.h.
|
||||
\end{equation*}
|
||||
Nach~\hyperref[thm:existenz-eindeutigkeit]{Satz~\ref*{thm:existenz-eindeutigkeit}} und~\autoref{sec:berechnung-matrixexponential} ist die Lösung gegeben durch
|
||||
\begin{alignat*}{2}
|
||||
\vec{y}(t) &= \e^{t A} \vec{y}_0
|
||||
&&= \e^{t (D + N)} \vec{y}_0\\
|
||||
&= \e^{t D + t N} \vec{y}_0
|
||||
&&= \e^{t D} \e^{t N} \vec{y}_0\\
|
||||
&= \begin{pmatrix} \e^{t a} & 0\\ 0 & \e^{t a} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & t\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \vec{y}_0
|
||||
\vec{u}(t) &= \e^{t A} \vec{u}_0
|
||||
&&= \e^{t (D + N)} \vec{u}_0\\
|
||||
&= \e^{t D + t N} \vec{u}_0
|
||||
&&= \e^{t D} \e^{t N} \vec{u}_0\\
|
||||
&= \begin{pmatrix} \e^{t a} & 0\\ 0 & \e^{t a} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & t\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \vec{u}_0
|
||||
&&= \begin{pmatrix} \e^{t a} & t \e^{t a}\\ 0 & \e^{t a} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}y_1\\ y_2\end{pmatrix}\\
|
||||
&= \begin{pmatrix} y_1 \e^{t a} + y_2 t \e^{t a}\\ y_2 \e^{t a} \end{pmatrix}
|
||||
&&= \begin{pmatrix} \e^{t a} (y_1 + y_2 t)\\ y_2 \e^{t a} \end{pmatrix}
|
||||
|
||||
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