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README.md

@@ -1,8 +1,7 @@
 # Blog von Niklas Birk
 
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 ## Über den Blog
 
-Ich möchte gelegentlich über coole der Themen der Mathematik, der Informatik oder das programmieren schreiben.
-
+Ich möchte gelegentlich über coole der Themen der Mathematik, der Informatik oder das programmieren schreiben.

docs/mathematik/mengenlehre/1_logik.mdx

@@ -476,12 +476,12 @@ Aussagenformen wurden bereits in der [Aussagenlogik](#syntax)) oben eingeführt,
 Das Zusammensetzen von Aussagen(-formen) mit den entsprechenden Junktoren ist analog zur Aussagenlogik.
 
 #### Beispiele
-Sei $G = \mathbb{N}$ Grundbereich und $A(n) := ``n + 1 = 3''$ Aussagenform.
+Sei $G = \mathbb{N}$ Grundbereich und $A(n) \coloneqq ``n + 1 = 3''$ Aussagenform.
 Durch Ersetzen der Variable $n$ durch ein Objekt aus $G$, hier also einer natürlichen Zahl, wird $A(x)$ zu einer Aussage:
-- Für $n = 1$ ist $A(1) := ``1 + 1 = 3''$ eine falsche Aussage.
-- Für $n = 2$ ist $A(2) := ``2 + 1 = 3''$ eine wahre Aussage.
+- Für $n = 1$ ist $A(1) \coloneqq ``1 + 1 = 3''$ eine falsche Aussage.
+- Für $n = 2$ ist $A(2) \coloneqq ``2 + 1 = 3''$ eine wahre Aussage.
 
-Sei $G$ die Menge aller Lebewesen und $Mensch(x) := ``x \text{ ist ein Mensch}''$ eine Aussagenform.
+Sei $G$ die Menge aller Lebewesen und $Mensch(x) \coloneqq ``x \text{ ist ein Mensch}''$ eine Aussagenform.
 In der Prädikatenlogik nennt man solche Aussagenformen ein *Prädikat*.
 $Mensch(AngelaMerkel)$, sprich "Angela Merkel ist ein Mensch", ist eine wahre Aussage,
 während $Mensch(Grumpy Cat)$, sprich "Grumpy Cat ist ein Mensch" eine falsche Aussage ist.
@@ -507,12 +507,12 @@ Eine Aussagenform wurde erst zu einer Aussage, wenn wir die Variablen durch ein
 Durch ein Quantor ist eine Aussagenform direkt eine Aussage:
 
 #### Beispiele
-Sei $G = \mathbb{N}$ Grundbereich und $H(x) := ``x + 1 = 3''$ Aussagenform.
+Sei $G = \mathbb{N}$ Grundbereich und $H(x) \coloneqq ``x + 1 = 3''$ Aussagenform.
 Durch Quantifizierung entstehen folgende Aussagen:
 - $\forall x (x + 1 = 3)$ - "Für alle $x$ aus $G$ gilt $x + 1 = 3$" ist eine falsche Aussage.
 - $\exists x (x + 1 = 3)$ - "Es existiert ein $x$ aus $G$ mit $x + 1 = 3$" ist eine wahre Aussage.
 
-Sei $G = \mathbb{N}$ und $H(x) := ``2x \ge x''$.
+Sei $G = \mathbb{N}$ und $H(x) \coloneqq ``2x \ge x''$.
 Durch Quantifizierung entstehen folgende Aussagen:
 - $\forall x (2x \ge x)$ - "Für alle $x$ aus $G$ gilt $2x \ge x$" ist eine wahre Aussage.
 - $\exists x (2x \ge x)$ - "Es existiert ein $x$ aus $G$ mit $2x \ge x$" ist eine wahre Aussage.
@@ -522,13 +522,13 @@ Im Beispiel sieht man, dass mehrere $x$ die letzte Aussage erfüllen.
 Möchte man dagegen deutlich machen, dass **genau** ein $x$ existiert, dann schreibt man das $\exists ! x (H(x))$.
 Damit wäre $\exists ! x (2x \ge x)$ eine falsche Aussage, da jedes $x$ das oben definierte $H(x)$ erfüllt.
 
-Sei $G = \mathbb{Z}$ und $H(x) := ``2x \ge x''$.
+Sei $G = \mathbb{Z}$ und $H(x) \coloneqq ``2x \ge x''$.
 $\forall x (2x \ge x)$ ist nun eine falsche Aussage, da sich der Grundbereich geändert hat.
 Dagegen ist $\forall x (x \in \mathbb{N} \rightarrow 2x \ge x)$ wieder wahr.
 Statt dieser Schreibweise findet man häufig folgende unexakte Schreibweisen für solche Aussagen:
 $$
 \begin{equation*}
-    \forall x \in \mathbb{N}:\ 2x \ge x
+    \forall x \in \mathbb{N} \colon 2x \ge x
 \end{equation*}
 $$
 
@@ -537,12 +537,12 @@ diese durch eine konkrete Aussage ersetzt wurden.
 Folgende Beispiele sind nur Aussagenformen, da nicht alle Variablen gebunden vorkommen.
 Sei $G = \mathbb{Z}$.
 - $x + y = 0$
-- $\forall x:\ x + y = 0$
+- $\forall x \colon x + y = 0$
 
 Dagegen sind sie quantifiziert oder ersetzt bspw. folgende Aussagen:
-- $\forall x:\ x + 1 = 0$ ist falsch.
-- $\forall x\ \exists y:\ x + y = 0$ ist wahr.
-- $\exists y\ \forall x:\ x + y = 0$ ist falsch.
+- $\forall x \colon x + 1 = 0$ ist falsch.
+- $\forall x\ \exists y \colon x + y = 0$ ist wahr.
+- $\exists y\ \forall x \colon x + y = 0$ ist falsch.
 
 Am letzten Beispiel erkennt man, dass die Reihenfolge der Quantoren eine wichtige Rolle spielt:
 Die Aussage "Für alle $x$ gibt es ein $y$ \[...\]" ist eine grundlegend andere Aussage als "Es gibt ein y für alle x \[...\]".

docs/mathematik/mengenlehre/2_mengen.mdx

@@ -48,7 +48,7 @@ Folgendes Axiom bildet eine Brücke zur Logik:
 Sei $H(M^n)$ Aussage über Mengen $n$-ter Stufe.
 $$
     \begin{equation*}
-        \exists M^{n+1}\ \forall M^n:\ M^n \in M^{n+1} \leftrightarrow H(M^n),
+        \exists M^{n+1}\ \forall M^n \colon M^n \in M^{n+1} \leftrightarrow H(M^n),
     \end{equation*}
 $$
 wobei $M^{n+1}$ nicht in $H(M^n)$ vorkommt.
@@ -60,11 +60,11 @@ Das Mengenbildungsaxiom sagt aus, dass es eine Menge $M^{n+1}$ gibt, die aus den
 Sei $n = 0$, dann können wir die Aussage im Satz mit den üblichen Benennungen wie folgt schreiben:
 $$
     \begin{equation*}
-        \exists A\ \forall x:\ x \in M \leftrightarrow H(x).
+        \exists A\ \forall x \colon x \in M \leftrightarrow H(x).
     \end{equation*}
 $$
 "$M^{n+1}$ kommt nicht in $H(M^n)$ vor" bedeutet, dass in $H(M^n)$ nirgends das Symbol $M^{n+1}$ auftauchen darf.
-Deswegen ist $\exists A\ \forall x:\ x \in M \leftrightarrow x \notin M$, also ein Widerspruch, ausgeschlossen.
+Deswegen ist $\exists A\ \forall x \colon x \in M \leftrightarrow x \notin M$, also ein Widerspruch, ausgeschlossen.
 Denn in $H(x) = \text{"}x \notin M\text{"}$ taucht ja $M$ auf und das ist nicht erlaubt
 
 Sei $n = 0$ und $H(x) = \text{"} x \text{ ist eine gerade natürliche Zahl"}$.
@@ -83,14 +83,14 @@ Weitere Beispiele sind:
 - Menge aller deutschen Bundesländer: $M = \{ x\ |\ x \text{ ist deutsches Bundesland} \}$
 - Menge aller reellen Zahlen von 0 bis 2: $M = \{ x\ |\ x \in \mathbb{R} \wedge 0 \le x \le 2 \}$
 - Menge der ganzzahligen Lösungen einer Gleichung: $M = \{ x\ |\ x \in \mathbb{Z} \wedge x^2 + 2 = 4x - 1 \}$
-- Menge aller ganzen Quadratzahlen: $M = \{ x\ |\ \exists y \in \mathbb{Z}:\ x = y^2 \}$
+- Menge aller ganzen Quadratzahlen: $M = \{ x\ |\ \exists y \in \mathbb{Z} \colon x = y^2 \}$
 
 :::note Extensionalitätsaxiom (ZF) / Gleichheit von Mengen
 
 Zwei Mengen sind gleich, wenn sie die gleichen Elemente besitzen:
 $$
     \begin{equation*}
-        A = B\ :=\ \forall x:\ x \in A \leftrightarrow x \in B 
+        A = B \coloneqq \forall x \colon x \in A \leftrightarrow x \in B
     \end{equation*}
 $$
 
@@ -122,7 +122,7 @@ oder *Schnittmenge*.
 :::note Durchschnitt
 
 $$
-    A \cap B := \{ x\ |\ x \in A \wedge x \in B \}
+    A \cap B \coloneqq \{ x\ |\ x \in A \wedge x \in B \}
 $$
 
 gesprochen: "A geschnitten B"
@@ -155,7 +155,7 @@ Elemente, die in beiden vorkommen, werden dabei nur einmal gezählt.
 :::note Vereinigung
 
 $$
-    A \cup B := \{ x\ |\ x \in A \vee x \in B \}
+    A \cup B \coloneqq \{ x\ |\ x \in A \vee x \in B \}
 $$
 
 gesprochen: "A vereinigt B"
@@ -182,7 +182,7 @@ Das *Komplement* einer Menge besteht gerade aus den Elementen, die nicht in der
 :::note Komplement
 
 $$
-    \overline{A} = A^\complement := \{ x\ |\ \neg (x \in A) \} = \{ x\ |\ x \notin A \}
+    \overline{A} = A^\complement \coloneqq \{ x\ |\ \neg (x \in A) \} = \{ x\ |\ x \notin A \}
 $$
 
 gesprochen: "Komplement von A"
@@ -209,7 +209,7 @@ aber ohne die Elemente, die auch in der anderen liegen, dann ist das die *Differ
 :::note Differenz
 
 $$
-    A \setminus B := \{ x\ |\ x \in A \wedge x \notin B \}
+    A \setminus B \coloneqq \{ x\ |\ x \in A \wedge x \notin B \}
 
 $$
 
@@ -322,8 +322,8 @@ Dieses Wort "Teil" lässt sich wie folgt definieren:
 :::note Inklusion
 
 Seien $M, A$ Mengen.
-- $A \subseteq M := \forall x:\ x \in A \rightarrow x \in M$
-- $A \subset M := A \subseteq M \wedge A \ne M$
+- $A \subseteq M \coloneqq \forall x \colon x \in A \rightarrow x \in M$
+- $A \subset M \coloneqq A \subseteq M \wedge A \ne M$
 
 Für $A \subseteq M$ spricht man "$A$ ist *Teilmenge* von $M$" und
 für $A \subset M$ spricht man "$A$ ist *echte Teilmenge* von $M$"

docs/mathematik/mengenlehre/mengenlehre.mdx

@@ -79,7 +79,7 @@ $$$
 
 :::danger Aber gilt nun $X \in X$?
 
-Für $A := X$ erhält man den Widerspruch
+Für $A \coloneqq X$ erhält man den Widerspruch
 $$
 X \in X \text{ genau dann, wenn } X \notin X
 $$
@@ -110,7 +110,7 @@ $$$
 
 :::danger Rasiert der Barbier sich selbst?
 
-Für $M := B$ erhält man den Widerspruch
+Für $M \coloneqq B$ erhält man den Widerspruch
 $$
 B \in B \text{ genau dann, wenn } B \notin B
 $$

docs/mathematik/mengenlehre/relationen/1_kartesisches_produkt_relationen.mdx

@@ -14,7 +14,7 @@ möchte Mengen miteinander in eine gewisse Verbindung bringen, ohne sie einfach
 
 Ein *geordnetes Paar* (*2-Tupel*) mit den Elementen $a$ und $b$ ist wie folgt als Menge definiert:
 $$
-    (a, b)\ :=\ \{ \overbrace{\{a, b\}}^{\text{Elemente des Tupels}}, \underbrace{\{a\}}_{\text{Erstes Element}} \}
+    (a, b) \coloneqq \{ \overbrace{\{a, b\}}^{\text{Elemente des Tupels}}, \underbrace{\{a\}}_{\text{Erstes Element}} \}
 $$ 
 
 :::
@@ -58,13 +58,13 @@ Die Menge aller Tupel von Mengen nennt man *kartesisches Produkt*:
 
 Seien $A$ und $B$ Mengen, dann ist das *kartesische Produkt* der Mengen $A$ und $B$ definiert als
 $$
-    A \times B\ :=\ \{ (a,b)\ |\ a \in A \wedge b \in B \}
+    A \times B \coloneqq \{ (a,b)\ |\ a \in A \wedge b \in B \}
 $$
 
 Mit 
-- $A^0 := \{ \emptyset \}$
-- $A^1 := A$
-- $A^{n+1} := A^n \times A$ 
+- $A^0 \coloneqq \{ \emptyset \}$
+- $A^1 \coloneqq A$
+- $A^{n+1} \coloneqq A^n \times A$
 
 erhalten wir die *n-fache kartesische Potenz*.
 
@@ -77,7 +77,7 @@ Daraus können wir nun eine Teilmenge betrachten.
 :::note Relation
 
 Seien $A$, $B$ Mengen.
-Man nennt $R$ *Relation* oder *Korrespondenz* __aus__ $A$ __in__ $B$ $:=\ R \subseteq A \times B$
+Man nennt $R$ *Relation* oder *Korrespondenz* __aus__ $A$ __in__ $B$ $\coloneqq\ R \subseteq A \times B$
 
 :::
 
@@ -117,12 +117,12 @@ Es ist sinnvoll Mengen zu definieren, die nur die Elemente ersten oder die zweit
 
 - *Definitionsbereich* von $R$: 
    $$
-      D(R)\ :=\ \{ x\ |\ x \in A \wedge \exists y \in B:\ (x,y) \in R \}
+      D(R) \coloneqq \{ x\ |\ x \in A \wedge \exists y \in B \colon (x,y) \in R \}
    $$
    Der Definitionsbereich von $R$ umfasst also alle Elemente $x$ aus $A$, für die es ein $y$ aus $B$ gibt.
 - *Wertebereich* oder *Bild* von $R$:
    $$
-      W(R)\ :=\ \{ y\ |\ y \in B \wedge \exists x \in A:\ (x,y) \in R \}
+      W(R) \coloneqq \{ y\ |\ y \in B \wedge \exists x \in A \colon (x,y) \in R \}
    $$
    Der Wertebereich oder das Bild von $R$ umfasst also alle Elemente $y$ aus $B$, für die es ein $x$ aus $A$ gibt.
 
@@ -159,9 +159,9 @@ Je nachdem, ob der Definitions- oder Wertebereich die gesamte Menge $A$ bzw. $B$
 :::note Sprechweisen
 
 $R$ ist Relation
-- "*__von__* $A$ *in* $B$" $:=\ D(R) = A$
-- "*aus* $A$ *__auf__* $B$" $:=\ W(R) = B$
-- "*__von__* $A$ *__auf__* $B$" $:=\ D(R) = A \wedge W(R) = B$
+- "*__von__* $A$ *in* $B$" $\coloneqq\ D(R) = A$
+- "*aus* $A$ *__auf__* $B$" $\coloneqq\ W(R) = B$
+- "*__von__* $A$ *__auf__* $B$" $\coloneqq\ D(R) = A \wedge W(R) = B$
 
 :::
 
@@ -172,7 +172,7 @@ und möchte dies formal ausdrücken bzw. aufschreiben, ohne dabei immer die Tupe
 
 Sei $R$ Relation.
 $$
-   R(x)\ :=\ \{ y\ |\ y \in B \wedge (x,y) \in R \}
+   R(x) \coloneqq \{ y\ |\ y \in B \wedge (x,y) \in R \}
 $$
 
 :::
@@ -201,7 +201,7 @@ Relationsbezeichnung in die Mitte:
 
 Sei $R$ Relation.
 $$
-    x R y\ :=\ (x,y) \in R
+    x R y \coloneqq (x,y) \in R
 $$
 
 :::
@@ -227,9 +227,9 @@ Man kann auch zwei Relationen kombinieren, sofern diese *in* und *aus* den gleic
 Seien $R \subseteq A \times B$ und $K \subseteq B \times C$ Relationen.
 Dann ist die Verkettung von $R$ mit $K$ definiert als:
 $$
-   F \circ K\ :=\ \{ (x,z)\ |\ \exists y \in B:\ (x,y) \in R \wedge (y,z) \in K \}
+   R \circ K \coloneqq \{ (x,z)\ |\ \exists y \in B \colon (x,y) \in R \wedge (y,z) \in K \}
 $$
-Also ist $F \circ K \subseteq A \times C$.
+Also ist $R \circ K \subseteq A \times C$.
 
 :::
 
@@ -243,7 +243,7 @@ Als Bild veranschaulicht:
 
 Die Verkettung sind dann die Paare, die gebildet werden können, wenn man alle möglichen Pfeile in den schaubildern entlang geht.
 $$
-    F \circ K = \{(1, \alpha), (1, \beta), (1, \gamma), (2, \beta), (3, \beta)\}
+    R \circ K = \{(1, \alpha), (1, \beta), (1, \gamma), (2, \beta), (3, \beta)\}
 $$
 Im folgenden Schaubild sind die einzelnen Relationen aufgeführt, nur dieses sind die Pfeile rot eingefärbt,
 die für die Verkettung relevant sind.
@@ -254,13 +254,13 @@ Rechts im Bild ist dann nur noch das Resultat der Verkettung $R \circ K$ zu sehe
 
 Relationen kann man auch umkehren.
 Die Rolle der ersten Elemente eines Tupels vertauscht sich dann mit den zweiten Elementen.
-Das heißt, Wenn $x$ mit $y$ in Relation steht, also $(x,y) \in R$, dann ist das *Inverse* dazu $(y,x) \in R^{-1}$.
+Das heißt, wenn $x$ mit $y$ in Relation steht, also $(x,y) \in R$, dann ist das *Inverse* dazu $(y,x) \in R^{-1}$.
 
 :::note Inverse Relation
 
 Gegeben sei $R \subseteq A \times B$
 $$
-    R^{-1}\ :=\ \{(y,x)\ |\ (x,y) \in R \} \subset B \times A
+    R^{-1} \coloneqq \{(y,x)\ |\ (x,y) \in R \} \subset B \times A
 $$
 ist die *inverse Relation* zu $R$.
 
@@ -272,7 +272,7 @@ Also wenn $R \subseteq A \times B$, dann ist $R^{-1} \subseteq B \times A$.
 Gegeben seien $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$, $B = \{a, b, c, d\}$ und $R = \{(1,a), (1,d), (2,b), (3,b), (4,d)\} \subseteq A \times B$.
 Das Inverse $R^{-1}$ von $R$ ist jetzt jedes Paar aus $R$ umgedreht:
 $$
-    R^{-1} = \{ a,1), (b,2), (b,3), (d,1), (d,4) \}
+    R^{-1} = \{ (a,1), (b,2), (b,3), (d,1), (d,4) \}
 $$
 Veranschaulicht:
 
@@ -301,9 +301,9 @@ $$
 \begin{alignat*}{2}
     \quad && &(z,x) \in (R \circ K)^{-1}\\
     \overset{\text{Def. } \square^{-1}}{\Longleftrightarrow}\quad && &(x,z) \in R \circ K\\
-    \overset{\text{Def. } \circ}{\Longleftrightarrow}\quad && &\exists y:\ (x,y) \in R \wedge (y,z) \in K\\
-    \overset{\text{Def. } \square^{-1}}{\Longleftrightarrow}\quad && &\exists y:\ (y,x) \in R^{-1} \wedge (z,y) \in K^{-1}\\
-    \overset{\text{Kom. } \wedge}{\Longleftrightarrow}\quad && &\exists y:\ (z,y) \in K^{-1} \wedge (y,x) \in R^{-1}\\
+    \overset{\text{Def. } \circ}{\Longleftrightarrow}\quad && &\exists y \colon (x,y) \in R \wedge (y,z) \in K\\
+    \overset{\text{Def. } \square^{-1}}{\Longleftrightarrow}\quad && &\exists y \colon (y,x) \in R^{-1} \wedge (z,y) \in K^{-1}\\
+    \overset{\text{Kom. } \wedge}{\Longleftrightarrow}\quad && &\exists y \colon (z,y) \in K^{-1} \wedge (y,x) \in R^{-1}\\
     \overset{\text{Def. } \circ}{\Longleftrightarrow}\quad && &(z,x) \in K^{-1} \circ R^{-1}
         \qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare
 \end{alignat*}

docs/mathematik/mengenlehre/relationen/2_abbildungen.mdx

@@ -15,7 +15,7 @@ Bevor wir uns den Abbildungen widmen, definieren wir die Eindeutigkeit:
 
 Eine Relation $R \subseteq A \times B$ ist *eindeutig*, wenn
 $$
-    \forall x \in A\ \forall y, y' \in B:\ (x,y) \in R \wedge (x,y') \in R \rightarrow y = y'
+    \forall x \in A\ \forall y, y' \in B \colon (x,y) \in R \wedge (x,y') \in R \rightarrow y = y'
 $$
 
 :::
@@ -32,18 +32,18 @@ Bei der Eindeutigkeit ist es egal, wie viele Pfeile rechts auf ein Element zugeh
 
 :::note Abbildung / Funktion
 
-$f$ ist *Abbildung* oder *Funktion* von $A$ in $B$ $:=$
+$f$ ist *Abbildung* oder *Funktion* von $A$ in $B$ $:\Leftrightarrow$
 - $f$ ist Relation, also $f \subseteq A \times B$
 - $D(f) = A$, also $f$ ist Relation *__von__ $A$ in $B$*
 - $f$ ist eindeutig
 
 Mathematisch-logisch aufgeschrieben:
 $$
-    \forall x \in A\ \exists ! y \in B:\ (x,y) \in A \times B
+    \forall x \in A\ \exists ! y \in B \colon (x,y) \in A \times B
 $$
 
 :::
-Man schreibt dafür: $f:\ A \rightarrow B$.  
+Man schreibt dafür: $f \colon A \rightarrow B$.
 Statt $R(x) = \{y\}$ wie bei normalen Relationen, schreibt man verkürzt $f(x) = y$, da das $y$ ja nun eindeutig ist.
 
 Eine Funktion ordnet also jedem Element aus $A$ genau ein $y$ aus $B$ zu.
@@ -56,12 +56,12 @@ Eine Abbildung oder eine Funktion einer Menge $A$ in eine Menge $B$ ordnet jedem
 
 :::
 Bei dieser Definition wird komplett auf die mengentheoretische Begriffe wie *geordnetes Paar* oder auch *Relation* verzichtet.
-Erst aufbauend darauf wird dann mengentheoretisch der *Graph der Funktion* definiert als $G_f := \{(x,f(x))\ |\ x \in A \wedge f(x) \in B\} \subseteq A \times B$.
+Erst aufbauend darauf wird dann mengentheoretisch der *Graph der Funktion* definiert als $G_f \coloneqq \{(x,f(x))\ |\ x \in A \wedge f(x) \in B\} \subseteq A \times B$.
 Aus mengentheoretischer Sicht stimmen in diesen Fällen die Begriffe "Funktion" und "Graph der Funktion" überein.
 
 #### Beispiele
 Gegeben seien $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ und $B = \{a, b, c, d\}$.
-Eine Abbildung $f:\ A \rightarrow B$ können dann sein:
+Eine Abbildung $f \colon A \rightarrow B$ können dann sein:
 - $f = \{(1,b)\}$
 - $f = \{(1,a), (2,b), (3,b), (4,d)\}$
 - $f = \{(1,b), (2,c), (3,d), (4,a), (5,b)\}$
@@ -73,9 +73,9 @@ dann schreibt man Abbildungen so:
 :::note Schreibweisen
 
 $$
-    f:\ A \rightarrow B,\ x \mapsto f(x)
+    f \colon A \rightarrow B,\ x \mapsto f(x)
     \qquad\qquad\text{oder}\qquad\qquad
-    f: \begin{cases}
+    f \colon \begin{cases}
         A \rightarrow B\\
         x \mapsto f(x)
     \end{cases}
@@ -85,8 +85,8 @@ wobei anstelle $f(x)$ dann z.B. eine *Funktionsgleichung* tritt.
 :::
 
 #### Beispiele
-- $f:\ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},\ x \mapsto x^2 \quad$ für eine Parabel
-- $f: \begin{cases}
+- $f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},\ x \mapsto x^2 \quad$ für eine Parabel
+- $f \colon \begin{cases}
      \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}\\
      x \mapsto \sqrt{x}
   \end{cases} \quad$ für Wurzeln von natürlichen Zahlen
@@ -95,7 +95,7 @@ Es werden noch mehr unterschiedliche Darstellungsformen für Funktionen auftauch
 Bis dahin sollten einem die Begriffe allerdings so vertraut vorkommen, dass eine genaue Definition oder Einführung nicht notwendig ist.
 
 ## Grundlegende Eigenschaften von Funktionen
-Die *Verkettung*, oder auch *Komposition*, $f \circ g: A \rightarrow C$ von Funktionen $f:\ A \rightarrow B$ und $g:\ B \rightarrow C$ ist wieder eine Funktion.
+Die *Verkettung*, oder auch *Komposition*, $f \circ g \colon A \rightarrow C$ von Funktionen $f \colon A \rightarrow B$ und $g \colon B \rightarrow C$ ist wieder eine Funktion.
 Für die Komposition gilt $f \circ g = g(f(x))$.
 In anderer Literatur kann es sein, dass die Komposition anders definiert ist und dann $f \circ g = f(g(x))$ gilt.
 
@@ -106,9 +106,9 @@ Zwei Funktionen $f$ und $g$ sind gleich $f=g$, wenn für alle $x$ gilt $f(x) = g
 :::note Injektivität, Surjektivität, Bijektivität
 
 Sei $f: A \rightarrow B$ eine Funktion.
-- $f$ heißt *injektiv* (*eineindeutig*) $:=\ \forall x,x' \in A:\ f(x) = f(x') \rightarrow x = x'$
-- $f$ heißt *surjektiv* (*Abbildung auf $B$*) $:=\ \forall y \in B\ \exists x \in A:\ f(x) = y$
-- $f$ heißt *bijektiv* (*eineindeutige Abbildung auf $B$*) $:=\ f$ ist injektiv und surjektiv
+- $f$ heißt *injektiv* (*eineindeutig*) $\coloneqq\ \forall x,x' \in A \colon f(x) = f(x') \rightarrow x = x'$
+- $f$ heißt *surjektiv* (*Abbildung auf $B$*) $\coloneqq\ \forall y \in B\ \exists x \in A \colon f(x) = y$
+- $f$ heißt *bijektiv* (*eineindeutige Abbildung auf $B$*) $\coloneqq\ f$ ist injektiv und surjektiv
 
 :::
 *Injektivität* bedeutet, dass jedes $y$ aus der Bildmenge *höchstens einmal* abgebildet wird.
@@ -133,21 +133,21 @@ Dass dabei $A$ und $B$ gleich viele Elemente haben müssen ist kein Zufall.
 Welche Rolle bijektive Abbildungen bei der *Kardinalität* ("Größe") von Mengen haben, wird im Kapitel [Endlichkeit und Kardinalzahlen](../endlichkeit) erklärt.
 
 #### Beispiele
-Gegeben sei $f:\ \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N},\ n \mapsto f(n)$.
+Gegeben sei $f \colon \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N},\ n \mapsto f(n)$.
 Betrachten verschiedene Funktionsgleichungen für $f(n)$:
-- $f(n)\ :=\ n+1 \quad$ (*Nachfolgerfunktion*) ist injektiv, aber nicht surjektiv, da $0 \notin W(f)$
-- $f(n)\ := \begin{cases} \lfloor \frac{n}{2} \rfloor & n \text{ gerade}\\ 0 & n \text{ ungerade} \end{cases} \quad$ ist surjektiv, 
+- $f(n) \coloneqq n+1 \quad$ (*Nachfolgerfunktion*) ist injektiv, aber nicht surjektiv, da $0 \notin W(f)$
+- $f(n)\ \coloneqq \begin{cases} \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor & n \text{ gerade}\\ 0 & n \text{ ungerade} \end{cases} \quad$ ist surjektiv,
   aber nicht injektiv, da z.B. $f(1) = f(3) = 0$
-- $f(n)\ :=\ n \quad$ (*identische Abbildung*) ist injektiv, surjektiv und damit auch bijektiv
+- $f(n) \coloneqq n \quad$ (*identische Abbildung*) ist injektiv, surjektiv und damit auch bijektiv
 
-Gegeben sei $f:\ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},\ x \mapsto x^2$, also eine Parabelfunktion.
+Gegeben sei $f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},\ x \mapsto x^2$, also eine Parabelfunktion.
 $f$ ist weder injektiv, noch surjektiv.
 Wenn man allerdings die Abbildungsmengen einschränkt, kann man eine injektive, surjektive oder bijektive Abbildung erhalten.
 Im Folgenden bezeichnen wir $\mathbb{R}_{\ge 0}$ als die Menge der nicht-negativen reellen Zahlen, also reelle Zahlen $\ge 0$.
 Am einfachsten ist es, sich die folgenden Fälle zu skizzieren:
-- $f:\ \mathbb{R}_{\ge 0} \rightarrow \mathbb{R},\ x \mapsto x^2 \quad$ ist injektiv, aber nicht surjektiv
-- $f:\ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_{\ge 0},\ x \mapsto x^2 \quad$ ist surjektiv, aber nicht injektiv
-- $f:\ \mathbb{R}_{\ge 0} \rightarrow \mathbb{R}_{\ge 0},\ x \mapsto x^2 \quad$ ist injektiv und surjektiv und damit auch bijektiv
+- $f \colon \mathbb{R}_{\ge 0} \rightarrow \mathbb{R},\ x \mapsto x^2 \quad$ ist injektiv, aber nicht surjektiv
+- $f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_{\ge 0},\ x \mapsto x^2 \quad$ ist surjektiv, aber nicht injektiv
+- $f \colon \mathbb{R}_{\ge 0} \rightarrow \mathbb{R}_{\ge 0},\ x \mapsto x^2 \quad$ ist injektiv und surjektiv und damit auch bijektiv
 
 Zu bijektiven Funktion sagt man auch, sie bilden "*umkehrbar eindeutig*" ab.
 Eingangs wurde erwähnt:
@@ -160,12 +160,12 @@ Bei einer bijektiven Abbildung, die durch eine Funktionsgleichung $y = f(x)$ geg
 dass man die Funktionsgleichung nach $x$ umstellt.
 Man hat dann einen Ausdruck der Form $x = g(y) = f^{-1}(y)$.
 
-Gegeben sei die Abbildung $f:\ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+$ mit der Funktionsgleichung $f(x) = e^x$.
+Gegeben sei die Abbildung $f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+$ mit der Funktionsgleichung $f(x) = e^x$.
 Die Exponentialfunktion ist surjektiv, wenn man diese auf die positiven reellen Zahlen abbildet, also die nicht-negativen reellen Zahlen ohne die $0$:
-$\mathbb{R}^+ := \mathbb{R}_{>0} = \mathbb{R}_{\ge 0} \setminus \{0\}$.
+$\mathbb{R}^+ \coloneqq \mathbb{R}_{>0} = \mathbb{R}_{\ge 0} \setminus \{0\}$.
 Der ganze Beweis der Bijektivität sei an dieser allerdings weggelassen.
 
-Die Umkehrfunktion $f^{-1}:\ \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}$ kann man nun durch Umstellen nach $y$ berechnen:
+Die Umkehrfunktion $f^{-1} \colon \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}$ kann man nun durch Umstellen nach $y$ berechnen:
 $$
 \begin{alignat*}{2}
     && y &= f(x)\\
@@ -194,26 +194,26 @@ Formal lässt sich das so auffassen:
 
 :::note Erweiterung
 
-Gegeben seien eine Abbildung $f:\ A \rightarrow B$ und die Teilmengen $X \subseteq A$ und $Y \subseteq B$.
+Gegeben seien eine Abbildung $f \colon A \rightarrow B$ und die Teilmengen $X \subseteq A$ und $Y \subseteq B$.
 
-$\widehat{f}(X)\ :=\ \{ y\ |\ y \in B \wedge \exists x \in X:\ f(x) = y \}$
+$\widehat{f}(X) \coloneqq \{ y\ |\ y \in B \wedge \exists x \in X \colon f(x) = y \}$
 heißt *Erweiterung* von $f$ auf $\mathcal{P}(A)$.
 
-$\widehat{f^{-1}}(Y)\ :=\ \{ x\ |\ x \in A \wedge f(x) \in Y \}$
+$\widehat{f^{-1}}(Y) \coloneqq \{ x\ |\ x \in A \wedge f(x) \in Y \}$
 heißt *Erweiterung* von $\underbrace{f^{-1}}_{\substack{\text{Inverse Relation}\\\text{i.A. keine Abbildung}}}$ auf $\mathcal{P}(B)$.
 
 :::
 
-$\widehat{f}:\ \mathcal{P}(A) \rightarrow \mathcal{P}(B)$ ist wie $f$ wieder eine Abbildung.
+$\widehat{f} \colon \mathcal{P}(A) \rightarrow \mathcal{P}(B)$ ist wie $f$ wieder eine Abbildung.
 Während $f^{-1}$ hier allgemein die inverse Relation ist und damit keine (Umkehr-)Abbildung,
-ist $\widehat{f^{-1}}:\ \mathcal{P}(B) \rightarrow \mathcal{P}(A)$ allerdings immer eine Abbildung.
+ist $\widehat{f^{-1}} \colon \mathcal{P}(B) \rightarrow \mathcal{P}(A)$ allerdings immer eine Abbildung.
 
 Häufig schreibt man statt $\widehat{f}$ auch wieder nur $f$ bzw. für $\widehat{f^{-1}}$ auch wieder $f^{-1}$.
 Eine Verwechslung ist ausgeschlossen, da die Abbildung $f$ ein Element entgegennimmt, 
 während die Erweiterung von $f$ eine Menge entgegennimmt.
 
 #### Beispiele
-Gegeben sei $f:\ \{1, 2, 3\} \rightarrow \{a, b, c, d\}$ mit $f(1) = a,\ f(2) = c,\ f(3) = a$.
+Gegeben sei $f \colon \{1, 2, 3\} \rightarrow \{a, b, c, d\}$ mit $f(1) = a,\ f(2) = c,\ f(3) = a$.
 Dann sind bspw.:
 - $\widehat{f}(\emptyset) = f(\emptyset) = \emptyset$
 - $\widehat{f}(\{1, 2\}) = f(\{1, 2\}) = \{ a, c \}$
@@ -234,7 +234,7 @@ Diese spielen in der Algebra eine wichtige Rolle.
 
 :::note Operation oder Verknüpfung
 
-$f$ heißt *innere $n$-stellige algebraische Operation* $:=\ f:\ A^n \rightarrow A$.
+$f$ heißt *innere $n$-stellige algebraische Operation* $\coloneqq\ f \colon A^n \rightarrow A$.
 
 :::
 
@@ -249,17 +249,17 @@ Bereits im Kapitel [Verband](../mengen#verband) wurden zweistellige Operationen
 
 #### Beispiele
 Aus dem Kapitel [Verband](../mengen#verband) wissen wir, dass $\cap$ und $\cup$ zweistellige Operationen für eine Menge $A$ sind:
-- $\cap:\ \mathcal{P}^2(A) \rightarrow \mathcal{P}(A)$
-- $\cup:\ \mathcal{P}^2(A) \rightarrow \mathcal{P}(A)$
+- $\cap \colon \mathcal{P}^2(A) \rightarrow \mathcal{P}(A)$
+- $\cup \colon \mathcal{P}^2(A) \rightarrow \mathcal{P}(A)$
 
 Weitere Beispiele:
-- $+:\ \mathbb{N}^2 \rightarrow \mathbb{N}$ als Addition in den natürlichen Zahlen: $+(a, b) = a+b \quad = \quad c$
+- $+ \colon \mathbb{N}^2 \rightarrow \mathbb{N}$ als Addition in den natürlichen Zahlen: $+(a, b) = a+b \quad = \quad c$
   - $+(2,3) = 2 + 3 \quad = \quad 5$
   - $100 + 1 = 101$
-- $\hat{\ }:\ \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ als Potenz: $\hat{\ }(a,b) = a^b \quad = \quad c$
+- $\hat{\ } \colon \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ als Potenz: $\hat{\ }(a,b) = a^b \quad = \quad c$
   - $\hat{\ }(2,2) = 2^2 \quad = \quad 4$
   - $3^4 = 81$
-- $\circ:\ \text{Abb}(A,A)^2 \rightarrow \text{Abb}(A,A)$ als Komposition: $\circ(f,g) = f \circ g = g(f(x)) \quad = \quad h$  
+- $\circ \colon \text{Abb}(A,A)^2 \rightarrow \text{Abb}(A,A)$ als Komposition: $\circ(f,g) = f \circ g = g(f(x)) \quad = \quad h$.
   $\text{Abb}(A,A)$ ist dabei die Menge aller Abbildungen von $A$ in $A$.
   - Mit $f(x) = x^2,\ g(x) = x+2$ ist $\circ(f,g) = f \circ g = g(f(x)) \quad = \quad g(x^2) = x^2+2$
   - Mit $f(x) = \ln(x) + \frac{\pi}{2},\ g(x) = \sin x$ ist 

docs/mathematik/mengenlehre/relationen/3_aequivalenzrelationen.mdx

@@ -4,4 +4,44 @@ tags: [mathematik, mengenlehre, relation, äquivalenzrelation, äquivalenz]
 sidebar_position: 4
 ---
 
-WIP
+Eine weitere wichtige Art der Relationen sind die *Äquivalenzrelationen*.
+Die Äquivalenzrelationen und die mit diesen eng zusammenhängenden *Äquivalenzklassen* sind für viele weiterführende Begriffe der Mathematik essentiell.
+
+# Äquivalenzrelationen
+Bevor wir die Äquivalenzrelationen formal einführen, widmen wir uns erst nochmal ein paar wichtige Einordnungen Relationen betreffend.
+
+:::note Reflexivität / Symmetrie / Transitivität
+
+Sei $M$ eine Menge und $\varrho \subseteq M \times M$ eine Relation.
+- $\varrho$ heißt *reflexiv* $:\Leftrightarrow \forall x \in M \colon (x,x) \in \varrho$
+- $\varrho$ heißt *symmetrisch* $:\Leftrightarrow \forall x,y \in M \colon (x,y) \in \varrho \rightarrow (y,x) \in \varrho$
+- $\varrho$ heißt *transitiv* $:\Leftrightarrow \forall x,y,z \in M \colon (x,y) \in \varrho \wedge (y,z) \in \varrho \rightarrow (x,z) \in \varrho$
+
+:::
+
+#### Beispiele
+Gegeben sei die Menge $M = \{a,b,c\}$.
+- $\varrho = \{(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (a,c)\}$ ist reflexiv,
+    da die Paare $(a,a)$, $(b,b)$ und $(c,c)$ in $\varrho$ sind.\
+    $\varrho = \{(a,a), (c,c), (a,b)\}$ dagegen ist nicht reflexiv, da $(b,b)$ fehlt.
+
+- $\varrho = \{(a,a), (a,b), (b,a), (b,c), (c,b)\}$ ist symmetrisch,
+    da zu jedem Paar $(x,y)$ auch das Inverse Paar $(y,x)$ vorkommt.\
+    $\varrho = \{(a,a), (a,c), (b,a)\}$ dagegen ist nicht symmetrisch, da sowohl $(c,a)$ und $(a,b)$ fehlt.
+
+- $\varrho = \{(a,b), (b,c), (a,c)\}$ ist transitiv,
+    da $(a,c)$ vorhanden ist, nachdem schon $(a,b)$ und $(b,c)$ in $\varrho$ sind.\
+    $\varrho = \{(a,b), (b,a), (b,c)\}$ dagegen ist nicht transitiv, da sowohl $(a,a)$ fehlt.
+
+Eine Relation, die nun all diese drei Eigenschaften zugleich erfüllt nennt sich *Äquivalenzrelation*.
+
+:::note Äquivalenzrelation
+
+Sei $M$ eine Menge und $\varrho \subseteq M \times M$ eine Relation.
+$\varrho$ heißt *Äquivalenzrelation*, falls $\varrho$ reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
+
+:::
+
+#### Beispiele
+Die wohl bekannteste Äquivalenzrelation auf jeder Menge $M$ ist die Gleichheit $=$ mit ihren üblichen Eigenschaften.
+Äquivalenz in der Logik ist ebenfalls eine Äquivalenzrelation.

docusaurus.config.js

@@ -87,7 +87,7 @@ export default {
                     //     position: 'left'
                     // },
                     {
-                        href: 'https://git.niklas-birk.de/niklas/niklas_birk_blog',
+                        href: 'https://git.niklas-birk.de/niklas/niklas_birk_math',
                         label: 'Zum Code',
                         position: 'right',
                     },
@@ -170,4 +170,7 @@ export default {
             crossorigin: 'anonymous',
         },
     ],
+    future: {
+        experimental_faster: true,
+    }
 };

package.json

@@ -1,6 +1,6 @@
 {
   "name": "niklas-birk-blog",
-  "version": "0.1.1",
+  "version": "0.1.2",
   "private": true,
   "scripts": {
     "docusaurus": "docusaurus",
@@ -14,20 +14,21 @@
     "write-heading-ids": "docusaurus write-heading-ids"
   },
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-    "@docusaurus/core": "^3.4.0",
-    "@docusaurus/preset-classic": "^3.4.0",
-    "@mdx-js/react": "^3.0.1",
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     "clsx": "^2.1.1",
     "hast-util-is-element": "^3.0.0",
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+    "rehype-katex": "^7.0.1",
     "remark-math": "^6.0.0"
   },
   "devDependencies": {
-    "@docusaurus/module-type-aliases": "^3.4.0",
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   "browserslist": {
     "production": [