niklas/proseminar_algebra
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Niklas Birk 2023-05-27 23:24:34 +02:00
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sections/01_ldgls.tex
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@ -1,19 +1,19 @@
\begin{definition} \begin{definition}
Seien $y_1,\dots,y_n: I \subseteq \RR \to \RR$ differenzierbar und $a_{jk} \in \RR$ für $j,k = 1,\dots,n$. Seien $y_1,\dots,y_n: I \subseteq \RR \to \RR$ differenzierbar und $a_{jk} \in \RR$ für $j,k = 1,\dots,n$.
Dann heißt Dann heißt
\begin{equation}\tag{DGLS}\label{eq:dgls} \begin{equation*}
\begin{aligned} \begin{aligned}
y'_1(x) &= a_{11} y_1(x) + \dots + a_{1n} y_n(x)\\ y'_1(x) &= a_{11} y_1(x) + \dots + a_{1n} y_n(x)\\
y'_2(x) &= a_{21} y_1(x) + \dots + a_{2n} y_n(x)\\ y'_2(x) &= a_{21} y_1(x) + \dots + a_{2n} y_n(x)\\
&\vdots\\ &\vdots\\
y'_n(x) &= a_{n1} y_1(x) + \dots + a_{nn} y_n(x) y'_n(x) &= a_{n1} y_1(x) + \dots + a_{nn} y_n(x)
\end{aligned} \end{aligned}
\end{equation}
ein \emph{homogenes lineares Differentialgleichungssystem} (DGLS) (1. Ordnung).\\
Das System~\eqref{eq:dgls} lässt sich auch kompakt in der Form
\begin{equation*}
\vec{y}'(x) = A \vec{y}(x)
\end{equation*} \end{equation*}
ein \emph{homogenes lineares Differentialgleichungssystem} (DGLS) (1. Ordnung).\\
Das obige System lässt sich auch kompakt in der Form
\begin{equation}\tag{DGLS}\label{eq:dgls}
\vec{y}'(x) = A \vec{y}(x)
\end{equation}
schreiben, wobei $\vec{y}(x) = \begin{pmatrix} y_1(x)\\ \vdots\\ y_n(x) \end{pmatrix}, \vec{y}'(x) = \begin{pmatrix} y'_1(x)\\ \vdots\\ y'_n(x) \end{pmatrix}$ schreiben, wobei $\vec{y}(x) = \begin{pmatrix} y_1(x)\\ \vdots\\ y_n(x) \end{pmatrix}, \vec{y}'(x) = \begin{pmatrix} y'_1(x)\\ \vdots\\ y'_n(x) \end{pmatrix}$
und $A \in \RR^{n \times n}$ und $A \in \RR^{n \times n}$
\end{definition} \end{definition}

124
sections/03_anwendung_auf_jnf.tex
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@ -17,16 +17,16 @@ Für ein~\ref{eq:dgls} liegen dann die $n$ unabhängigen Differentialgleichungen
\end{equation*} \end{equation*}
vor, deren Lösungen zu einem gegebenen Anfangswert $\vec{y}_0 = (y_{0_1},\dots,y_{0_n})^T$ durch vor, deren Lösungen zu einem gegebenen Anfangswert $\vec{y}_0 = (y_{0_1},\dots,y_{0_n})^T$ durch
\begin{equation*} \begin{equation*}
y_i(x) = \e^{a_i x} y_{0_i} \qquad (i = 1,\dots,n) y_i(x) = \e^{(x - x_0) a_i} y_{0_i} \qquad (i = 1,\dots,n)
\end{equation*} \end{equation*}
gegeben sind. gegeben sind.
Mittels Matrixexponentialfunktion lässt sich die Lösung also durch Mittels Matrixexponentialfunktion lässt sich die Lösung also durch
\begin{equation*} \begin{equation*}
\vec{y}(x) = \e^{Ax} \vec{y}(x) = \e^{(x - x_0) A}
= \begin{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\e^{a_1 x} & & \\ \e^{(x - x_0) a_1} & & \\
& \ddots & \\ & \ddots & \\
& & \e^{a_n x} & & \e^{(x - x_0) a_n}
\end{pmatrix} \end{pmatrix}
\end{equation*} \end{equation*}
angeben. angeben.
@ -34,12 +34,12 @@ angeben.
\subsection{Diagonalisierbare Matrizen}\label{subsec:03-02} \subsection{Diagonalisierbare Matrizen}\label{subsec:03-02}
Das Lösen eines~\ref{eq:dgls} mit einer diagonalisierbaren Koeffizientenmatrix $A$ kann auf den obigen Fall der~\nameref{subsec:03-01} Das Lösen eines~\ref{eq:dgls} mit einer diagonalisierbaren Koeffizientenmatrix $A$ kann auf den obigen Fall der~\nameref{subsec:03-01}
zurückgeführt werden. zurückgeführt werden.
Dazu stellen wir $A$ mit einer Diagonalmatrix $L = \diag\{\lambda_1,\dots,\lambda_n\}$ aus den Eigenwerten $\lambda_i$ ($i = 1,\dots,n$) Dazu wird $A$ durch eine Diagonalmatrix $L = \diag\{\lambda_1,\dots,\lambda_n\}$ aus den Eigenwerten $\lambda_i$ ($i = 1,\dots,n$)
und $V$ die Matrix der zugehörigen Eigenvektoren von $A$ durch und durch die Matrix $V$ der zugehörigen Eigenvektoren mit
\begin{equation*} \begin{equation*}
A = V L V^{-1} A = V L V^{-1}
\end{equation*} \end{equation*}
dar. dargestellt.
\begin{theorem}\label{thm:diagbar-cp-solution} \begin{theorem}\label{thm:diagbar-cp-solution}
Sei $A = V L V^{-1}$ eine diagonalisierbare Matrix mit $L = \diag\{\lambda_1,\dots,\lambda_n\}$, Sei $A = V L V^{-1}$ eine diagonalisierbare Matrix mit $L = \diag\{\lambda_1,\dots,\lambda_n\}$,
@ -50,8 +50,8 @@ dar.
\intertext{durch} \intertext{durch}
\begin{aligned} \begin{aligned}
\vec{y}(x) \vec{y}(x)
&= V \e^{L x} V^{-1} \vec{y}_0\\ &= V \e^{(x - x_0) L} V^{-1} \vec{y}_0\\
\big( &= \left. V \diag\left\{\e^{\lambda_1 x}, \dots,\e^{\lambda_n x}\right\} V^{-1} \right) \big( &= \left. V \diag\left\{\e^{(x - x_0) \lambda_1}, \dots,\e^{(x - x_0) \lambda_n}\right\} V^{-1} \right)
\end{aligned} \end{aligned}
\end{gather*} \end{gather*}
gegeben. gegeben.
@ -71,15 +71,15 @@ dar.
\end{equation} \end{equation}
Da $L$ eine Diagonalmatrix ist, folgt mit~\autoref{subsec:03-01}, dass Da $L$ eine Diagonalmatrix ist, folgt mit~\autoref{subsec:03-01}, dass
\begin{equation*} \begin{equation*}
\vec{u}(x) = \e^{L x} \vec{u}_0 \vec{u}(x) = \e^{(x - x_0) L} \vec{u}_0
\end{equation*} \end{equation*}
die Lösung von~\eqref{eq:03-02-01} ist. die Lösung von~\eqref{eq:03-02-01} ist.
Rücksubstitution ergibt schließlich die Lösung Rücksubstitution ergibt schließlich die Lösung
\begin{equation*} \begin{alignat*}{2}
\vec{u}(x) = \e^{L x} \vec{u}_0 && \vec{u}(x) &= \e^{(x - x_0) L} \vec{u}_0\\
\qquad\Leftrightarrow\qquad V^{-1} \vec{y} = \e^{L x} V^{-1} \vec{y}_0 \Leftrightarrow\quad && V^{-1} \vec{y} &= \e^{(x - x_0) L} V^{-1} \vec{y}_0\\
\qquad\Leftrightarrow\qquad \vec{y} = V \e^{L x} V^{-1} \vec{y}_0. \Leftrightarrow\quad && \vec{y} &= V \e^{(x - x_0) L} V^{-1} \vec{y}_0.
\end{equation*} \end{alignat*}
\end{proof} \end{proof}
\begin{corollary} \begin{corollary}
@ -105,7 +105,7 @@ dar.
\end{alignat*} \end{alignat*}
\end{proof} \end{proof}
\hyperref[thm:diagbar-cp-solution]{Folgerung~\ref*{thm:diagbar-cp-solution}} lässt sich leicht ersichtlich auf einen allgemeinen Fall von ähnlichen Matrizen $A = S B S^{-1}$ übertragen, d.h. \emph{Bemerkung:} \hyperref[thm:diagbar-cp-solution]{Folgerung~\ref*{thm:diagbar-cp-solution}} lässt sich leicht ersichtlich auf einen allgemeinen Fall von ähnlichen Matrizen $A = S B S^{-1}$ übertragen, d.h.
\begin{equation*} \begin{equation*}
\e^A = \e^{S B S^{-1}} = S \e^B S^{-1}. \e^A = \e^{S B S^{-1}} = S \e^B S^{-1}.
\end{equation*} \end{equation*}
@ -155,9 +155,9 @@ dass die gewonnenen Erkenntnisse aus~\autoref{subsec:03-02} anwendbar sein könn
Es gilt Es gilt
\begin{equation*} \begin{equation*}
A^k = \begin{pmatrix} A^k = \begin{pmatrix}
A^k_1 & & \\ A^k_1 & & \\
& \ddots & \\ & \ddots & \\
& & A^k_n & & A^k_n
\end{pmatrix}. \end{pmatrix}.
\end{equation*} \end{equation*}
Damit folgt dann Damit folgt dann
@ -191,22 +191,22 @@ dass die gewonnenen Erkenntnisse aus~\autoref{subsec:03-02} anwendbar sein könn
Es ergeben sich also Lösungen eines gegebenen~\hyperref[eq:cp]{C\textc{auchy}-Problems} mit einer nicht-diagonalisierbaren Matrix $A = V J V^{-1}$ durch Es ergeben sich also Lösungen eines gegebenen~\hyperref[eq:cp]{C\textc{auchy}-Problems} mit einer nicht-diagonalisierbaren Matrix $A = V J V^{-1}$ durch
\begin{equation*} \begin{equation*}
\vec{y}(x) = V \e^{J x} V^{-1} \vec{y}_0. \vec{y}(x) = V \e^{(x - x_0) J} V^{-1} \vec{y}_0.
\end{equation*} \end{equation*}
Zudem zeigt~\hyperref[thm:blockdiag-exp]{Lemma~\ref*{thm:blockdiag-exp}}, Zudem zeigt~\hyperref[thm:blockdiag-exp]{Lemma~\ref*{thm:blockdiag-exp}},
dass sich die Berechnung von $\e^J$ auf die einzelnen $\e^{J_i}$ für $i = 1,\dots,n$ reduzieren lässt.\\ dass sich die Berechnung von $\e^J$ auf die einzelnen $\e^{J_i}$ für $i = 1,\dots,n$ reduzieren lässt.\\
Ein J\textc{ordan}-Kästchen $J_i$ lässt sich weiter zerlegen zu Ein J\textc{ordan}-Kästchen $J_i$ lässt sich weiter zerlegen zu
\begin{equation*} \begin{equation*}
J_i = \begin{pmatrix} J_i = \begin{pmatrix}
\lambda & 1 & & \\ \lambda & 1 & & \\
& \lambda & \ddots & \\ & \lambda & \ddots & \\
& & \ddots & 1 \\ & & \ddots & 1 \\
& & & \lambda & & & \lambda
\end{pmatrix} \end{pmatrix}
= \underbrace{\begin{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix}
\lambda & & \\ \lambda & & \\
& \ddots & \\ & \ddots & \\
& & \lambda & & \lambda
\end{pmatrix}}_{= L} \end{pmatrix}}_{= L}
+ \underbrace{\begin{pmatrix} + \underbrace{\begin{pmatrix}
0 & 1 & & \\ 0 & 1 & & \\
@ -217,16 +217,70 @@ Ein J\textc{ordan}-Kästchen $J_i$ lässt sich weiter zerlegen zu
= L + N. = L + N.
\end{equation*} \end{equation*}
Dabei ist $N$ eine \emph{nilpotente} Matrix, d.h.\ es existiert ein $l \in \NN$ so, dass $N^l = 0$. Dabei ist $N$ eine \emph{nilpotente} Matrix, d.h.\ es existiert ein $l \in \NN$ so, dass $N^l = 0$.
Die Matrizen $L$ und $N$ kommutieren, weshalb Zudem kommutieren die Matrizen $L$ und $N$, da
\begin{equation*} \begin{gather*}
L N = (\lambda E) N = \lambda (EN) = \lambda (NE) = N (\lambda E) = N L,\\
\intertext{weshalb}
\e^{L + N} = \e^L \e^N \e^{L + N} = \e^L \e^N
\end{equation*} \end{gather*}
gilt. gilt.
Da $L$ eine Diagonalmatrix ist, ist die Lösung von $\e^L$ bereits aus~\autoref{subsec:03-01} bekannt. Da $L$ eine Diagonalmatrix ist, ist die Lösung von $\e^L$ bereits aus~\autoref{subsec:03-01} bekannt.
Für $N$ als nilpotente Matrix ergibt sich zudem eine endliche Summe bei der Berechnung von $\e^N$, Für $N$ als nilpotente Matrix ergibt sich zudem eine endliche Summe bei der Berechnung von $\e^N$,
da ab einem $l \in \NN$ gilt, dass $N^l = N^{l+1} = \dots = 0$, d.h. da ab einem $l \in \NN$ gilt, dass $N^l = N^{l+1} = \dots = 0$, d.h.
\begin{equation*} \begin{align*}
\e^N \e^N &= \sum^\infty_{k=0} \frac{N^k}{k!}
= \sum^\infty_{k=0} \frac{N^k}{k!} = \sum^{l-1}_{k=0} \frac{N^k}{k!}
= \sum^{l-1}_{k=0} \frac{N^k}{k!}. = E + N + \frac{1}{2} N^2 + \dots + \frac{1}{(l-1)!} N^{l-1}\\
\end{equation*} &= E + N + \frac{1}{2} \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & & \\
& \ddots & \ddots & \ddots & \\
& & \ddots & \ddots & 1\\
& & & \ddots & 0\\
& & & & 0
\end{pmatrix}
+ \dots + \frac{1}{(l-1)!} \begin{pmatrix}
0 & & 1\\
& \ddots & \\
& & 0
\end{pmatrix}\\
&= \begin{pmatrix}
1 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3!} & \dots & \frac{1}{(l-1)!}\\
& 1 & 1 & \frac{1}{2} & \dots & \frac{1}{(l-2)!}\\
& & 1 & 1 & \dots & \vdots\\
& & & 1 & \ddots & \frac{1}{2}\\
& & & & \ddots & 1\\
& & & & & 1
\end{pmatrix}.
\end{align*}
Werden nun alle Erkenntnisse kombiniert, gilt für $\e^{J_i t}$ schließlich
\begin{align*}
\e^{J_i t} &= \e^{(L + N) t} = \e^{Lt + Nt} = \e^{Lt} \e^{Nt}\\
&= \begin{pmatrix}
\e^{\lambda t} & & \\
& \ddots & \\
& & \e^{\lambda t}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & t & \frac{t^2}{2} & \frac{t^3}{3!} & \dots & \frac{t^{l-1}}{(l-1)!}\\
& 1 & t & \frac{t^2}{2} & \dots & \frac{t^{l-2}}{(l-2)!}\\
& & 1 & x & \dots & \vdots\\
& & & 1 & \ddots & \frac{t^2}{2}\\
& & & & \ddots & t\\
& & & & & 1
\end{pmatrix}.
\end{align*}
Für die Lösung eines~\hyperref[eq:cp]{C\textc{auchy}-Problems} mit einer nicht-diagonalisierbaren Matrix $A = V J V^{-1}$,
gilt insgesamt also
\begin{align*}
\vec{y}(x) &= V \e^{(x - x_0) J} V^{-1} \vec{y}_0\\
&= V \begin{pmatrix}
\e^{(x - x_0) J_1} & & \\
& \ddots & \\
& & \e^{(x - x_0) J_n}
\end{pmatrix} V^{-1} \vec{y}_0\\
&= V \begin{pmatrix}
\e^{(x - x_0) L_1} \e^{(x - x_0) N} & & \\
& \ddots & \\
& & \e^{(x - x_0) L_n} \e^{(x - x_0) N}
\end{pmatrix} V^{-1} \vec{y}_0.
\end{align*}