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\begin{definition}
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Seien $u_1,\dots,u_n: \RR \to \RR$ differenzierbar und $a_{jk} \in \RR$ für $j,k = 1,\dots,n$.
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Dann heißt
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\begin{equation*}
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\begin{aligned}
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u'_1(t) &= a_{11} u_1(t) + \dots + a_{1n} u_n(t)\\
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u'_2(t) &= a_{21} u_1(t) + \dots + a_{2n} u_n(t)\\
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&\vdots\\
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u'_n(t) &= a_{n1} u_1(t) + \dots + a_{nn} u_n(t)
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\end{aligned}
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\end{equation*}
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ein \emph{homogenes lineares Differentialgleichungssystem} (DGLS) (1. Ordnung).\\
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Das obige System lässt sich auch kompakt in der Form
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\begin{equation}\tag{DGLS}\label{eq:dgls}
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\vec{u}'(t) = A \vec{u}(t)
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\end{equation}
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schreiben, wobei $\vec{u}(t) = \begin{pmatrix} u_1(t)\\ \vdots\\ u_n(t) \end{pmatrix}, \vec{u}'(t) = \begin{pmatrix} u'_1(t)\\ \vdots\\ u'_n(t) \end{pmatrix}$
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und $A \in \RR^{n \times n}$
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\end{definition}
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\begin{definition}
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Ein~\ref{eq:dgls} zusammen mit einer Anfangsbedingung
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\begin{equation*}
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\vec{u}_0 \coloneqq \vec{u}(t_0) = \begin{pmatrix} u_{1_0}\\ \vdots\\ u_{n_0} \end{pmatrix} \in \RR^n
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\end{equation*}
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an einer Stelle $t_0 \in \RR$ nennt man ein \emph{C\textc{auchy}-Problem} oder \emph{Anfangswertproblem}.
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\end{definition}
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\begin{lemma}[Produktregel]\label{thm:matrixexp-derivative}
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Sei $\vec{u}: \RR \to \RR^{n}$ eine differenzierbare vektorwertige Funktion und $A \in \RR^{n \times n}$ eine konstante Matrix.
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Dann gilt
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\begin{equation*}
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\dfdx{}{t} \left( \e^{t A} \vec{u}(t) \right) = \e^{t A} \dfdx{\vec{u}(t)}{t} + A \e^{t A} \vec{u}(t).
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\end{equation*}
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Das Ergebnis von $\e^{t A} \in \RR^{n \times n}$ ist eine Matrix.
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Demnach ist $\e^{t A} \vec{u}(t) \in \RR^{n \times 1}$ ein Matrix-Vektor-Produkt, deren Komponenten sich durch
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\begin{equation*}
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(\e^{t A} \vec{u}(t))_i = \sum^n_{j=1} \e^{t A}_{ij} \cdot u_j(t)
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\end{equation*}
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ergeben.
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Differenzieren der Komponenten, zusammen mit Linearität des Differentialoperators und der üblichen Produktregel, liefert
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\begin{align*}
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\dfdx{}{t}(\e^{t A} \vec{u}(t))_i
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&= \dfdx{}{t} \left( \sum^n_{j=1} \e^{t A}_{ij} \cdot u_j(t) \right)\\
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&= \dfdx{}{t} \left( \e^{t A}_{i1} \cdot u_j(t) + \dots + \e^{t A}_{in} \cdot u_j(t) \right)\\
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&= \dfdx{}{t} \left( \e^{t A}_{i1} \cdot u_j(t) \right) + \dots + \dfdx{}{t} \left( \e^{t A}_{in} \cdot u_j(t) \right)\\
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&= \left( \e^{t A}_{i1} \cdot \dfdx{u_j(t)}{t} + \dfdx{\e^{t A}_{i1}}{t} \cdot u_j(t) \right)
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+ \dots + \left( \e^{t A}_{in} \cdot \dfdx{u_j(t)}{t} + \dfdx{\e^{t A}_{in}}{t} \cdot u_j(t) \right)\\
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&= \sum^n_{j=1} \left( \e^{t A}_{ij} \cdot \dfdx{u_j(t)}{t} + \dfdx{\e^{t A}_{ij}}{t} \cdot u_j(t) \right)\\
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&= \sum^n_{j=1} \left( \e^{t A}_{ij} \cdot \dfdx{u_j(t)}{t} \right)
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+ \sum^n_{j=1} \left( \dfdx{\e^{t A}_{ij}}{t} \cdot u_j(t) \right).
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\end{align*}
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Das ist ganzheitlich betrachtet gerade
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\begin{equation*}
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\dfdx{}{t} \left( \e^{t A} \vec{u}(t) \right) = \e^{t A} \dfdx{\vec{u}(t)}{t} + \dfdx{\e^{t A}}{t} \vec{u}(t)
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= \e^{t A} \dfdx{\vec{u}(t)}{t} + A \e^{t A} \vec{u}(t).
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\end{equation*}
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\end{proof}
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\begin{remark*}
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Die Produktregel gilt allgemein auch für das Differenzieren von Matrizenprodukten.
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Seien $M$ und $N$ Matrizen, deren Komponenten Funktionen von $t$ sind.
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Dann gilt
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\begin{equation*}
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\dfdx{}{t}(M(t) N(t)) = M(t) \dfdx{N(t)}{t} + \dfdx{M(t)}{t} N(t).
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\end{equation*}
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\end{remark*}
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\begin{corollary}\label{thm:matrixexp-derivative-corollary}
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Sei $\vec{u}_0 \in \RR^n$ konstant und $A \in \RR^{n \times n}$.
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Dann gilt
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\begin{equation*}
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\dfdx{}{t} \left( \e^{(t - t_0) A} \vec{u}_0 \right) = A \e^{(t - t_0) A} \vec{u}_0.
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\end{equation*}
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\end{corollary}
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\begin{lemma}\label{thm:matrixexp-commute}
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Seien $A,B$ Matrizen und für diese gelte $AB = BA$.
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Dann gilt
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\begin{equation*}
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\e^A B = B \e^A.
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\end{equation*}
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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\begin{equation*}
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\e^A B = \left( \sum^\infty_{k=0} \frac{A^k}{k!} \right) B
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= \sum^\infty_{k=0} \frac{A^k B}{k!}
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= \sum^\infty_{k=0} \frac{B A^k}{k!}
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= B \left( \sum^\infty_{k=0} \frac{A^k}{k!} \right)
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\end{equation*}
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\end{proof}
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\begin{theorem}[Existenz und Eindeutigkeit]\label{thm:existenz-eindeutigkeit}
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Vorgelegt sei ein C\textc{auchy}-Problem
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\begin{equation}\tag{CP}\label{eq:cp}
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\vec{u}'(t) = A \vec{u}(t), \qquad \vec{u}_0 \coloneqq \vec{u}(t_0) = \begin{pmatrix} u_{1_0}\\ \vdots\\ u_{n_0} \end{pmatrix}.
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\end{equation}
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Dann besitzt~\eqref{eq:cp} eine eindeutig bestimmte Lösung $\vec{u}$ auf $\RR$ mit der Form
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\begin{equation}\tag{$\ast$}\label{eq:solution}
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\vec{u}(t) = \e^{(t - t_0) A} \vec{u}_0.
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\end{equation}
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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\begin{itemize}
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\item \underline{Existenz:}\\
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Einsetzen von~\eqref{eq:solution} in die rechte Seite von~\eqref{eq:cp} liefert
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\begin{equation*}
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A \vec{u}(t) = A \e^{(t - t_0) A} \vec{u}_0.
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\end{equation*}
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Zusammen mit~\hyperref[thm:matrixexp-derivative-corollary]{Folgerung~\ref*{thm:matrixexp-derivative-corollary}}
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folgt direkt, dass~\eqref{eq:solution} das C\textc{auchy}-Problem löst.
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\item \underline{Eindeutigkeit:}\\
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Angenommen $\vec{v}(t)$ sei eine weitere Lösung, d.h.~es gilt $\vec{v}' = A \vec{v},\ \vec{v}(t_0) = \vec{u}_0$.
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Dann ist
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\begin{align*}
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\dfdx{}{t} \left( \e^{-(t - t_0) A} \vec{v}(t) \right)
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\overset{\hyperref[thm:matrixexp-derivative]{\text{L\ref*{thm:matrixexp-derivative}}}}&{=}
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\e^{-(t - t_0) A} \dfdx{\vec{v}(t)}{t} - A \e^{-(t - t_0) A} \vec{v}(t)\\
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\overset{\hyperref[thm:matrixexp-commute]{\text{L\ref*{thm:matrixexp-commute}}}}&{=}
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\e^{-(t - t_0) A} A \vec{v}(t) - \e^{-(t - t_0) A} A \vec{v}(t)\\
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&= \vec{0}. % TODO: e^{-tA} kommutiert mit A, weil A mit sich selbst kommutiert; Minh? oder selsbt sagen?
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\end{align*}
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Da die Ableitung die Nullmatrix ist, ist $\e^{-(t - t_0) A} \vec{v}(t)$ konstant, d.h.
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\begin{equation*}
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\e^{-(t - t_0) A} \vec{v}(t) = \vec{c}.
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\end{equation*}
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Die Inverse der Matrixexponentialfunktion existiert immer, weshalb
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\begin{equation*}
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\vec{v}(t) = \e^{(t - t_0) A} \vec{c}
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\end{equation*}
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folgt.
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Mit Voraussetzung $\vec{v}(t_0) = \vec{u}_0$ gilt dann für die Konstante $\vec{c}$
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\begin{equation*}
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\vec{v}(t_0) = \e^{(t_0 - t_0) A} \vec{c} = E \vec{c} = \vec{c} = \vec{u}_0.
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\end{equation*}
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Insgesamt ergibt sich also
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\begin{equation*}
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\vec{v}(t) = \e^{(t - t_0) A} \vec{u}_0 = \vec{u}(t)
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\end{equation*}
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\end{itemize}
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\end{proof} |