chapter 3
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2534690903
@ -1,20 +1,18 @@
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@book{heuser,
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author = {Heuser, Harro},
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title = {Gew{\"o}hnliche Differentialgleichungen},
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subtitle = {Einf{\"u}hrung in Lehre und Gebrauch},
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series = {Mathematische Leitfäden},
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author = {Heuser, Harro},
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publisher = {Vieweg+Teubner Verlag},
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year = {2009},
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edition = {6},
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publisher = {Vieweg+Teubner Verlag},
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isbn = {978-3-8348-0705-2}
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pages = {453,460,462},
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}
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@book{grune,
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author = {Gr{\"u}ne, Lars AND Junge, Oliver},
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title = {Gew{\"o}hnliche Differentialgleichungen},
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subtitle = {Eine Einführung aus der Perspektive der dynamischen Systeme},
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author = {Gr{\"u}ne, Lars and Junge, Oliver},
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||||
year = {2009},
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||||
publisher = {Vieweg+Teubner Verlag},
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||||
series = {Bachelorkurs Mathematik},
|
||||
isbn = {978-3-8348-9261-4}
|
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year = {2009},
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pages = {10--16},
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}
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@ -11,7 +11,7 @@
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\RequirePackage[ngerman]{babel}
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% BibLaTeX
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\RequirePackage[hyperref,style=apa]{biblatex}
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\RequirePackage[hyperref,style=authoryear]{biblatex}
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% math packages
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\RequirePackage{amsmath} % general math
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@ -23,6 +23,7 @@
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% other packages
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\RequirePackage{enumerate} % for alphanumeric enumeration: (i), (ii), ...
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\RequirePackage{csquotes} % language dependent correct quote signs
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\RequirePackage[parfill]{parskip}
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% use sans-serif font Computer Modern Bright
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\RequirePackage{cmbright} % sans-serif fonts looking cleaner
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@ -60,6 +61,7 @@
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% new commands and math operatos %
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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% common set symbols
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\newcommand{\NN}{\mathbb{N}}
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\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}
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\newcommand{\CC}{\mathbb{C}}
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@ -71,6 +73,8 @@
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\renewcommand{\Re}{\mathrm{Re}\,}
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\renewcommand{\Im}{\mathrm{Im}\,}
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\DeclareMathOperator{\diag}{diag}
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\renewcommand{\vec}[1]{\mathfrak{#1}}
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% use the more common variants of greek letters
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@ -96,7 +100,7 @@
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% style for theorems, lemmata, propositions, corollary: "<counter> Theorem ([additional name]) \newline"
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\newtheoremstyle{break}{}{}{\itshape}{}{\bfseries}{}{\newline}{\thmname{#1}~\thmnumber{#2}~\thmnote{(#3)}}
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\theoremstyle{break}
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\newtheorem{theorem}{Satz}[section]
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\newtheorem{theorem}{Satz}[subsection]
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\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
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\newtheorem{corollary}[theorem]{Folgerung}
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@ -106,4 +110,4 @@
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\newtheorem*{example*}{Beispiel:}
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% proofs with bold name and qed at end
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\renewenvironment{proof}[1][\proofname]{\par\textbf{#1.} }{\nobreak\hfill\ensuremath{\blacksquare}}
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\renewenvironment{proof}[1][\proofname]{\textbf{#1.} }{\nobreak\hfill\ensuremath{\blacksquare}}
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@ -1,6 +1,7 @@
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\documentclass[11pt]{scrartcl}
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\usepackage{proseminar}
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\usepackage{amsfonts}
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||||
\subject{Proseminar}
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\title{
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@ -26,10 +27,10 @@
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\section{Lineare Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten}\label{sec:01}
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\input{sections/01_ldgls}
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\section{Existenz und Eindeutigkeit}\label{sec:02}
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||||
\section{Existenz und Eindeutigkeit der Lösung}\label{sec:02}
|
||||
\input{sections/02_existenz_eindeutigkeit}
|
||||
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||||
\section{Anwendung auf homogene lineare DGLS}\label{sec:03}
|
||||
\section{Anwendung der Matrixexponentialfunktion auf homogene lineare DGLS}\label{sec:03}
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||||
\input{sections/03_anwendung_auf_jnf}
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||||
\end{document}
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||||
@ -1,4 +1,4 @@
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||||
Eine~\eqref{eq:dgls} zusammen mit einem einem Anfangswertvektor
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Ein~\ref{eq:dgls} zusammen mit einem einem Anfangswertvektor
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\vec{y}(x_0) \coloneqq \vec{y}_0 \coloneqq \begin{pmatrix} y_{1_0}\\ \vdots\\ y_{n_0} \end{pmatrix} \in \RR^n
|
||||
\end{equation*}
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||||
@ -22,13 +22,13 @@ an der Stelle $x_0 \in \RR$ nennt man ein \emph{C\textc{auchy}-Problem} oder \em
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||||
\begin{equation*}
|
||||
A \vec{y}(x) = A e^{(x - x_0) A} \vec{y}_0.
|
||||
\end{equation*}
|
||||
Zusammen mit~\eqref{eq:} folgt direkt, dass~\eqref{eq:solution} das C\textc{auchy}-Problem löst.
|
||||
Zusammen mit~\eqref{*} folgt direkt, dass~\eqref{eq:solution} das C\textc{auchy}-Problem löst.
|
||||
|
||||
\item \underline{Eindeutigkeit:}\\
|
||||
Angenommen $\vec{u}(x)$ sei eine weitere Lösung, d.h.~es gilt $\vec{u}' = A \vec{u},\ \vec{u}(x_0) = \vec{y}_0$.
|
||||
Dann ist
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||||
\begin{align*}
|
||||
\dfdx{}{x} \left( \right)
|
||||
\dfdx{}{x} \left( \text{tbc.} \right)
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{itemize}
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||||
\end{proof}
|
||||
@ -0,0 +1,232 @@
|
||||
Die gewonnenen Erkenntnisse können nun dazu genutzt werden, um Lösungen für homogene lineare Differentialgleichungssysteme zu finden.
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||||
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||||
\subsection{Diagonale Matrizen}\label{subsec:03-01}
|
||||
Zunächst werden diagonale Matrizen $A = \diag\{a_1,\dots,a_n\}$ betrachtet.
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||||
Vorgegeben sei also eine Diagonalmatrix
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
A = \diag\{a_1,\dots,a_n\}
|
||||
= \begin{pmatrix}
|
||||
a_1 & & \\
|
||||
& \ddots & \\
|
||||
& & a_3
|
||||
\end{pmatrix}.
|
||||
\end{equation*}
|
||||
Für ein~\ref{eq:dgls} liegen dann die $n$ unabhängigen Differentialgleichungen
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
y'_i(x) = a_i y_i(x) \qquad (i = 1,\dots,n)
|
||||
\end{equation*}
|
||||
vor, deren Lösungen zu einem gegebenen Anfangswert $\vec{y}_0 = (y_{0_1},\dots,y_{0_n})^T$ durch
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
y_i(x) = \e^{a_i x} y_{0_i} \qquad (i = 1,\dots,n)
|
||||
\end{equation*}
|
||||
gegeben sind.
|
||||
Mittels Matrixexponentialfunktion lässt sich die Lösung also durch
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\vec{y}(x) = \e^{Ax}
|
||||
= \begin{pmatrix}
|
||||
\e^{a_1 x} & & \\
|
||||
& \ddots & \\
|
||||
& & \e^{a_n x}
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
angeben.
|
||||
|
||||
\subsection{Diagonalisierbare Matrizen}\label{subsec:03-02}
|
||||
Das Lösen eines~\ref{eq:dgls} mit einer diagonalisierbaren Koeffizientenmatrix $A$ kann auf den obigen Fall der~\nameref{subsec:03-01}
|
||||
zurückgeführt werden.
|
||||
Dazu stellen wir $A$ mit einer Diagonalmatrix $L = \diag\{\lambda_1,\dots,\lambda_n\}$ aus den Eigenwerten $\lambda_i$ ($i = 1,\dots,n$)
|
||||
und $V$ die Matrix der zugehörigen Eigenvektoren von $A$ durch
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
A = V L V^{-1}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
dar.
|
||||
|
||||
\begin{theorem}\label{thm:diagbar-cp-solution}
|
||||
Sei $A = V L V^{-1}$ eine diagonalisierbare Matrix mit $L = \diag\{\lambda_1,\dots,\lambda_n\}$,
|
||||
wobei $\lambda_i$ ($i = 1,\dots,n$) die Eigenwerte und $V$ die Matrix mit den zugehörigen Eigenvektoren von $A$ sind.
|
||||
Dann ist die Lösung eines~\hyperref[eq:cp]{C\textc{auchy}-Problems}
|
||||
\begin{gather*}
|
||||
\vec{y}'(x) = A \vec{y}(x) = V L V^{-1} \vec{y}(x), \qquad \vec{y}_0 = (y_{1_0},\dots,y_{n_0})^T\\
|
||||
\intertext{durch}
|
||||
\begin{aligned}
|
||||
\vec{y}(x)
|
||||
&= V \e^{L x} V^{-1} \vec{y}_0\\
|
||||
\big( &= \left. V \diag\left\{\e^{\lambda_1 x}, \dots,\e^{\lambda_n x}\right\} V^{-1} \right)
|
||||
\end{aligned}
|
||||
\end{gather*}
|
||||
gegeben.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Das~\ref{eq:dgls}
|
||||
\begin{gather*}
|
||||
\vec{y}'(x) = V L V^{-1} \vec{y}(x)\\
|
||||
\intertext{lässt sich zu}
|
||||
V^{-1} \vec{y}'(x) = L V^{-1} \vec{y}(x).
|
||||
\end{gather*}
|
||||
umformen.
|
||||
Durch Substitution von $\vec{u} = V^{-1} \vec{y}$ ergibt sich das~\ref{eq:dgls}
|
||||
\begin{equation}\tag{$\triangle$}\label{eq:03-02-01}
|
||||
\vec{u}'(x) = L \vec{u}(x), \qquad \vec{u}_0 \coloneqq \vec{u}(x_0) = V^{-1} \vec{y}(x_0) = V^{-1} \vec{y}_0.
|
||||
\end{equation}
|
||||
Da $L$ eine Diagonalmatrix ist, folgt mit~\autoref{subsec:03-01}, dass
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\vec{u}(x) = \e^{L x} \vec{u}_0
|
||||
\end{equation*}
|
||||
die Lösung von~\eqref{eq:03-02-01} ist.
|
||||
Rücksubstitution ergibt schließlich die Lösung
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\vec{u}(x) = \e^{L x} \vec{u}_0
|
||||
\qquad\Leftrightarrow\qquad V^{-1} \vec{y} = \e^{L x} V^{-1} \vec{y}_0
|
||||
\qquad\Leftrightarrow\qquad \vec{y} = V \e^{L x} V^{-1} \vec{y}_0.
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{corollary}
|
||||
Sei $A$ diagonalisierbar mit $A = V L V^{-1}$.
|
||||
Dann gilt für die Matrixexponentialfunktion
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\e^{A} = V \e^{L} V^{-1}.
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\end{corollary}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Zuerst wird gezeigt, dass $A^k = V L^k V^{-1}$ für $k \in \NN$:
|
||||
\begin{alignat*}{2}
|
||||
A^k &= (V L V^{-1})^k &&= \underbrace{(V L V^{-1}) (V L V^{-1}) (V L V^{-1}) \dots (V L V^{-1})}_{k \text{-mal}}\\
|
||||
&= V L \underbrace{(V^{-1} V)}_{E} L \underbrace{(V^{-1} V)}_{E} \dots \underbrace{(V^{-1} V)}_{E} L V^{-1} &&= V \underbrace{L \cdots L}_{k \text{-mal}} V^{-1}\\
|
||||
&= V L^k V^{-1}
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
Damit folgt dann für die Matrixexponentialfunktion
|
||||
\begin{alignat*}{2}
|
||||
\e^{A} &= \e^{V L V^{-1}} &&= \sum^\infty_{k=0} \frac{(V L V^{-1})^k}{k!}\\
|
||||
&= \sum^\infty_{k=0} \frac{V L^k V^{-1}}{k!} &&= V \left( \sum^\infty_{k=0} \frac{L^k}{k!} \right) V^{-1}\\
|
||||
&= V e^L V^{-1}
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\hyperref[thm:diagbar-cp-solution]{Folgerung~\ref*{thm:diagbar-cp-solution}} lässt sich leicht ersichtlich auf einen allgemeinen Fall von ähnlichen Matrizen $A = S B S^{-1}$ übertragen, d.h.
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\e^A = \e^{S B S^{-1}} = S \e^B S^{-1}.
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
\subsection{Nicht-diagonalisierbare Matrizen}\label{subsec:03-03}
|
||||
Jede Matrix $A$ lässt sich auf eine \emph{J\textc{ordan}-Normalform} $J = V^{-1} A V$ bringen.
|
||||
Eine J\textc{ordan}-Normalform $J$ ist eine Blockdiagonalmatrix der Form
|
||||
\begin{gather*}
|
||||
J = \begin{pmatrix}
|
||||
J_1 & & \\
|
||||
& \ddots & \\
|
||||
& & J_n
|
||||
\end{pmatrix}\\
|
||||
\intertext{mit J\textc{ordan}-Kästchen}
|
||||
J_i = \begin{pmatrix}
|
||||
\lambda & 1 & & \\
|
||||
& \lambda & \ddots & \\
|
||||
& & \ddots & 1 \\
|
||||
& & & \lambda
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
\qquad (i = 1,\dots,n).
|
||||
\end{gather*}
|
||||
Das folgende \hyperref[thm:blockdiag-exp]{Lemma~\ref*{thm:blockdiag-exp}} lässt vermuten,
|
||||
dass die gewonnenen Erkenntnisse aus~\autoref{subsec:03-02} anwendbar sein könnten.
|
||||
|
||||
\begin{lemma}\label{thm:blockdiag-exp}
|
||||
Sei $A \in \RR^{nd \times nd}$ eine Blockdiagonalmatrix
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
A = \begin{pmatrix}
|
||||
A_1 & & \\
|
||||
& \ddots & \\
|
||||
& & A_n
|
||||
\end{pmatrix},
|
||||
\end{equation*}
|
||||
mit quadratische Matrizen $A_1, \dots, A_n \in \RR^{d \times d}$.
|
||||
Dann gilt
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\e^A = \begin{pmatrix}
|
||||
\e^{A_1} & & \\
|
||||
& \ddots & \\
|
||||
& & \e^{A_n}
|
||||
\end{pmatrix}.
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\end{lemma}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Es gilt
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
A^k = \begin{pmatrix}
|
||||
A^k_1 & & \\
|
||||
& \ddots & \\
|
||||
& & A^k_n
|
||||
\end{pmatrix}.
|
||||
\end{equation*}
|
||||
Damit folgt dann
|
||||
\begin{alignat*}{2}
|
||||
\e^A
|
||||
&= \sum^\infty_{k=0} \frac{A^k}{k!}
|
||||
&&= \sum^\infty_{k=0}
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
\frac{A^k_1}{k!} & & \\
|
||||
& \ddots & \\
|
||||
& & \frac{A^k_n}{k!}
|
||||
\end{pmatrix}\\
|
||||
&= \sum^\infty_{k=0}
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
\frac{A^k_1}{k!} & & \\
|
||||
& \ddots & \\
|
||||
& & \frac{A^k_n}{k!}
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
&&= \begin{pmatrix}
|
||||
\sum^\infty_{k=0} \frac{A^k_1}{k!} & & \\
|
||||
& \ddots & \\
|
||||
& & \sum^\infty_{k=0} \frac{A^k_n}{k!}
|
||||
\end{pmatrix}\\
|
||||
&= \begin{pmatrix}
|
||||
\e^{A_1} & & \\
|
||||
& \ddots & \\
|
||||
& & \e^{A_n}
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
Es ergeben sich also Lösungen eines gegebenen~\hyperref[eq:cp]{C\textc{auchy}-Problems} mit einer nicht-diagonalisierbaren Matrix $A = V J V^{-1}$ durch
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\vec{y}(x) = V \e^{J x} V^{-1} \vec{y}_0.
|
||||
\end{equation*}
|
||||
Zudem zeigt~\hyperref[thm:blockdiag-exp]{Lemma~\ref*{thm:blockdiag-exp}},
|
||||
dass sich die Berechnung von $\e^J$ auf die einzelnen $\e^{J_i}$ für $i = 1,\dots,n$ reduzieren lässt.\\
|
||||
Ein J\textc{ordan}-Kästchen $J_i$ lässt sich weiter zerlegen zu
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
J_i = \begin{pmatrix}
|
||||
\lambda & 1 & & \\
|
||||
& \lambda & \ddots & \\
|
||||
& & \ddots & 1 \\
|
||||
& & & \lambda
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
= \underbrace{\begin{pmatrix}
|
||||
\lambda & & \\
|
||||
& \ddots & \\
|
||||
& & \lambda
|
||||
\end{pmatrix}}_{= L}
|
||||
+ \underbrace{\begin{pmatrix}
|
||||
0 & 1 & & \\
|
||||
& 0 & \ddots & \\
|
||||
& & \ddots & 1 \\
|
||||
& & & 0
|
||||
\end{pmatrix}}_{\eqqcolon N}
|
||||
= L + N.
|
||||
\end{equation*}
|
||||
Dabei ist $N$ eine \emph{nilpotente} Matrix, d.h.\ es existiert ein $l \in \NN$ so, dass $N^l = 0$.
|
||||
Die Matrizen $L$ und $N$ kommutieren, weshalb
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\e^{L + N} = \e^L \e^N
|
||||
\end{equation*}
|
||||
gilt.
|
||||
Da $L$ eine Diagonalmatrix ist, ist die Lösung von $\e^L$ bereits aus~\autoref{subsec:03-01} bekannt.
|
||||
Für $N$ als nilpotente Matrix ergibt sich zudem eine endliche Summe bei der Berechnung von $\e^N$,
|
||||
da ab einem $l \in \NN$ gilt, dass $N^l = N^{l+1} = \dots = 0$, d.h.
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\e^N
|
||||
= \sum^\infty_{k=0} \frac{N^k}{k!}
|
||||
= \sum^{l-1}_{k=0} \frac{N^k}{k!}.
|
||||
\end{equation*}
|
||||
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