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TeX
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Ein~\ref{eq:dgls} zusammen mit einem einem Anfangswertvektor
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\begin{equation*}
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\vec{y}(x_0) \coloneqq \vec{y}_0 \coloneqq \begin{pmatrix} y_{1_0}\\ \vdots\\ y_{n_0} \end{pmatrix} \in \RR^n
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\end{equation*}
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an der Stelle $x_0 \in \RR$ nennt man ein \emph{C\textc{auchy}-Problem} oder \emph{Anfangswertproblem}.
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\begin{theorem}[Existenz- und Eindeutigkeit]
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Vorgelegt sei ein C\textc{auchy}-Problem
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\begin{equation}\tag{CP}\label{eq:cp}
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\vec{y}'(x) = A \vec{y}(x), \qquad \vec{y}_0 \coloneqq \begin{pmatrix} y_{1_0}\\ \vdots\\ y_{n_0} \end{pmatrix}.
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\end{equation}
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Dann besitzt~\eqref{eq:cp} eine eindeutig bestimmte Lösung $\vec{y}$ auf $\RR$ mit der Form
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\begin{equation}\tag{$\ast$}\label{eq:solution}
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\vec{y}(x) = e^{(x - x_0) A} \vec{y}_0.
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\end{equation}
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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\begin{itemize}
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\item \underline{Existenz:}\\
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Einsetzen in die rechte Seite von~\eqref{eq:solution} in~\eqref{eq:cp} liefert
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\begin{equation*}
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A \vec{y}(x) = A e^{(x - x_0) A} \vec{y}_0.
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\end{equation*}
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Zusammen mit~\eqref{*} folgt direkt, dass~\eqref{eq:solution} das C\textc{auchy}-Problem löst.
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\item \underline{Eindeutigkeit:}\\
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Angenommen $\vec{u}(x)$ sei eine weitere Lösung, d.h.~es gilt $\vec{u}' = A \vec{u},\ \vec{u}(x_0) = \vec{y}_0$.
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Dann ist
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\begin{align*}
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\dfdx{}{x} \left( \text{tbc.} \right)
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\end{align*}
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\end{itemize}
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\end{proof} |