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c37f85c37c
@ -1,19 +1,19 @@
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\begin{definition}
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Seien $y_1,\dots,y_n: I \subseteq \RR \to \RR$ differenzierbar und $a_{jk} \in \RR$ für $j,k = 1,\dots,n$.
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Dann heißt
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\begin{equation}\tag{DGLS}\label{eq:dgls}
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\begin{equation*}
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\begin{aligned}
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y'_1(x) &= a_{11} y_1(x) + \dots + a_{1n} y_n(x)\\
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y'_2(x) &= a_{21} y_1(x) + \dots + a_{2n} y_n(x)\\
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&\vdots\\
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y'_n(x) &= a_{n1} y_1(x) + \dots + a_{nn} y_n(x)
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\end{aligned}
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\end{equation}
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ein \emph{homogenes lineares Differentialgleichungssystem} (DGLS) (1. Ordnung).\\
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Das System~\eqref{eq:dgls} lässt sich auch kompakt in der Form
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\begin{equation*}
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\vec{y}'(x) = A \vec{y}(x)
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\end{equation*}
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||||
ein \emph{homogenes lineares Differentialgleichungssystem} (DGLS) (1. Ordnung).\\
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||||
Das obige System lässt sich auch kompakt in der Form
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\begin{equation}\tag{DGLS}\label{eq:dgls}
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\vec{y}'(x) = A \vec{y}(x)
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\end{equation}
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schreiben, wobei $\vec{y}(x) = \begin{pmatrix} y_1(x)\\ \vdots\\ y_n(x) \end{pmatrix}, \vec{y}'(x) = \begin{pmatrix} y'_1(x)\\ \vdots\\ y'_n(x) \end{pmatrix}$
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und $A \in \RR^{n \times n}$
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\end{definition}
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@ -17,16 +17,16 @@ Für ein~\ref{eq:dgls} liegen dann die $n$ unabhängigen Differentialgleichungen
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\end{equation*}
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vor, deren Lösungen zu einem gegebenen Anfangswert $\vec{y}_0 = (y_{0_1},\dots,y_{0_n})^T$ durch
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\begin{equation*}
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y_i(x) = \e^{a_i x} y_{0_i} \qquad (i = 1,\dots,n)
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y_i(x) = \e^{(x - x_0) a_i} y_{0_i} \qquad (i = 1,\dots,n)
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\end{equation*}
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gegeben sind.
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Mittels Matrixexponentialfunktion lässt sich die Lösung also durch
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\begin{equation*}
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\vec{y}(x) = \e^{Ax}
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\vec{y}(x) = \e^{(x - x_0) A}
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= \begin{pmatrix}
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\e^{a_1 x} & & \\
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\e^{(x - x_0) a_1} & & \\
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& \ddots & \\
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& & \e^{a_n x}
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& & \e^{(x - x_0) a_n}
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\end{pmatrix}
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\end{equation*}
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angeben.
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@ -34,12 +34,12 @@ angeben.
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\subsection{Diagonalisierbare Matrizen}\label{subsec:03-02}
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Das Lösen eines~\ref{eq:dgls} mit einer diagonalisierbaren Koeffizientenmatrix $A$ kann auf den obigen Fall der~\nameref{subsec:03-01}
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zurückgeführt werden.
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Dazu stellen wir $A$ mit einer Diagonalmatrix $L = \diag\{\lambda_1,\dots,\lambda_n\}$ aus den Eigenwerten $\lambda_i$ ($i = 1,\dots,n$)
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und $V$ die Matrix der zugehörigen Eigenvektoren von $A$ durch
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Dazu wird $A$ durch eine Diagonalmatrix $L = \diag\{\lambda_1,\dots,\lambda_n\}$ aus den Eigenwerten $\lambda_i$ ($i = 1,\dots,n$)
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und durch die Matrix $V$ der zugehörigen Eigenvektoren mit
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\begin{equation*}
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A = V L V^{-1}
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\end{equation*}
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dar.
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dargestellt.
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\begin{theorem}\label{thm:diagbar-cp-solution}
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Sei $A = V L V^{-1}$ eine diagonalisierbare Matrix mit $L = \diag\{\lambda_1,\dots,\lambda_n\}$,
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@ -50,8 +50,8 @@ dar.
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\intertext{durch}
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\begin{aligned}
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\vec{y}(x)
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||||
&= V \e^{L x} V^{-1} \vec{y}_0\\
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||||
\big( &= \left. V \diag\left\{\e^{\lambda_1 x}, \dots,\e^{\lambda_n x}\right\} V^{-1} \right)
|
||||
&= V \e^{(x - x_0) L} V^{-1} \vec{y}_0\\
|
||||
\big( &= \left. V \diag\left\{\e^{(x - x_0) \lambda_1}, \dots,\e^{(x - x_0) \lambda_n}\right\} V^{-1} \right)
|
||||
\end{aligned}
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||||
\end{gather*}
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gegeben.
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@ -71,15 +71,15 @@ dar.
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\end{equation}
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Da $L$ eine Diagonalmatrix ist, folgt mit~\autoref{subsec:03-01}, dass
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\begin{equation*}
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\vec{u}(x) = \e^{L x} \vec{u}_0
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||||
\vec{u}(x) = \e^{(x - x_0) L} \vec{u}_0
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||||
\end{equation*}
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die Lösung von~\eqref{eq:03-02-01} ist.
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Rücksubstitution ergibt schließlich die Lösung
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\begin{equation*}
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||||
\vec{u}(x) = \e^{L x} \vec{u}_0
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||||
\qquad\Leftrightarrow\qquad V^{-1} \vec{y} = \e^{L x} V^{-1} \vec{y}_0
|
||||
\qquad\Leftrightarrow\qquad \vec{y} = V \e^{L x} V^{-1} \vec{y}_0.
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||||
\end{equation*}
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\begin{alignat*}{2}
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||||
&& \vec{u}(x) &= \e^{(x - x_0) L} \vec{u}_0\\
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||||
\Leftrightarrow\quad && V^{-1} \vec{y} &= \e^{(x - x_0) L} V^{-1} \vec{y}_0\\
|
||||
\Leftrightarrow\quad && \vec{y} &= V \e^{(x - x_0) L} V^{-1} \vec{y}_0.
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||||
\end{alignat*}
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\end{proof}
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\begin{corollary}
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@ -105,7 +105,7 @@ dar.
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\end{alignat*}
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\end{proof}
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||||
\hyperref[thm:diagbar-cp-solution]{Folgerung~\ref*{thm:diagbar-cp-solution}} lässt sich leicht ersichtlich auf einen allgemeinen Fall von ähnlichen Matrizen $A = S B S^{-1}$ übertragen, d.h.
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||||
\emph{Bemerkung:} \hyperref[thm:diagbar-cp-solution]{Folgerung~\ref*{thm:diagbar-cp-solution}} lässt sich leicht ersichtlich auf einen allgemeinen Fall von ähnlichen Matrizen $A = S B S^{-1}$ übertragen, d.h.
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\begin{equation*}
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||||
\e^A = \e^{S B S^{-1}} = S \e^B S^{-1}.
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||||
\end{equation*}
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@ -155,9 +155,9 @@ dass die gewonnenen Erkenntnisse aus~\autoref{subsec:03-02} anwendbar sein könn
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Es gilt
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\begin{equation*}
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A^k = \begin{pmatrix}
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A^k_1 & & \\
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& \ddots & \\
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||||
& & A^k_n
|
||||
A^k_1 & & \\
|
||||
& \ddots & \\
|
||||
& & A^k_n
|
||||
\end{pmatrix}.
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||||
\end{equation*}
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||||
Damit folgt dann
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@ -191,22 +191,22 @@ dass die gewonnenen Erkenntnisse aus~\autoref{subsec:03-02} anwendbar sein könn
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Es ergeben sich also Lösungen eines gegebenen~\hyperref[eq:cp]{C\textc{auchy}-Problems} mit einer nicht-diagonalisierbaren Matrix $A = V J V^{-1}$ durch
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\begin{equation*}
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||||
\vec{y}(x) = V \e^{J x} V^{-1} \vec{y}_0.
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||||
\vec{y}(x) = V \e^{(x - x_0) J} V^{-1} \vec{y}_0.
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||||
\end{equation*}
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||||
Zudem zeigt~\hyperref[thm:blockdiag-exp]{Lemma~\ref*{thm:blockdiag-exp}},
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dass sich die Berechnung von $\e^J$ auf die einzelnen $\e^{J_i}$ für $i = 1,\dots,n$ reduzieren lässt.\\
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||||
Ein J\textc{ordan}-Kästchen $J_i$ lässt sich weiter zerlegen zu
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\begin{equation*}
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J_i = \begin{pmatrix}
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\lambda & 1 & & \\
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||||
& \lambda & \ddots & \\
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& & \ddots & 1 \\
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||||
& & & \lambda
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||||
\lambda & 1 & & \\
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||||
& \lambda & \ddots & \\
|
||||
& & \ddots & 1 \\
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||||
& & & \lambda
|
||||
\end{pmatrix}
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||||
= \underbrace{\begin{pmatrix}
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\lambda & & \\
|
||||
& \ddots & \\
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||||
& & \lambda
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||||
\lambda & & \\
|
||||
& \ddots & \\
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||||
& & \lambda
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||||
\end{pmatrix}}_{= L}
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||||
+ \underbrace{\begin{pmatrix}
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||||
0 & 1 & & \\
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@ -217,16 +217,70 @@ Ein J\textc{ordan}-Kästchen $J_i$ lässt sich weiter zerlegen zu
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= L + N.
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||||
\end{equation*}
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||||
Dabei ist $N$ eine \emph{nilpotente} Matrix, d.h.\ es existiert ein $l \in \NN$ so, dass $N^l = 0$.
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||||
Die Matrizen $L$ und $N$ kommutieren, weshalb
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||||
\begin{equation*}
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||||
Zudem kommutieren die Matrizen $L$ und $N$, da
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\begin{gather*}
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||||
L N = (\lambda E) N = \lambda (EN) = \lambda (NE) = N (\lambda E) = N L,\\
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||||
\intertext{weshalb}
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||||
\e^{L + N} = \e^L \e^N
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\end{gather*}
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||||
gilt.
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||||
Da $L$ eine Diagonalmatrix ist, ist die Lösung von $\e^L$ bereits aus~\autoref{subsec:03-01} bekannt.
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||||
Für $N$ als nilpotente Matrix ergibt sich zudem eine endliche Summe bei der Berechnung von $\e^N$,
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||||
da ab einem $l \in \NN$ gilt, dass $N^l = N^{l+1} = \dots = 0$, d.h.
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||||
\begin{equation*}
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||||
\e^N
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||||
= \sum^\infty_{k=0} \frac{N^k}{k!}
|
||||
= \sum^{l-1}_{k=0} \frac{N^k}{k!}.
|
||||
\end{equation*}
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||||
\begin{align*}
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||||
\e^N &= \sum^\infty_{k=0} \frac{N^k}{k!}
|
||||
= \sum^{l-1}_{k=0} \frac{N^k}{k!}
|
||||
= E + N + \frac{1}{2} N^2 + \dots + \frac{1}{(l-1)!} N^{l-1}\\
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||||
&= E + N + \frac{1}{2} \begin{pmatrix}
|
||||
0 & 0 & 1 & & \\
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||||
& \ddots & \ddots & \ddots & \\
|
||||
& & \ddots & \ddots & 1\\
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||||
& & & \ddots & 0\\
|
||||
& & & & 0
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
+ \dots + \frac{1}{(l-1)!} \begin{pmatrix}
|
||||
0 & & 1\\
|
||||
& \ddots & \\
|
||||
& & 0
|
||||
\end{pmatrix}\\
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||||
&= \begin{pmatrix}
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||||
1 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3!} & \dots & \frac{1}{(l-1)!}\\
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||||
& 1 & 1 & \frac{1}{2} & \dots & \frac{1}{(l-2)!}\\
|
||||
& & 1 & 1 & \dots & \vdots\\
|
||||
& & & 1 & \ddots & \frac{1}{2}\\
|
||||
& & & & \ddots & 1\\
|
||||
& & & & & 1
|
||||
\end{pmatrix}.
|
||||
\end{align*}
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||||
Werden nun alle Erkenntnisse kombiniert, gilt für $\e^{J_i t}$ schließlich
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||||
\begin{align*}
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||||
\e^{J_i t} &= \e^{(L + N) t} = \e^{Lt + Nt} = \e^{Lt} \e^{Nt}\\
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||||
&= \begin{pmatrix}
|
||||
\e^{\lambda t} & & \\
|
||||
& \ddots & \\
|
||||
& & \e^{\lambda t}
|
||||
\end{pmatrix}
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||||
\begin{pmatrix}
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||||
1 & t & \frac{t^2}{2} & \frac{t^3}{3!} & \dots & \frac{t^{l-1}}{(l-1)!}\\
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||||
& 1 & t & \frac{t^2}{2} & \dots & \frac{t^{l-2}}{(l-2)!}\\
|
||||
& & 1 & x & \dots & \vdots\\
|
||||
& & & 1 & \ddots & \frac{t^2}{2}\\
|
||||
& & & & \ddots & t\\
|
||||
& & & & & 1
|
||||
\end{pmatrix}.
|
||||
\end{align*}
|
||||
Für die Lösung eines~\hyperref[eq:cp]{C\textc{auchy}-Problems} mit einer nicht-diagonalisierbaren Matrix $A = V J V^{-1}$,
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gilt insgesamt also
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\begin{align*}
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\vec{y}(x) &= V \e^{(x - x_0) J} V^{-1} \vec{y}_0\\
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&= V \begin{pmatrix}
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||||
\e^{(x - x_0) J_1} & & \\
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||||
& \ddots & \\
|
||||
& & \e^{(x - x_0) J_n}
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||||
\end{pmatrix} V^{-1} \vec{y}_0\\
|
||||
&= V \begin{pmatrix}
|
||||
\e^{(x - x_0) L_1} \e^{(x - x_0) N} & & \\
|
||||
& \ddots & \\
|
||||
& & \e^{(x - x_0) L_n} \e^{(x - x_0) N}
|
||||
\end{pmatrix} V^{-1} \vec{y}_0.
|
||||
\end{align*}
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