chapter 3

proseminar.bib

@@ -1,20 +1,18 @@
 @book{heuser,
+    author = {Heuser, Harro},
     title = {Gew{\"o}hnliche Differentialgleichungen},
     subtitle = {Einf{\"u}hrung in Lehre und Gebrauch},
-    series = {Mathematische Leitfäden},
+    publisher = {Vieweg+Teubner Verlag},
-    author = {Heuser, Harro},
     year = {2009},
     edition = {6},
-    publisher = {Vieweg+Teubner Verlag},
+    pages = {453,460,462},
-    isbn = {978-3-8348-0705-2}
 }
 
 @book{grune,
+    author = {Gr{\"u}ne, Lars AND Junge, Oliver},
     title = {Gew{\"o}hnliche Differentialgleichungen},
     subtitle = {Eine Einführung aus der Perspektive der dynamischen Systeme},
-    author = {Gr{\"u}ne, Lars and Junge, Oliver},
-    year = {2009},
     publisher = {Vieweg+Teubner Verlag},
-    series = {Bachelorkurs Mathematik},
+    year = {2009},
-    isbn = {978-3-8348-9261-4}
+    pages = {10--16},
 }

proseminar.sty

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+\DeclareMathOperator{\diag}{diag}
+
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proseminar_skript.tex

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 \documentclass[11pt]{scrartcl}
 
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 \subject{Proseminar}
 \title{
@@ -26,10 +27,10 @@
     \section{Lineare Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten}\label{sec:01}
     \input{sections/01_ldgls}
 
-    \section{Existenz und Eindeutigkeit}\label{sec:02}
+    \section{Existenz und Eindeutigkeit der Lösung}\label{sec:02}
     \input{sections/02_existenz_eindeutigkeit}
 
-    \section{Anwendung auf homogene lineare DGLS}\label{sec:03}
+    \section{Anwendung der Matrixexponentialfunktion auf homogene lineare DGLS}\label{sec:03}
     \input{sections/03_anwendung_auf_jnf}
 
 \end{document}

sections/02_existenz_eindeutigkeit.tex

@@ -1,4 +1,4 @@
-Eine~\eqref{eq:dgls} zusammen mit einem einem Anfangswertvektor
+Ein~\ref{eq:dgls} zusammen mit einem einem Anfangswertvektor
 \begin{equation*}
     \vec{y}(x_0) \coloneqq \vec{y}_0 \coloneqq \begin{pmatrix} y_{1_0}\\ \vdots\\ y_{n_0} \end{pmatrix} \in \RR^n
 \end{equation*}
@@ -22,13 +22,13 @@ an der Stelle $x_0 \in \RR$ nennt man ein \emph{C\textc{auchy}-Problem} oder \em
                 \begin{equation*}
                     A \vec{y}(x) = A e^{(x - x_0) A} \vec{y}_0.
                 \end{equation*}
-                Zusammen mit~\eqref{eq:} folgt direkt, dass~\eqref{eq:solution} das C\textc{auchy}-Problem löst.
+                Zusammen mit~\eqref{*} folgt direkt, dass~\eqref{eq:solution} das C\textc{auchy}-Problem löst.
 
         \item   \underline{Eindeutigkeit:}\\
                 Angenommen $\vec{u}(x)$ sei eine weitere Lösung, d.h.~es gilt $\vec{u}' = A \vec{u},\ \vec{u}(x_0) = \vec{y}_0$.
                 Dann ist
                 \begin{align*}
-                    \dfdx{}{x} \left(  \right)
+                    \dfdx{}{x} \left( \text{tbc.} \right)
                 \end{align*}
     \end{itemize}
 \end{proof}

sections/03_anwendung_auf_jnf.tex

@@ -0,0 +1,232 @@
+Die gewonnenen Erkenntnisse können nun dazu genutzt werden, um Lösungen für homogene lineare Differentialgleichungssysteme zu finden.
+
+\subsection{Diagonale Matrizen}\label{subsec:03-01}
+Zunächst werden diagonale Matrizen $A = \diag\{a_1,\dots,a_n\}$ betrachtet.
+Vorgegeben sei also eine Diagonalmatrix
+\begin{equation*}
+    A = \diag\{a_1,\dots,a_n\}
+    = \begin{pmatrix}
+          a_1 &        & \\
+              & \ddots & \\
+              &        & a_3
+    \end{pmatrix}.
+\end{equation*}
+Für ein~\ref{eq:dgls} liegen dann die $n$ unabhängigen Differentialgleichungen
+\begin{equation*}
+    y'_i(x) = a_i y_i(x) \qquad (i = 1,\dots,n)
+\end{equation*}
+vor, deren Lösungen zu einem gegebenen Anfangswert $\vec{y}_0 = (y_{0_1},\dots,y_{0_n})^T$ durch
+\begin{equation*}
+    y_i(x) = \e^{a_i x} y_{0_i} \qquad (i = 1,\dots,n)
+\end{equation*}
+gegeben sind.
+Mittels Matrixexponentialfunktion lässt sich die Lösung also durch
+\begin{equation*}
+    \vec{y}(x) = \e^{Ax}
+    = \begin{pmatrix}
+        \e^{a_1 x} &        & \\
+                   & \ddots & \\
+                   &        & \e^{a_n x}
+    \end{pmatrix}
+\end{equation*}
+angeben.
+
+\subsection{Diagonalisierbare Matrizen}\label{subsec:03-02}
+Das Lösen eines~\ref{eq:dgls} mit einer diagonalisierbaren Koeffizientenmatrix $A$ kann auf den obigen Fall der~\nameref{subsec:03-01}
+zurückgeführt werden.
+Dazu stellen wir $A$ mit einer Diagonalmatrix $L = \diag\{\lambda_1,\dots,\lambda_n\}$ aus den Eigenwerten $\lambda_i$ ($i = 1,\dots,n$)
+und $V$ die Matrix der zugehörigen Eigenvektoren von $A$ durch
+\begin{equation*}
+    A = V L V^{-1}
+\end{equation*}
+dar.
+
+\begin{theorem}\label{thm:diagbar-cp-solution}
+    Sei $A = V L V^{-1}$ eine diagonalisierbare Matrix mit $L = \diag\{\lambda_1,\dots,\lambda_n\}$,
+    wobei $\lambda_i$ ($i = 1,\dots,n$) die Eigenwerte und $V$ die Matrix mit den zugehörigen Eigenvektoren von $A$ sind.
+    Dann ist die Lösung eines~\hyperref[eq:cp]{C\textc{auchy}-Problems}
+    \begin{gather*}
+        \vec{y}'(x) = A \vec{y}(x) = V L V^{-1} \vec{y}(x), \qquad \vec{y}_0 = (y_{1_0},\dots,y_{n_0})^T\\
+        \intertext{durch}
+        \begin{aligned}
+            \vec{y}(x)
+            &= V \e^{L x} V^{-1} \vec{y}_0\\
+            \big( &= \left. V \diag\left\{\e^{\lambda_1 x}, \dots,\e^{\lambda_n x}\right\} V^{-1} \right)
+        \end{aligned}
+    \end{gather*}
+    gegeben.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Das~\ref{eq:dgls}
+    \begin{gather*}
+        \vec{y}'(x) = V L V^{-1} \vec{y}(x)\\
+        \intertext{lässt sich zu}
+        V^{-1} \vec{y}'(x) = L V^{-1} \vec{y}(x).
+    \end{gather*}
+    umformen.
+    Durch Substitution von $\vec{u} = V^{-1} \vec{y}$ ergibt sich das~\ref{eq:dgls}
+    \begin{equation}\tag{$\triangle$}\label{eq:03-02-01}
+        \vec{u}'(x) = L \vec{u}(x), \qquad \vec{u}_0 \coloneqq \vec{u}(x_0) = V^{-1} \vec{y}(x_0) = V^{-1} \vec{y}_0.
+    \end{equation}
+    Da $L$ eine Diagonalmatrix ist, folgt mit~\autoref{subsec:03-01}, dass
+    \begin{equation*}
+        \vec{u}(x) = \e^{L x} \vec{u}_0
+    \end{equation*}
+    die Lösung von~\eqref{eq:03-02-01} ist.
+    Rücksubstitution ergibt schließlich die Lösung
+    \begin{equation*}
+        \vec{u}(x) = \e^{L x} \vec{u}_0
+        \qquad\Leftrightarrow\qquad V^{-1} \vec{y} = \e^{L x} V^{-1} \vec{y}_0
+        \qquad\Leftrightarrow\qquad \vec{y} = V \e^{L x} V^{-1} \vec{y}_0.
+    \end{equation*}
+\end{proof}
+
+\begin{corollary}
+    Sei $A$ diagonalisierbar mit $A = V L V^{-1}$.
+    Dann gilt für die Matrixexponentialfunktion
+    \begin{equation*}
+        \e^{A} = V \e^{L} V^{-1}.
+    \end{equation*}
+\end{corollary}
+
+\begin{proof}
+    Zuerst wird gezeigt, dass $A^k = V L^k V^{-1}$ für $k \in \NN$:
+    \begin{alignat*}{2}
+        A^k &= (V L V^{-1})^k &&= \underbrace{(V L V^{-1}) (V L V^{-1}) (V L V^{-1}) \dots (V L V^{-1})}_{k \text{-mal}}\\
+            &= V L \underbrace{(V^{-1} V)}_{E} L \underbrace{(V^{-1} V)}_{E} \dots \underbrace{(V^{-1} V)}_{E} L V^{-1} &&= V \underbrace{L \cdots L}_{k \text{-mal}} V^{-1}\\
+            &= V L^k V^{-1}
+    \end{alignat*}
+    Damit folgt dann für die Matrixexponentialfunktion
+    \begin{alignat*}{2}
+        \e^{A} &= \e^{V L V^{-1}} &&= \sum^\infty_{k=0} \frac{(V L V^{-1})^k}{k!}\\
+               &= \sum^\infty_{k=0} \frac{V L^k V^{-1}}{k!} &&= V \left( \sum^\infty_{k=0} \frac{L^k}{k!} \right) V^{-1}\\
+               &= V e^L V^{-1}
+    \end{alignat*}
+\end{proof}
+
+\hyperref[thm:diagbar-cp-solution]{Folgerung~\ref*{thm:diagbar-cp-solution}} lässt sich leicht ersichtlich auf einen allgemeinen Fall von ähnlichen Matrizen $A = S B S^{-1}$ übertragen, d.h.
+\begin{equation*}
+    \e^A = \e^{S B S^{-1}} = S \e^B S^{-1}.
+\end{equation*}
+
+\subsection{Nicht-diagonalisierbare Matrizen}\label{subsec:03-03}
+Jede Matrix $A$ lässt sich auf eine \emph{J\textc{ordan}-Normalform} $J = V^{-1} A V$ bringen.
+Eine J\textc{ordan}-Normalform $J$ ist eine Blockdiagonalmatrix der Form
+\begin{gather*}
+    J = \begin{pmatrix}
+            J_1 &        &  \\
+                & \ddots & \\
+                &        & J_n
+    \end{pmatrix}\\
+    \intertext{mit J\textc{ordan}-Kästchen}
+    J_i = \begin{pmatrix}
+              \lambda & 1       &        & \\
+                      & \lambda & \ddots & \\
+                      &         & \ddots & 1 \\
+                      &         &        & \lambda
+    \end{pmatrix}
+    \qquad (i = 1,\dots,n).
+\end{gather*}
+Das folgende \hyperref[thm:blockdiag-exp]{Lemma~\ref*{thm:blockdiag-exp}} lässt vermuten,
+dass die gewonnenen Erkenntnisse aus~\autoref{subsec:03-02} anwendbar sein könnten.
+
+\begin{lemma}\label{thm:blockdiag-exp}
+    Sei $A \in \RR^{nd \times nd}$ eine Blockdiagonalmatrix
+    \begin{equation*}
+        A = \begin{pmatrix}
+                A_1 &        & \\
+                    & \ddots & \\
+                    &        & A_n
+        \end{pmatrix},
+    \end{equation*}
+    mit quadratische Matrizen $A_1, \dots, A_n \in \RR^{d \times d}$.
+    Dann gilt
+    \begin{equation*}
+        \e^A = \begin{pmatrix}
+                   \e^{A_1} &        & \\
+                            & \ddots & \\
+                            &        & \e^{A_n}
+        \end{pmatrix}.
+    \end{equation*}
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Es gilt
+    \begin{equation*}
+        A^k = \begin{pmatrix}
+                  A^k_1   &        & \\
+                          & \ddots & \\
+                          &        & A^k_n
+        \end{pmatrix}.
+    \end{equation*}
+    Damit folgt dann
+    \begin{alignat*}{2}
+        \e^A
+        &= \sum^\infty_{k=0} \frac{A^k}{k!}
+            &&= \sum^\infty_{k=0}
+            \begin{pmatrix}
+                \frac{A^k_1}{k!} &        & \\
+                                 & \ddots & \\
+                                 &        & \frac{A^k_n}{k!}
+            \end{pmatrix}\\
+        &= \sum^\infty_{k=0}
+            \begin{pmatrix}
+                \frac{A^k_1}{k!} &        & \\
+                                 & \ddots & \\
+                                 &        & \frac{A^k_n}{k!}
+            \end{pmatrix}
+            &&= \begin{pmatrix}
+                    \sum^\infty_{k=0} \frac{A^k_1}{k!} &        & \\
+                                                       & \ddots & \\
+                                                       &        & \sum^\infty_{k=0} \frac{A^k_n}{k!}
+            \end{pmatrix}\\
+        &= \begin{pmatrix}
+               \e^{A_1} &        & \\
+                        & \ddots & \\
+                        &        & \e^{A_n}
+        \end{pmatrix}
+    \end{alignat*}
+\end{proof}
+
+Es ergeben sich also Lösungen eines gegebenen~\hyperref[eq:cp]{C\textc{auchy}-Problems} mit einer nicht-diagonalisierbaren Matrix $A = V J V^{-1}$ durch
+\begin{equation*}
+    \vec{y}(x) = V \e^{J x} V^{-1} \vec{y}_0.
+\end{equation*}
+Zudem zeigt~\hyperref[thm:blockdiag-exp]{Lemma~\ref*{thm:blockdiag-exp}},
+dass sich die Berechnung von $\e^J$ auf die einzelnen $\e^{J_i}$ für $i = 1,\dots,n$ reduzieren lässt.\\
+Ein J\textc{ordan}-Kästchen $J_i$ lässt sich weiter zerlegen zu
+\begin{equation*}
+    J_i = \begin{pmatrix}
+              \lambda   & 1       &        & \\
+                        & \lambda & \ddots & \\
+                        &         & \ddots & 1 \\
+                        &         &        & \lambda
+    \end{pmatrix}
+    = \underbrace{\begin{pmatrix}
+        \lambda  &        & \\
+                 & \ddots & \\
+                 &        & \lambda
+    \end{pmatrix}}_{= L}
+    + \underbrace{\begin{pmatrix}
+          0 & 1 &        & \\
+            & 0 & \ddots & \\
+            &   & \ddots & 1 \\
+            &   &        & 0
+    \end{pmatrix}}_{\eqqcolon N}
+    = L + N.
+\end{equation*}
+Dabei ist $N$ eine \emph{nilpotente} Matrix, d.h.\ es existiert ein $l \in \NN$ so, dass $N^l = 0$.
+Die Matrizen $L$ und $N$ kommutieren, weshalb
+\begin{equation*}
+    \e^{L + N} = \e^L \e^N
+\end{equation*}
+gilt.
+Da $L$ eine Diagonalmatrix ist, ist die Lösung von $\e^L$ bereits aus~\autoref{subsec:03-01} bekannt.
+Für $N$ als nilpotente Matrix ergibt sich zudem eine endliche Summe bei der Berechnung von $\e^N$,
+da ab einem $l \in \NN$ gilt, dass $N^l = N^{l+1} = \dots = 0$, d.h.
+\begin{equation*}
+    \e^N
+    = \sum^\infty_{k=0} \frac{N^k}{k!}
+    = \sum^{l-1}_{k=0} \frac{N^k}{k!}.
+\end{equation*}